Gráficas de funciones exponenciales

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿En qué punto corta la gráfica de $y = 5 \cdot 3^x$ el eje de ordenadas?
1. a) $(0, 15)$
2. b) $(5, 0)$
3. c) $(0, 5)$
4. d) $(0, 3)$
Respuesta: $(0, 5)$
$y = 5 \cdot 3^0 = 5 \cdot 1 = 5$ , así que la gráfica corta el eje de ordenadas en $(0, 5)$ . La base 3 solo decide lo rápido que sube la gráfica.
2.
¿Qué gráfica baja de izquierda a derecha?
1. a) $y = 0{,}5 \cdot 3^x$
2. b) $y = 2 \cdot (1{,}1)^x$
3. c) $y = 4 \cdot (0{,}3)^x$
4. d) $y = 4 \cdot 2^x$
Respuesta: $y = 4 \cdot (0{,}3)^x$
Las cuatro tienen $a > 0$ , así que decide la base. Solo $0{,}3$ está entre 0 y 1, así que $y = 4 \cdot (0{,}3)^x$ baja. El factor $0{,}5$ delante de $3^x$ solo comprime la gráfica; sigue subiendo porque $3 > 1$ .
3.
¿Cuál es la asíntota horizontal de $y = 2^x - 7$ ? Escribe el número $k$ de $y = k$ .
Respuesta: -7
Restar 7 baja toda la gráfica 7 unidades, también su asíntota: $y = 0$ pasa a ser $y = -7$ .
4.
Para $f(x) = 3 \cdot 2^x$ , calcula $f(-1)$ . Da la respuesta como decimal o como fracción.
Respuesta: 1.5
$f(-1) = 3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ . El punto $(-1; 1{,}5)$ está en la parte plana de la izquierda de la gráfica.
5.
Haz una tabla de valores de $y = 4 \cdot 2^x$ . ¿Cuánto vale $y$ en $x = 3$ ?
Respuesta: 32
1. ¿Cuánto vale $y$ en $x = -2$ ? 1
2. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 0$ ? 4
3. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 2$ ? 16
4. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 3$ ? 32
6.
Haz una tabla de valores de $y = 6 \cdot (0{,}5)^x$ . ¿Cuánto vale $y$ en $x = 3$ ? Da un número decimal.
Respuesta: 0.75
1. ¿Cuánto vale $y$ en $x = -2$ ? 24
2. ¿Cuánto vale $y$ en $x = -1$ ? 12
3. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 1$ ? 3
4. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 3$ ? 0.75
7.
La gráfica de $y = 2^x$ se traslada 3 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia abajo. ¿Qué ecuación describe la nueva gráfica?
1. a) $y = 2^{x-1} + 3$
2. b) $y = 2^{x+3} + 1$
3. c) $y = 2^{x-3} - 1$
4. d) $y = 2^{x+3} - 1$
Respuesta: $y = 2^{x+3} - 1$
3 a la izquierda significa $x - h$ con $h = -3$ , es decir, $x + 3$ ; 1 hacia abajo significa $k = -1$ . Así que $y = 2^{x+3} - 1$ , con asíntota $y = -1$ .
8.
¿Cuál es el recorrido de $y = -4 \cdot 2^x + 1$ ?
1. a) $y > -4$
2. b) $y < 1$
3. c)todos los números reales
4. d) $y > 1$
Respuesta: $y < 1$
La asíntota es $y = 1$ ( $k = 1$ ). Como $a = -4 < 0$ , el término $-4 \cdot 2^x$ siempre es negativo, así que $y$ siempre es menor que 1: el recorrido es $y < 1$ .
9.
La gráfica de $y = 3^{x+2} - 5$ corta el eje de ordenadas en $(0, ?)$ . Escribe la coordenada $y$ .
Respuesta: 4
$y = 3^{0+2} - 5 = 9 - 5 = 4$ . La ordenada en el origen es 4, el punto $(0, 4)$ , no $(0, 1)$ ni $(0, -4)$ , porque la gráfica también se trasladó 2 a la izquierda.
10.
La gráfica de $y = a \cdot b^x$ pasa por $(0, 5)$ y $(2, 45)$ , con $b > 0$ . Halla $b$ .
Respuesta: 3
$a = 5$ por la ordenada en el origen. Luego $5 \cdot b^2 = 45$ , así que $b^2 = 9$ y $b = 3$ (la base es positiva). La ecuación es $y = 5 \cdot 3^x$ .
11.
La gráfica de $y = a \cdot b^x$ pasa por $(0, 3)$ y $(1, 6)$ . Halla la ecuación y el valor de $y$ en $x = 4$ .
Respuesta: 48
1. ¿Cuánto vale $a$ ? 3
2. ¿Cuánto vale $b$ ? 2
3. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 4$ ? 48
12.
Para $y = 2^{x+1} - 4$ , halla la asíntota, la ordenada en el origen y el corte con el eje de abscisas. ¿Dónde corta la gráfica el eje de abscisas? Escribe la coordenada $x$ de ese punto.
Respuesta: 1
1. La asíntota es $y = k$ . ¿Cuánto vale $k$ ? -4
2. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 0$ ? -2
3. Resuelve $2^{x+1} = 4$ . ¿Cuánto vale $x$ ? 1
13.
Haz una tabla de valores de $y = -3 \cdot 2^x + 2$ y halla su asíntota. Da decimales cuando haga falta.
Respuesta: 2
1. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 0$ ? -1
2. ¿Cuánto vale $y$ en $x = -1$ ? 0.5
3. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 2$ ? -10
4. La asíntota es $y = k$ . ¿Cuánto vale $k$ ? 2
14.
¿Qué descripción corresponde a la gráfica de $y = -2 \cdot 3^{x-1} + 5$ ?
1. a)Decreciente, asíntota $y = -5$ , recorrido $y < -5$
2. b)Creciente, asíntota $y = 1$ , recorrido $y < 1$
3. c)Creciente, asíntota $y = 5$ , recorrido $y > 5$
4. d)Decreciente, asíntota $y = 5$ , recorrido $y < 5$
Respuesta: Decreciente, asíntota $y = 5$ , recorrido $y < 5$
$k = 5$ da la asíntota $y = 5$ . Como $a = -2 < 0$ , la gráfica está por debajo de la asíntota, así que el recorrido es $y < 5$ . Con $b = 3 > 1$ , el término $3^{x-1}$ crece, y multiplicar por $-2$ hace que $y$ decrezca de izquierda a derecha.
15.
La gráfica de $y = a \cdot b^x$ pasa por $(1, 6)$ y $(3, 54)$ , con $b > 0$ . Halla $a$ .
Respuesta: 2
$b^2 = 54 \div 6 = 9$ , así que $b = 3$ . Luego $a \cdot 3 = 6$ da $a = 2$ . Comprobación: $2 \cdot 3^3 = 54$ . La ecuación es $y = 2 \cdot 3^x$ .
16.
La gráfica de $y = a \cdot b^x$ pasa por $(2, 12)$ y $(4, 48)$ , con $b > 0$ . Halla la ecuación y el valor de $y$ en $x = 5$ .
Respuesta: 96
1. ¿Cuánto vale $b^2 = 48 \div 12$ ? 4
2. ¿Cuánto vale $b$ ? 2
3. ¿Cuánto vale $a$ ? 3
4. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 5$ ? 96
17.
Una gráfica de la forma $y = a \cdot b^x + 2$ tiene la asíntota $y = 2$ y pasa por $(0, 5)$ y $(1, 11)$ . Halla $a$ y $b$ , y luego el valor de $y$ en $x = 2$ .
Respuesta: 29
1. Usa $(0, 5)$ : $a \cdot 1 + 2 = 5$ . ¿Cuánto vale $a$ ? 3
2. Usa $(1, 11)$ : $3 \cdot b + 2 = 11$ . ¿Cuánto vale $b$ ? 3
3. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 2$ ? 29
18.
Halla dónde corta la gráfica de $y = 3 \cdot 2^x - 24$ los dos ejes. ¿Cuál es la coordenada $x$ del corte con el eje de abscisas?
Respuesta: 3
1. ¿Cuánto vale $y$ en $x = 0$ ? -21
2. Iguala $y = 0$ : $3 \cdot 2^x = 24$ . ¿Cuánto vale $2^x$ ? 8
3. ¿Cuánto vale $x$ ? 3