La base natural e

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué número es la mejor aproximación de $e$ ?
1. a)2,5
2. b)1,41421
3. c)3,14159
4. d)2,71828
Respuesta: 2,71828
$e \approx 2{,}71828$ . El número $3{,}14159$ es $\pi$ , $1{,}41421$ es $\sqrt{2}$ , y $2{,}5$ es demasiado pequeño.
2.
Si $f(x) = e^x$ , ¿cuánto vale $f(0)$ ?
1. a) $0$
2. b) $1$
3. c) $e$
4. d) $-1$
Respuesta: $1$
$f(0) = e^0 = 1$ . Por eso la gráfica de $y = e^x$ corta el eje y en $(0, 1)$ .
3.
Para $x > 0$ , ¿dónde queda la gráfica de $y = e^x$ ?
1. a)Por encima de $y = 2^x$ y por debajo de $y = 3^x$
2. b)Justo sobre la gráfica de $y = 3^x$
3. c)Por encima de $y = 2^x$ y de $y = 3^x$
4. d)Por debajo de $y = 2^x$ y de $y = 3^x$
Respuesta: Por encima de $y = 2^x$ y por debajo de $y = 3^x$
Como $2 < e < 3$ , para $x > 0$ se cumple $2^x < e^x < 3^x$ . Por ejemplo, en $x = 2$ : $4 < 7{,}389 < 9$ .
4.
¿Qué le pasa a $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ cuando $n$ se hace cada vez más grande?
1. a)Se acerca cada vez más a $1$
2. b)Se acerca cada vez más a $e \approx 2{,}71828$
3. c)Se acerca cada vez más a $2$
4. d)Crece sin límite
Respuesta: Se acerca cada vez más a $e \approx 2{,}71828$
Los valores son $2$ , $2{,}25$ , $2{,}613$ , $2{,}7146$ , ... Siguen aumentando, pero se estabilizan en $e \approx 2{,}71828$ , así que no crecen sin límite ni vuelven a $1$ o $2$ .
5.
Usando $e \approx 2{,}71828$ , ¿qué valor está más cerca de $e^3$ ?
1. a) $27$
2. b) $20{,}09$
3. c) $8{,}15$
4. d) $9$
Respuesta: $20{,}09$
$e^3 \approx 2{,}71828^3 \approx 20{,}09$ . El valor $8{,}15$ es $3e$ (un error típico), y $9 = 3^2$ y $27 = 3^3$ usan la base equivocada. Como $e < 3$ , $e^3$ tiene que ser menor que $27$ .
6.
Calcula $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ para $n = 2$ .
Respuesta: 2.25
$\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$ . Es el segundo valor de la tabla que se acerca a $e$ .
7.
La gráfica de $y = e^x$ corta el eje y en el punto $(0, b)$ . ¿Cuánto vale $b$ ?
Respuesta: 1
En $x = 0$ : $y = e^0 = 1$ , así que $b = 1$ . Toda función $y = b^x$ pasa por $(0, 1)$ .
8.
Usando $e^2 \approx 7{,}389$ , calcula $3e^2$ . Redondea a las décimas.
Respuesta: 22.2
$3e^2 \approx 3 \cdot 7{,}389 = 22{,}167$ , que redondeado es $22{,}2$ .
9.
Usando $e \approx 2{,}718$ , calcula $e^{-1} = \frac{1}{e}$ . Redondea a tres decimales.
Respuesta: 0.368
$e^{-1} = \frac{1}{e} \approx \frac{1}{2{,}718} \approx 0{,}36792$ , que redondeado es $0{,}368$ .
10.
Se ponen 1000 dólares en una cuenta que paga un 100 % de interés anual, con capitalización trimestral ( $n = 4$ ). ¿Cuánto hay en la cuenta después de un año? Redondea al céntimo.
Respuesta: 2441.41
$1{,}25^4 = 2{,}44140625$ , así que $A = 1000 \cdot 2{,}44140625 = 2441{,}40625 \approx 2441{,}41$ dólares. Es más que con capitalización anual (2000 dólares) y menos que el límite continuo $1000e \approx 2718{,}28$ dólares.
11.
Calcula $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ para $n = 4$ . Redondea el resultado final a cuatro decimales.
Respuesta: 2.4414
1. ¿Cuánto es $1 + \frac{1}{4}$ en forma decimal? 1.25
2. Elévalo al cuadrado: $1{,}25^2 = ?$ 1.5625
3. Vuelve a elevar al cuadrado: $1{,}5625^2$ , redondeado a cuatro decimales 2.4414
12.
Sea $f(x) = e^x$ . Halla $f(0)$ , $f(1)$ y $f(2)$ y luego comprueba cómo crecen los valores. Usa $e \approx 2{,}71828$ y $e^2 \approx 7{,}389$ .
Respuesta: 2.72
1. ¿Cuánto vale $f(0) = e^0$ ? 1
2. ¿Cuánto vale $f(1) = e^1$ , redondeado a tres decimales? 2.718
3. ¿Cuánto vale $f(2) = e^2$ (usa el valor dado)? 7.389
4. Divide $f(2)$ entre $f(1)$ : $\frac{7{,}389}{2{,}718}$ , redondeado a dos decimales 2.72
13.
Compara $2^2$ , $e^2$ y $3^2$ usando $e^2 \approx 7{,}389$ . ¿A qué distancia está $e^2$ de cada uno de los otros dos valores?
Respuesta: 1.611
1. ¿Cuánto es $2^2$ ? 4
2. ¿Cuánto es $3^2$ ? 9
3. ¿Cuánto mayor es $e^2$ que $2^2$ ? ( $7{,}389 - 4$ ) 3.389
4. ¿Cuánto menor es $e^2$ que $3^2$ ? ( $9 - 7{,}389$ ) 1.611
14.
Se invierten 1000 dólares al 10 % anual durante un año, con capitalización semestral ( $n = 2$ ). Compara el resultado con la capitalización continua usando $e^{0{,}1} \approx 1{,}10517$ .
Respuesta: 2.67
1. ¿Cuál es la tasa de interés por semestre en forma decimal? 0.05
2. ¿Cuál es el factor de crecimiento en un año, $1{,}05^2$ ? 1.1025
3. ¿Cuánto hay en la cuenta con capitalización semestral? 1102.5
4. ¿Cuánto hay con capitalización continua? ( $1000 \cdot 1{,}10517$ , redondeado al céntimo) 1105.17
5. ¿Cuál es la diferencia entre las dos cantidades? 2.67
15.
Calcula $4e^{0{,}5}$ con la calculadora, escribiendo $e$ como $2{,}71828$ . Redondea el resultado final a las centésimas.
Respuesta: 6.59
1. ¿Cuánto vale $e^{0{,}5} = \sqrt{e}$ , redondeado a cuatro decimales? (escribe 2.71828^0.5) 1.6487
2. Multiplica por $4$ : $4 \cdot 1{,}6487 = ?$ 6.5948
3. Redondea $6{,}5948$ a las centésimas 6.59
16.
1000 dólares ganan un 100 % de interés anual, con capitalización diaria ( $n = 365$ ), durante un año. ¿Cuánto queda el resultado por debajo del límite continuo $1000e$ ? Usa $e \approx 2{,}71828$ , redondea las dos cantidades al céntimo y da la diferencia en dólares.
Respuesta: 3.71
1. Calcula $\left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365}$ , redondeado a cuatro decimales 2.7146
2. ¿Cuánto hay en la cuenta después de un año, redondeado al céntimo? 2714.57
3. ¿Cuánto vale el límite continuo $1000e$ , redondeado al céntimo? 2718.28
4. ¿Cuál es la diferencia entre las dos cantidades? 3.71
17.
Demuestra que en $x = -1$ el valor de $e^x$ sigue estando entre $2^x$ y $3^x$ . Usa $e \approx 2{,}718$ y redondea a tres decimales.
Respuesta: 0.368
1. ¿Cuánto es $2^{-1}$ ? 0.5
2. ¿Cuánto es $3^{-1}$ , redondeado a tres decimales? 0.333
3. ¿Cuánto es $e^{-1} = \frac{1}{2{,}718}$ , redondeado a tres decimales? Debería quedar entre tus dos respuestas. 0.368
18.
Se invierten 1000 dólares al 12 % anual durante un año. ¿Cuánto más obtienes con capitalización continua ( $A = Pe^{rt}$ ) que con capitalización anual? Usa $e^{0{,}12} \approx 1{,}1275$ .
Respuesta: 7.5
1. ¿Cuánto vale el exponente $rt$ ? 0.12
2. ¿Cuál es la cantidad con capitalización continua? ( $1000 \cdot 1{,}1275$ ) 1127.5
3. ¿Cuál es la cantidad con capitalización anual? ( $1000 \cdot 1{,}12$ ) 1120
4. ¿Cuánto más da la capitalización continua? 7.5