Guía del profesor: Problemas de período de semidesintegración

Aprende a usar el período de semidesintegración para hallar cuánto queda de una sustancia, cuánto tiempo ha pasado y cuánto dura un período.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Funciones exponenciales. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Usar la fórmula $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ para hallar la cantidad restante
Hallar la fracción y el porcentaje que quedan de una sustancia tras un número de períodos
Hallar el tiempo transcurrido cuando la fracción restante es una potencia de $\frac{1}{2}$
Hallar el período de semidesintegración de una sustancia a partir de dos mediciones
Aplicar el período de semidesintegración a la datación por carbono 14, los medicamentos y el yodo 131

Requisitos previos

• Introducción a las funciones exponenciales: la forma $f(x) = a \cdot b^x$
• Crecimiento exponencial: multiplicar por un factor constante en intervalos iguales
• Potencias de 2 y potencias de fracciones, como $\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$
• Convertir fracciones en decimales y porcentajes

Iniciadores de discusión

1. Si un medicamento tiene una vida media de 6 horas, ¿por qué los médicos no dicen que se tome cada 12 horas con el doble de dosis?
2. ¿Llega alguna vez una muestra radiactiva exactamente a cero? ¿Por qué?
3. ¿Por qué el carbono 14 sirve para fechar un hueso de 10000 años, pero no un fósil de dinosaurio de 10 millones de años?
4. ¿En qué se parece dividir entre dos en cada período a duplicar en cada tiempo de duplicación?

Conceptos erróneos comunes

Después de dos períodos ya no queda nada de la muestra

Remediación: Construye con la clase una tabla de mitades: $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$ . Pregunta qué queda tras el segundo período. Usa la simulación con monedas para mostrar que siempre quedan algunas.

El exponente de la fórmula es el tiempo $t$

Remediación: Pregunta: ¿cuántas veces se dividió entre dos la cantidad en 12 horas si el período es de 4 horas? Los alumnos cuentan 3 divisiones, lo que muestra que el exponente es $\frac{t}{T}$ .

Si queda $\frac{1}{16}$ , han pasado 16 períodos

Remediación: Escribe $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$ y numéralos del 1 al 4. La posición en la lista, no el denominador, es el número de períodos.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Usar tablas de mitades (tiempo, número de períodos, cantidad) antes de la fórmula
• Trabajar solo con números enteros de períodos y cantidades iniciales que sean potencias de 2
• Usar el visualizador de sucesiones para ver cada división entre dos como una barra

Para estudiantes de nivel:

• Hallar el tiempo transcurrido a partir de la fracción restante
• Hallar el período a partir de dos mediciones
• Pasar de fracción restante a porcentaje restante y porcentaje desintegrado

Para estudiantes avanzados:

• Trabajar con números no enteros de períodos usando la calculadora
• Escribir el factor de decrecimiento por unidad de tiempo, por ejemplo $\left(\frac{1}{2}\right)^{1/8}$ por día para el yodo 131
• Modelizar dosis repetidas de un medicamento y hallar la cantidad justo antes de la tercera dosis

Alineación con estándares

HSF-LE.A.1c (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1.C)
Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decrece en un porcentaje constante por unidad de tiempo
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Construir funciones lineales y exponenciales, incluidas sucesiones aritméticas y geométricas, a partir de una gráfica, una descripción o dos pares de valores
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en un contexto
HSF-IF.C.8b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.8.B)
Usar las propiedades de las potencias para interpretar expresiones de funciones exponenciales

Recursos de la lección

visualSucesión de mitades
Sucesión geométrica que empieza en 64 con razón 0,5 y muestra cómo las barras se reducen a la mitad en cada período
activitySimulación de desintegración con monedas
Los alumnos lanzan 100 monedas, retiran las que salen cara en cada ronda y anotan cuántas quedan; después comparan con 100 por un medio en cada ronda
worksheetDetective de la semidesintegración
Problemas de carbono 14, dosis de medicamentos y yodo 131 con números enteros de períodos

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

El período de semidesintegración

T

(también llamado vida media en muchos libros) de una sustancia es el tiempo que tarda en desaparecer la mitad de ella (desintegrarse, descomponerse o salir del cuerpo). Después de cada período, la cantidad se multiplica por

\frac{1}{2}

N_0

es la cantidad inicial, la cantidad que queda tras un tiempo

t

es:

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

donde:

$N_0$ = valor inicial (en $t = 0$ )
$T$ = período de semidesintegración (misma unidad de tiempo que $t$ )
$\frac{t}{T}$ = el número de períodos que han pasado

Tras

n

períodos completos, queda

\frac{N_0}{2^n}

Períodos	0	1	2	3	4	5
Fracción restante	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{32}$
Porcentaje restante	$100\,\%$	$50\,\%$	$25\,\%$	$12{,}5\,\%$	$6{,}25\,\%$	$3{,}125\,\%$

Es un decrecimiento exponencial con factor de decrecimiento

\frac{1}{2}

por período: la cantidad es cada vez más pequeña, pero nunca llega exactamente a cero.

Ejemplos resueltos

Una muestra de laboratorio contiene $80$ mg de una sustancia con un período de semidesintegración de $4$ horas. ¿Cuánto queda después de $12$ horas?

Halla el número de períodos

$\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ → 3 períodos

Escribe la fórmula

$N(12) = 80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ → Fórmula planteada

Calcula la potencia

$\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$ → Queda $\frac{1}{8}$ de la muestra

Multiplica

$80 \times \frac{1}{8} = 10$ (o divide entre dos tres veces: $80 \to 40 \to 20 \to 10$ ) → $10$ mg

Respuesta: Después de 12 horas quedan 10 mg de la sustancia.

Errores comunes

Dividir entre dos cada hora (o día, o año) en vez de una vez por período

Por qué está mal: Con un período de 4 horas, algunos alumnos calculan $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$ tras 12 horas. Pero la cantidad solo se reduce a la mitad cada 4 horas, no cada hora.

Correcto: El exponente es el número de períodos $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ , así que el resultado es $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 10$ .

Restar la mitad de la cantidad INICIAL en cada período

Por qué está mal: Calcular $100 \to 50 \to 0$ trata el decrecimiento como lineal. Cada período quita la mitad de lo que queda AHORA, no la mitad de la cantidad inicial.

Correcto: Divide entre dos la cantidad actual cada vez: $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$ . Una muestra nunca llega exactamente a cero.

Usar el denominador como número de períodos

Por qué está mal: Si queda $\frac{1}{8}$ , algunos alumnos dicen que han pasado 8 períodos. Pero tras 8 períodos solo quedaría $\frac{1}{256}$ .

Correcto: Escribe el denominador como potencia de 2: $8 = 2^3$ , así que han pasado 3 períodos.

Confundir la fracción que queda con la fracción desintegrada

Por qué está mal: Tras 3 períodos queda $\frac{1}{8}$ , así que se han desintegrado $\frac{7}{8}$ . La pregunta puede pedir cualquiera de las dos.

Correcto: Lee bien la pregunta: fracción desintegrada $= 1 -$ fracción restante. Tras 3 períodos: queda el $12{,}5\,\%$ y se ha desintegrado el $87{,}5\,\%$ .

Por qué es importante

Con el período de semidesintegración, científicos, médicos e ingenieros miden lo rápido que desaparece algo:

Arqueología: el carbono 14 tiene un período de semidesintegración de $5730$ años, así que el carbono que queda en huesos y madera revela su edad
Medicina: la vida media de un medicamento indica a los médicos cuándo dar la siguiente dosis
Hospitales: el yodo 131, que se usa para tratar enfermedades de la tiroides, tiene un período de $8$ días, y así el personal sabe cuándo un paciente puede volver a casa sin riesgo
Energía y seguridad: los residuos nucleares deben almacenarse hasta que pasen suficientes períodos

La buena noticia: cuando el tiempo es un número entero de períodos, puedes resolver estos problemas dividiendo entre dos, sin herramientas avanzadas.

Aplicaciones del mundo real

Datación por carbono 14

Los seres vivos absorben carbono 14. Al morir, se desintegra con un período de 5730 años, así que la fracción que queda revela la edad de huesos, madera y carbón vegetal.

Ejemplo:

Un trozo de madera con $\frac{1}{4}$ de su carbono 14 original tiene $2 \times 5730 = 11460$ años.

1Inténtalo tú mismo

El carbón de una antigua hoguera contiene $\frac{1}{16}$ de su carbono 14 original. El período de semidesintegración del carbono 14 es de $5730$ años.

¿Qué edad tiene el carbón?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Halla el número de períodos y luego multiplica por $5730$ :

Medicamentos en la sangre

Los médicos usan la vida media de un medicamento para decidir cuándo dar la siguiente dosis, de modo que la cantidad en el cuerpo sea segura y eficaz.

Ejemplo:

De una dosis de $400$ mg con una vida media de $6$ horas quedan $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{12/6} = 100$ mg tras $12$ horas.

2Inténtalo tú mismo

Un paciente toma $600$ mg de un medicamento con una vida media de $4$ horas.

¿Cuántos mg quedan después de $16$ horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula: $600 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/4}$

Tratamiento con yodo 131

El yodo 131 se usa para tratar enfermedades de la tiroides. Su período de 8 días indica al hospital lo rápido que baja la radiación y cuándo se pueden almacenar o eliminar los restos con seguridad.

Ejemplo:

$100$ mg de yodo 131 se convierten en $100 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/8} = 25$ mg tras $16$ días.

3Inténtalo tú mismo

Un hospital almacena $160$ mg de yodo 131 (período de $8$ días).

¿Cuántos mg quedan después de $24$ días?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula: $160 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$

Puntos clave

1El período de semidesintegración $T$ es el tiempo que tarda en desaparecer la mitad de una sustancia
2La cantidad que queda es $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ , donde $\frac{t}{T}$ es el número de períodos
3Tras $n$ períodos, la fracción que queda es $\frac{1}{2^n}$ : $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots$
4Para hallar el tiempo transcurrido, escribe la fracción restante como $\frac{1}{2^n}$ y multiplica $n$ por el período
5Para hallar el período, cuenta cuántas veces se divide entre dos la cantidad en los datos y divide el tiempo entre ese número
6Cada período quita la mitad de lo que queda en ese momento, así que la cantidad nunca llega exactamente a cero

Preguntas frecuentes

¿Llega a desaparecer por completo una sustancia?

Matemáticamente, no:

\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

nunca es cero. En la práctica, tras unos 10 períodos queda menos del

0{,}1\,\%

(

\frac{1}{1024}

), y eso se suele considerar desaparecido.

¿Por qué el exponente es $\frac{t}{T}$ y no simplemente $t$ ?

El factor

\frac{1}{2}

se aplica una vez por período, no una vez por unidad de tiempo. Al dividir el tiempo

t

entre el período

T

cuentas cuántos períodos han pasado.

¿Y si el tiempo no es un número entero de períodos?

La fórmula sigue funcionando, por ejemplo

400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}

. Usa una calculadora (escribe 400 × 0.5^1.5) o un valor dado como

\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536

. Hallar un tiempo desconocido en ese caso requiere logaritmos, que verás en una lección posterior.

¿Qué relación hay entre el período de semidesintegración y la tasa de decrecimiento?

En la lección de decrecimiento exponencial, una cantidad se multiplica por

b = 1 - r

en cada unidad de tiempo. El período de semidesintegración usa la misma idea, pero elige la unidad de tiempo para que el factor sea exactamente

\frac{1}{2}

, lo que facilita mucho el cálculo mental.

Glosario

Período de semidesintegración (vida media): El tiempo $T$ que tarda en desintegrarse o desaparecer la mitad de una sustancia
Valor inicial: La cantidad $N_0$ al principio, cuando $t = 0$
Número de períodos: El cociente $\frac{t}{T}$ : cuántas veces se ha dividido entre dos la cantidad
Desintegración radiactiva: El proceso en el que átomos inestables se transforman en otros átomos, perdiendo una fracción fija en cada intervalo de tiempo igual
Datación por carbono 14: Un método que halla la edad de un material que estuvo vivo a partir de la fracción de carbono 14 que queda (período de $5730$ años)

Tarjeta de fórmulas

Fórmula del período de semidesintegración

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = valor inicial, $T$ = período de semidesintegración, $t$ = tiempo transcurrido (misma unidad que $T$).

Tras n períodos

N = \frac{N_0}{2^n}, \quad n = \frac{t}{T}

Divide entre 2 una vez por cada período. El tiempo transcurrido es $t = n \cdot T$.

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