Guía del profesor: Gráficas de funciones exponenciales

Dibuja y = a·b^x a partir de una tabla de valores, lee la ordenada en el origen y la asíntota, y observa cómo traslaciones, reflexiones y estiramientos mueven la gráfica.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Funciones exponenciales. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Representar $y = a \cdot b^x$ a partir de una tabla de valores para $x = -2$ hasta $3$
Identificar la ordenada en el origen, la asíntota horizontal, el dominio y el recorrido de una gráfica exponencial
Describir cómo $h$ , $k$ y el signo y el tamaño de $a$ en $y = a \cdot b^{x-h} + k$ mueven y deforman la gráfica
Relacionar ecuaciones exponenciales con gráficas descritas o esbozadas
Hallar $a$ y $b$ de $y = a \cdot b^x$ a partir de dos puntos de la gráfica

Requisitos previos

• Introducción a las funciones exponenciales: la forma $f(x) = a \cdot b^x$ , crecimiento y decrecimiento
• Crecimiento exponencial: factores de crecimiento y cálculo de $A_0 \cdot b^t$
• Exponentes cero y negativos: $b^0 = 1$ y $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
• Dibujar puntos en el plano cartesiano y notación de funciones

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué la gráfica de $y = 2^x$ nunca llega al eje de abscisas, por mucho que vayas hacia la izquierda?
2. Si dos gráficas tienen la misma asíntota y la misma ordenada en el origen, ¿tienen que ser la misma gráfica? Busca un ejemplo.
3. ¿Cómo podrías saber solo con una tabla si los datos son lineales o exponenciales?
4. ¿Qué cambia en la gráfica al sustituir $2^x$ por $2^{x+1}$ , y por qué es lo mismo que duplicar cada valor de $y$ ?

Conceptos erróneos comunes

La asíntota siempre es el eje de abscisas

Remediación: Pide que tabulen $y = 2^x + 3$ para $x = -5$ hasta $0$ y vean que los valores se acercan a 3, no a 0. Después enuncia la regla: la asíntota se mueve con $k$ .

La gráfica de $y = 2^{x-3}$ se mueve a la izquierda por el signo menos

Remediación: Pregunta: ¿para qué $x$ vale 0 el exponente? Como es $x = 3$ , el antiguo punto $(0, 1)$ está ahora en $(3, 1)$ , es decir, más a la derecha.

Una gráfica que baja tiene que tener una base entre 0 y 1

Remediación: Compara $y = (0{,}5)^x$ e $y = -2^x$ : las dos bajan, pero por razones distintas (base pequeña frente a $a$ negativo). El recorrido permite distinguirlas.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar solo con la base 2 y dar tablas con los valores de $x$ ya escritos
• Usar una sola transformación cada vez (solo $k$ , luego solo $h$ ) antes de combinarlas
• Dibujar primero la asíntota con línea discontinua y después los puntos

Para estudiantes de nivel:

• Representar funciones con transformaciones combinadas como $y = -2 \cdot 3^{x-1} + 5$
• Relacionar ecuaciones con descripciones verbales de gráficas
• Hallar ecuaciones a partir de dos puntos, también con puntos fuera del eje de ordenadas

Para estudiantes avanzados:

• Hallar $a$ , $b$ y $k$ cuando se dan la asíntota y dos puntos
• Explicar por qué $2^{x+1}$ es lo mismo que $2 \cdot 2^x$ , es decir, que una traslación horizontal equivale a un estiramiento vertical
• Hallar el corte de $y = a \cdot b^x + k$ con el eje de abscisas cuando $-k/a$ es una potencia de $b$

Alineación con estándares

HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.E)
Representar funciones exponenciales mostrando los cortes con los ejes y el comportamiento en los extremos
HSF-BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Identificar el efecto sobre la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k)
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Construir funciones exponenciales a partir de una gráfica, una descripción o dos pares de valores

Recursos de la lección

visualGráfica exponencial con deslizadores
Las curvas $y = 2^x$ e $y = (0{,}5)^x$ con una tabla de valores, y deslizadores para $a$ , $b$ , $h$ y $k$ en $y = a \cdot b^{x-h} + k$ que mueven la curva y su asíntota
activityTarjetas para emparejar gráficas
El alumnado empareja ocho ecuaciones con ocho esbozos usando solo el corte con el eje de ordenadas, la asíntota y el sentido
worksheetTabla de transformaciones
El alumnado completa $a$ , $h$ , $k$ , la asíntota, la ordenada en el origen y el recorrido de diez funciones transformadas

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Para representar una función exponencial

f(x) = a \cdot b^x

(con

b > 0

b \neq 1

), haz una tabla de valores, dibuja los puntos y únelos con una curva suave que se acerca a una asíntota horizontal.

Las dos formas básicas (aquí con

a = 1

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$0{,}25$	$0{,}5$	$1$	$2$	$4$	$8$
$(0{,}5)^x$	$4$	$2$	$1$	$0{,}5$	$0{,}25$	$0{,}125$

Si $b > 1$ , la gráfica sube de izquierda a derecha: casi plana junto al eje de abscisas a la izquierda, cada vez más empinada a la derecha.
Si $0 < b < 1$ , la gráfica baja de izquierda a derecha: empinada a la izquierda, casi plana junto al eje de abscisas a la derecha.

**Características de

y = a \cdot b^x

:**

Ordenada en el origen: $a$ , la gráfica pasa por $(0, a)$ porque $b^0 = 1$
Asíntota horizontal: $y = 0$ (el eje de abscisas); la curva se acerca cada vez más pero nunca la toca
Dominio: todos los números reales
Recorrido: $y > 0$ si $a > 0$ , e $y < 0$ si $a < 0$

Transformaciones:

y = a \cdot b^{x-h} + k

$h$ traslada la gráfica $h$ unidades a la derecha (a la izquierda si $h$ es negativo)
$k$ traslada la gráfica $k$ unidades hacia arriba (hacia abajo si $k$ es negativo) y mueve la asíntota a $y = k$
$a < 0$ refleja la gráfica respecto al eje de abscisas (antes de la traslación), así que queda por debajo de su asíntota
un factor $a$ con $\lvert a \rvert > 1$ estira la gráfica verticalmente, y con $0 < \lvert a \rvert < 1$ la comprime
Recorrido de la gráfica transformada: $y > k$ si $a > 0$ , e $y < k$ si $a < 0$

Ejemplos resueltos

Representa $y = 3 \cdot 2^x$ para $x = -2$ hasta $x = 3$ . Indica la ordenada en el origen, la asíntota, el dominio y el recorrido.

Calcula los valores para $x$ negativos

$3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}75$ y $3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ → Puntos $(-2; 0{,}75)$ y $(-1; 1{,}5)$

Calcula los valores para $x = 0$ hasta $3$

$3 \cdot 2^0 = 3$ , $3 \cdot 2^1 = 6$ , $3 \cdot 2^2 = 12$ , $3 \cdot 2^3 = 24$ → Puntos $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$

Dibuja los puntos y únelos

Cada paso a la derecha duplica $y$ ; cada paso a la izquierda lo reduce a la mitad → Una curva creciente, plana a la izquierda y empinada a la derecha

Lee las características

$a = 3$ da la ordenada en el origen; no se suma nada, así que $k = 0$ → Ordenada en el origen 3, punto $(0, 3)$ , asíntota $y = 0$ , dominio todos los reales, recorrido $y > 0$

Respuesta: La gráfica pasa por $(-2; 0{,}75)$ , $(-1; 1{,}5)$ , $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$ . Sube de izquierda a derecha, corta el eje de ordenadas en $(0, 3)$ , se acerca a la asíntota $y = 0$ por la izquierda, tiene dominio todos los reales y recorrido $y > 0$ .

Errores comunes

Dejar la asíntota en $y = 0$ después de una traslación vertical, por ejemplo en $y = 2^x + 3$

Por qué está mal: Sumar $k$ sube cada punto $k$ unidades, también el nivel al que se acerca la curva. La gráfica de $y = 2^x + 3$ nunca baja de 3.

Correcto: Para $y = a \cdot b^{x-h} + k$ la asíntota es $y = k$ . Para $y = 2^x + 3$ es $y = 3$ y el recorrido es $y > 3$ .

Trasladar en el sentido equivocado: creer que $y = 2^{x-3}$ mueve la gráfica 3 unidades a la izquierda

Por qué está mal: Con $x - 3$ necesitas un $x$ más grande para obtener el mismo exponente que antes. El punto $(0, 1)$ de $y = 2^x$ está ahora en $(3, 1)$ .

Correcto: $x - h$ traslada $h$ a la derecha, $x + h$ traslada $h$ a la izquierda. $y = 2^{x-3}$ va 3 a la derecha, $y = 2^{x+3}$ va 3 a la izquierda.

Tomar $a$ (o $a + k$ ) como ordenada en el origen cuando la gráfica también está trasladada horizontalmente

Por qué está mal: La ordenada en el origen es $a$ solo para $y = a \cdot b^x$ . Después de una traslación horizontal, el exponente en $x = 0$ ya no es 0.

Correcto: Sustituye siempre $x = 0$ . Para $y = 2^{x-1} + 3$ : $2^{-1} + 3 = 3{,}5$ , ni 1 ni 4.

Tratar $-2^x$ como $(-2)^x$

Por qué está mal: Las potencias se calculan antes que el signo menos, así que $-2^x = -(2^x)$ . La base es 2, no $-2$ , y $(-2)^x$ ni siquiera es una función exponencial.

Correcto: $-2^x$ es la gráfica de $2^x$ reflejada respecto al eje de abscisas: en $x = 2$ da $-4$ , mientras que $(-2)^2 = 4$ .

Por qué es importante

Una gráfica muestra de un vistazo lo que una fórmula esconde. Cuando sabes esbozar una gráfica exponencial, puedes:

Reconocer datos exponenciales: cuando una gráfica de seguidores, células o ahorros se curva hacia arriba cada vez más rápido, una tabla de valores te dice si de verdad se multiplica por el mismo factor en cada paso.
Leer el valor inicial y el suelo: la ordenada en el origen es donde empieza la cantidad, y la asíntota $y = k$ es el nivel al que se acerca sin cruzarlo nunca, por ejemplo una base que siempre está ahí.
Comprobar un modelo rápidamente: un esbozo te dice enseguida si una fórmula sube o baja, dónde corta los ejes y qué valores son imposibles (fuera del recorrido).
Construir un modelo a partir de datos: dos puntos como $(0, 3)$ y $(1, 6)$ bastan para hallar $a$ y $b$ y predecir los valores siguientes.

Estas habilidades vuelven a aparecer más adelante en este tema: decrecimiento, período de semidesintegración, crecimiento continuo y ecuaciones exponenciales, y después en los logaritmos.

Aplicaciones del mundo real

Leer datos de laboratorio en una gráfica

Los biólogos representan el número de células frente al tiempo. Si los puntos están sobre una curva exponencial, dos medidas bastan para escribir el modelo y predecir cantidades posteriores.

Ejemplo:

Un cultivo con 100 células al principio y 200 células una hora después sigue $y = 100 \cdot 2^x$ , así que a las 4 horas la curva está en $100 \cdot 16 = 1600$ células.

1Inténtalo tú mismo

Un cultivo celular tiene 200 células en $x = 0$ horas y 600 células en $x = 1$ hora, y la gráfica es exponencial: $y = a \cdot b^x$ .

¿Cuántas células predice el modelo en $x = 3$ horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Halla $a$ y $b$ , y luego calcula $a \cdot b^3$ :

Visualizaciones de un vídeo con un nivel base

Algunas cantidades tienen una parte que crece exponencialmente sobre una parte constante. La parte constante es la traslación vertical $k$, y en la gráfica es la asíntota.

Ejemplo:

Un vídeo recibe cada día 100 visualizaciones fijas desde el buscador, más una parte compartida que se duplica cada día: $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ . Si retrocedemos en el tiempo, la parte compartida tiende a 0, así que la gráfica se acerca a $V = 100$ .

2Inténtalo tú mismo

Las visualizaciones diarias siguen $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ , donde $t$ es el número de días desde que se compartió el vídeo.

¿Cuántas visualizaciones recibe el vídeo el día $t = 4$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $25 \cdot 2^4 + 100$ :

Doblar una hoja de papel

Cada doblez duplica el grosor de una hoja, así que el grosor tras $n$ dobleces es una función exponencial cuya gráfica sube cada vez más deprisa.

Ejemplo:

Una hoja de 0,1 mm de grosor tiene un grosor $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Tras 7 dobleces son $0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8$ mm.

3Inténtalo tú mismo

Una hoja de papel mide 0,1 mm de grosor, y su grosor tras $n$ dobleces es $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm.

¿Tras cuántos dobleces supera la pila 1 mm por primera vez?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Haz una tabla de $0{,}1 \cdot 2^n$ y busca el primer valor mayor que 1:

Puntos clave

1Para representar $y = a \cdot b^x$ , haz una tabla de valores (por ejemplo $x = -2$ hasta $3$ ), dibuja los puntos y únelos con una curva suave
2Si $b > 1$ la gráfica sube de izquierda a derecha; si $0 < b < 1$ baja; $y = b^x$ e $y = (1/b)^x$ son simétricas respecto al eje de ordenadas
3Para $y = a \cdot b^x$ : ordenada en el origen $a$ , asíntota $y = 0$ , dominio todos los reales, recorrido $y > 0$ si $a > 0$
4En $y = a \cdot b^{x-h} + k$ : $h$ traslada a la derecha, $k$ hacia arriba y lleva la asíntota a $y = k$ , y $a < 0$ pone la gráfica por debajo de la asíntota
5Después de una traslación, halla la ordenada en el origen sustituyendo $x = 0$ ; el recorrido es $y > k$ o $y < k$
6Dos puntos dan la ecuación: $a$ es el valor en $x = 0$ , y el cociente de las ordenadas da una potencia de $b$

Preguntas frecuentes

¿Una gráfica exponencial llega a tocar su asíntota?

No. En

y = a \cdot b^x + k

, el término

a \cdot b^x

nunca es 0, así que

y

nunca es igual a

k

. La curva se acerca tanto como quieras, por eso el recorrido es

y > k

y < k

y nunca incluye

k

¿Cuántos puntos necesito para esbozar la gráfica?

Con cuatro o cinco basta: el corte con el eje de ordenadas, uno o dos puntos a cada lado y la asíntota. Una tabla desde

x = -2

hasta

x = 3

muestra tanto el lado plano como el lado empinado.

¿Por qué $y = 2^x$ e $y = (0{,}5)^x$ parecen imágenes reflejadas?

Porque

(0{,}5)^x = 2^{-x}

. El valor de

(0{,}5)^x

x = 3

es igual al valor de

2^x

x = -3

, así que cada punto

(x, y)

de una gráfica tiene su pareja

(-x, y)

en la otra.

¿Una traslación horizontal cambia la asíntota?

No. Trasladar a la izquierda o a la derecha desliza la curva a lo largo de la asíntota, que sigue en

y = k

. Solo la traslación vertical

k

mueve la asíntota. Eso sí, una traslación horizontal cambia la ordenada en el origen.

Glosario

Tabla de valores: Una lista de valores de $x$ elegidos con sus valores de $y$ correspondientes, que se usa para dibujar puntos de una gráfica
Asíntota horizontal: Una recta horizontal $y = k$ a la que la gráfica se acerca cada vez más sin llegar nunca a ella
Ordenada en el origen: El valor de $y$ donde la gráfica corta el eje de ordenadas; se halla sustituyendo $x = 0$
Dominio: Todos los valores de $x$ para los que la función está definida; en toda función exponencial son todos los números reales
Recorrido: Todos los valores de $y$ que alcanza la función; para $y = a \cdot b^x + k$ es $y > k$ (si $a > 0$ ) o $y < k$ (si $a < 0$ )
Transformación: Una traslación, reflexión o estiramiento que mueve o deforma una gráfica, descrita por $h$ , $k$ y $a$ en $y = a \cdot b^{x-h} + k$

Tarjeta de fórmulas

Función exponencial

y = a \cdot b^x

Pasa por $(0, a)$, asíntota $y = 0$, creciente si $b > 1$, decreciente si $0 < b < 1$

Forma transformada

y = a \cdot b^{x-h} + k

Traslación $h$ a la derecha y $k$ hacia arriba; asíntota $y = k$; recorrido $y > k$ si $a > 0$, $y < k$ si $a < 0$

Imagen reflejada

(1/b)^x = b^{-x}

Las gráficas de $b^x$ y $(1/b)^x$ son simétricas respecto al eje de ordenadas

Base a partir de dos puntos

b^{x_2 - x_1} = \frac{y_2}{y_1}

Divide las ordenadas de dos puntos de $y = a \cdot b^x$ para obtener una potencia de $b$

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

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Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Leer datos de laboratorio en una gráfica

Visualizaciones de un vídeo con un nivel base

Doblar una hoja de papel

Puntos clave

Preguntas frecuentes

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Tarjeta de fórmulas

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