Problemas de período de semidesintegración

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Una sustancia tiene un período de semidesintegración de $10$ años. ¿Qué fracción queda después de $2$ períodos?
1. a) $0$
2. b) $\frac{1}{4}$
3. c) $\frac{1}{2}$
4. d) $\frac{1}{8}$
Respuesta: $\frac{1}{4}$
Tras $2$ períodos queda $\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$ . No es $0$ : cada período solo quita la mitad de lo que queda.
2.
Una muestra de $60$ g tiene un período de semidesintegración de $5$ días. ¿Cuántos gramos quedan después de $5$ días?
Respuesta: 30
$5$ días son $1$ período, así que la muestra se divide entre dos una vez: $60 \times \frac{1}{2} = 30$ g.
3.
Una muestra empieza con $50$ mg y tiene un período de semidesintegración de $3$ horas. ¿Qué función da la cantidad $N(t)$ después de $t$ horas?
1. a) $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{3t}$
2. b) $N(t) = 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/50}$
3. c) $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$
4. d) $N(t) = 50 - \frac{1}{2} t$
Respuesta: $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$
$N_0 = 50$ y $T = 3$ , así que $N(t) = 50 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$ . El exponente $\frac{t}{3}$ cuenta los períodos. La última opción es lineal, no exponencial.
4.
Una muestra de medicamento tiene $320$ mg y una vida media de $2$ horas. ¿Cuántos mg quedan después de $6$ horas?
Respuesta: 40
1. ¿Cuántos períodos hay en 6 horas? 3
2. ¿Cuánto es $2^3$ ? 8
3. ¿Cuánto es $320 \div 8$ ? 40
5.
El yodo 131 tiene un período de semidesintegración de $8$ días. ¿Cuántos períodos pasan en $24$ días?
Respuesta: 3
$\frac{t}{T} = \frac{24}{8} = 3$ períodos.
6.
¿Qué porcentaje de una muestra radiactiva queda después de $3$ períodos? (Da el porcentaje como número, por ejemplo 50 para $50\,\%$ .)
Respuesta: 12.5
1. ¿Qué fracción queda? (Escríbela como 1/2.) 1/8
2. Escribe 1/8 como número decimal. 0.125
3. Escribe $0{,}125$ como porcentaje (solo el número). 12.5
7.
De una muestra queda $\frac{1}{16}$ de la cantidad inicial. ¿Cuántos períodos han pasado?
1. a)8
2. b)16
3. c)4
4. d)2
Respuesta: 4
$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{4}$ , así que han pasado $4$ períodos ( $1 \to \frac{1}{2} \to \frac{1}{4} \to \frac{1}{8} \to \frac{1}{16}$ ). El denominador 16 no es el número de períodos.
8.
Una herramienta de madera contiene $\frac{1}{4}$ de su carbono 14 original. El período de semidesintegración del carbono 14 es de $5730$ años. ¿Cuántos años tiene la herramienta?
Respuesta: 11460
Si queda $\frac{1}{4}$ , han pasado $2$ períodos, así que la edad es $2 \times 5730 = 11460$ años.
9.
Una muestra de $240$ g se reduce a $30$ g en $18$ horas. ¿Cuántas horas dura su período de semidesintegración?
Respuesta: 6
1. ¿Cuántas veces más pequeña es la muestra? ( $240 \div 30$ ) 8
2. $8 = 2^n$ . ¿Cuánto vale $n$ (el número de períodos)? 3
3. ¿Cuántas horas dura el período? 6
10.
Un hospital tiene $500$ mg de yodo 131 (período de $8$ días). ¿Cuántos mg quedan después de $40$ días?
Respuesta: 15.625
1. ¿Cuántos períodos hay en 40 días? 5
2. ¿Cuánto es $2^5$ ? 32
3. ¿Cuánto es $500 \div 32$ ? (decimal exacto) 15.625
11.
Un alumno dice: una muestra de $100$ g pierde $50$ g en cada período, así que después de $2$ períodos no queda nada. ¿Cuánto queda realmente después de $2$ períodos?
1. a)0 g
2. b)50 g
3. c)75 g
4. d)25 g
Respuesta: 25 g
$100 \to 50 \to 25$ : el segundo período quita la mitad de $50$ , no $50$ g. Así que quedan $25$ g.
12.
Un paciente toma $800$ mg de un medicamento con una vida media de $5$ horas. ¿Cuántos mg quedan después de $20$ horas?
Respuesta: 50
$\frac{20}{5} = 4$ períodos: $800 \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{800}{16} = 50$ mg ( $800 \to 400 \to 200 \to 100 \to 50$ ).
13.
Una sustancia tiene un período de semidesintegración de $3$ días. ¿Después de cuántos días queda solo $\frac{1}{32}$ ?
Respuesta: 15
1. $32 = 2^n$ . ¿Cuánto vale $n$ (el número de períodos)? 5
2. ¿Cuántos días son 5 períodos? 15
14.
¿Qué porcentaje de una muestra radiactiva se ha desintegrado (ha desaparecido) después de $3$ períodos?
1. a)37,5 %
2. b)75 %
3. c)87,5 %
4. d)12,5 %
Respuesta: 87,5 %
Queda: $\frac{1}{8} = 12{,}5\,\%$ . Desintegrado: $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 87{,}5\,\%$ . La respuesta $12{,}5\,\%$ es la parte que todavía está.
15.
Un paciente toma $800$ mg de un medicamento con una vida media de $4$ horas. ¿Cuántos mg quedan después de $6$ horas? Usa $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$ y redondea al mg más cercano.
Respuesta: 283
1. ¿Cuántos períodos son 6 horas? ( $\frac{t}{T}$ ) 1.5
2. Calcula $800 \times 0{,}3536$ . 282.88
3. Redondea al mg más cercano. 283
16.
Un fósil contiene $\frac{1}{64}$ de su carbono 14 original. El período de semidesintegración del carbono 14 es de $5730$ años. ¿Cuántos años tiene el fósil?
Respuesta: 34380
$64 = 2^6$ , así que han pasado $6$ períodos: $6 \times 5730 = 34380$ años.
17.
Una muestra de $2000$ g se reduce a $250$ g en $21$ días. Halla el período de semidesintegración y luego cuántos gramos quedan después de $35$ días (desde el principio).
Respuesta: 62.5
1. $2000 \div 250 = 8 = 2^n$ . ¿Cuánto vale $n$ ? 3
2. ¿Cuántos días dura el período? 7
3. ¿Cuántos períodos hay en 35 días? 5
4. ¿Cuánto es $2000 \div 2^5$ ? 62.5
18.
Un paciente toma $300$ mg de un medicamento con una vida media de $4$ horas. El medicamento se considera eliminado cuando quedan menos de $10$ mg. ¿Después de cuántas horas (un número entero de períodos) ocurre eso por primera vez?
Respuesta: 20
1. ¿Cuántos mg quedan tras 4 períodos? ( $300 \div 16$ ) 18.75
2. ¿Cuántos mg quedan tras 5 períodos? 9.375
3. ¿Tras cuántos períodos quedan menos de 10 mg? 5
4. ¿Cuántas horas son? 20