Guía del profesor: La base natural e

Descubre de dónde viene el número e, por qué vale aproximadamente 2,71828 y cómo se comporta la función exponencial natural y = e^x.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Funciones exponenciales. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Explicar cómo surge el número e como límite de (1 + 1/n)^n
Calcular el interés compuesto para distintas frecuencias de capitalización y describir el límite al que se acercan
Evaluar expresiones con e usando la aproximación e ≈ 2,71828
Describir la gráfica de y = e^x y compararla con y = 2^x y y = 3^x
Reconocer que e es irracional y usar las aproximaciones correctamente

Requisitos previos

• Introducción a las funciones exponenciales: la forma f(x) = a · b^x, valor inicial y base
• Crecimiento exponencial: factor de crecimiento y la fórmula A(t) = A_0(1 + r)^t
• Fórmula del interés compuesto A = P(1 + r/n)^(nt)
• Exponentes negativos y exponente cero

Iniciadores de discusión

1. Si los intereses se añadieran cada segundo, ¿te harías infinitamente rico? ¿Por qué sí o por qué no?
2. ¿Por qué crees que (1 + 1/n)^n no se reduce simplemente a 1, aunque 1 + 1/n se acerque a 1?
3. Tanto e como pi son constantes irracionales. ¿Qué otras constantes famosas conoces y de dónde vienen?
4. Sin calculadora, ¿cómo podrías demostrar que e^x tiene que quedar entre 2^x y 3^x?

Conceptos erróneos comunes

La sucesión (1 + 1/n)^n crece para siempre porque el exponente crece para siempre

Remediación: Pide a los alumnos que calculen los valores para n = 10, 100, 1000 y 1000000 y observen lo poco que añade cada nuevo valor. Pregunta si una suma de aumentos cada vez más pequeños tiene que llegar a ser infinita.

e es una incógnita que hay que despejar, como x

Remediación: Compara e con pi: ambos son números fijos que se nombran con una letra porque sus decimales nunca terminan. Reescribe e^x como 2,71828^x en algunos ejercicios para dejarlo claro.

La capitalización continua da muchísimo dinero extra

Remediación: Muestra la tabla para el 12 % sobre 1000 dólares: la diaria da 1127,47 dólares y la continua 1127,50 dólares. La diferencia es solo de unos pocos céntimos.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con la tabla de (1 + 1/n)^n y pedir que completen a mano solo n = 1 y n = 2
• Dar e ≈ 2,71828 y los valores e^2 ≈ 7,389 y e^-1 ≈ 0,368 en una tarjeta de referencia
• Usar la calculadora de intereses para cambiar el periodo de capitalización en lugar de calcular potencias a mano

Para estudiantes de nivel:

• Calcular el interés compuesto con capitalización anual, trimestral, mensual y diaria y comparar
• Evaluar expresiones como 3e^2 y e^0,5 con la calculadora
• Dibujar y = 2^x, y = e^x y y = 3^x en los mismos ejes a partir de una tabla de valores

Para estudiantes avanzados:

• Explorar la serie e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ... y comparar lo rápido que se acerca a e
• Investigar (1 + r/n)^n para r = 2 y r = 0,5 y conjeturar el límite (e^r)
• Investigar por qué aparece 1/e en el problema del amigo invisible (desarreglos)

Alineación con estándares

HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.E)
Representar funciones exponenciales y logarítmicas mostrando los puntos de corte y el comportamiento en los extremos
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Construir funciones lineales y exponenciales a partir de una gráfica, una descripción o dos pares de valores
HSA-SSE.B.3c (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.3.C)
Usar las propiedades de las potencias para transformar expresiones de funciones exponenciales

Recursos de la lección

visualExplorador de la frecuencia de capitalización
Poner 1000 dólares al 100 % durante un año y pasar de capitalización anual a diaria para ver cómo el total se acerca a 2718,28 dólares
activityA la caza del número e
Los grupos calculan (1 + 1/n)^n para n = 1, 2, 10, 100, 1000, 1000000 y representan los resultados en una gráfica
worksheetEvaluar e^x
Practicar la evaluación de expresiones con e y comparar e^x con 2^x y 3^x

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La base natural

e

es un número especial, aproximadamente

2{,}71828

. Aparece cuando calculas la expresión

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

para valores de

n

cada vez más grandes:

$n$	$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
$1$	$2$
$2$	$2{,}25$
$12$	$\approx 2{,}61304$
$365$	$\approx 2{,}71457$
$1\,000\,000$	$\approx 2{,}71828$

Los valores siguen creciendo, pero nunca pasan de cierto límite. Ese límite es el número

e

e \approx 2{,}718281828\ldots

Datos clave:

$e$ es irracional: sus decimales nunca terminan ni se repiten, así que $2{,}71828$ es solo una aproximación
$e$ está entre $2$ y $3$ , por lo que la gráfica de la función exponencial natural $y = e^x$ queda entre las gráficas de $y = 2^x$ y $y = 3^x$
Como toda función $y = b^x$ , pasa por $(0, 1)$ , porque $e^0 = 1$
La base $e$ se usa tanto que a $e^x$ se le suele llamar simplemente la función exponencial

Ejemplos resueltos

Calcula $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ para $n = 1$ , $n = 2$ y $n = 12$ . ¿Qué observas?

Toma $n = 1$

$\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2$

Toma $n = 2$

$\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$

Toma $n = 12$ (con la calculadora)

$\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1{,}083333^{12} \approx 2{,}61304$

Compara con valores de $n$ mayores

$n = 365$ da $\approx 2{,}71457$ , $n = 1\,000\,000$ da $\approx 2{,}71828$ → Los valores crecen cada vez más despacio

Respuesta: Los resultados $2$ , $2{,}25$ , $2{,}61304$ , ... siguen aumentando, pero se estabilizan cerca de $e \approx 2{,}71828$ y nunca lo superan.

Errores comunes

Pensar que $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ crece sin límite, o que se reduce a $1$

Por qué está mal: Hay dos efectos que compiten: $1 + \frac{1}{n}$ se acerca a $1$ , pero el exponente $n$ se hace más grande. Ninguno de los dos gana del todo.

Correcto: Compruébalo con una tabla: $2$ , $2{,}25$ , $2{,}613$ , $2{,}7146$ , $2{,}71828$ . Los valores aumentan, pero se estabilizan en $e \approx 2{,}71828$ .

Tratar $e$ como una variable, igual que $x$

Por qué está mal: En álgebra las letras suelen representar incógnitas, así que algunos alumnos intentan despejar $e$ o sustituirla por otros números.

Correcto: $e$ es una constante fija, igual que $\pi$ . En $y = e^x$ la variable es $x$ ; $e \approx 2{,}71828$ nunca cambia.

Calcular $e^2$ como $2e \approx 5{,}437$

Por qué está mal: Un exponente indica una multiplicación repetida, no una multiplicación por el exponente.

Correcto: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$ .

Escribir $e = 2{,}71828$ o $e = 2{,}72$ como si fuera exacto

Por qué está mal: $e$ es irracional, así que ningún decimal finito ni ninguna fracción es exactamente igual a $e$ .

Correcto: Escribe $e \approx 2{,}71828$ y redondea solo al final del cálculo, con la precisión que pida el problema.

Por qué es importante

El número

e

aparece siempre que algo crece o disminuye en proporción a su tamaño actual:

Bancos: cuando los intereses se añaden cada vez con más frecuencia (cada mes, cada día, cada segundo), el resultado se acerca a un límite basado en $e$ . Esto se llama capitalización continua
Biología: las bacterias y los cultivos celulares que crecen sin pausas se modelan con $e^x$
Física y química: la desintegración radiactiva, el enfriamiento y la carga de un condensador usan potencias de $e$
Probabilidad: si muchas personas sacan nombres para un amigo invisible, la probabilidad de que nadie saque su propio nombre es de aproximadamente $\frac{1}{e} \approx 0{,}368$
Cálculo: $e^x$ es la única función exponencial cuya tasa de cambio en cada punto es igual a su propio valor, lo que la convierte en la elección natural en ciencias

Por eso las calculadoras científicas tienen una tecla

e^x

, y por eso las lecciones siguientes (crecimiento continuo, modelos de población) usan la base

e

Aplicaciones del mundo real

Bancos y frecuencia de capitalización

Los bancos anuncian una tasa anual, pero pueden añadir los intereses cada año, cada mes o cada día. Cuanto más a menudo se añaden, más se acerca el resultado al límite continuo basado en $e$.

Ejemplo:

Al 12 % anual, 1000 dólares se convierten en 1120,00 dólares con capitalización anual y en unos 1127,50 dólares con capitalización continua ( $1000 \cdot e^{0{,}12}$ ).

1Inténtalo tú mismo

Depositas 1000 dólares al 12 % anual, con capitalización mensual, durante un año.

¿Cuánto hay en la cuenta después de un año, redondeado al céntimo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{12}\right)^{12}$ :

Cultivos celulares en crecimiento

Las células de un cultivo de laboratorio se dividen en todo momento, no una vez al día, así que los biólogos describen su crecimiento con la base $e$: $N = N_0 e^{kt}$.

Ejemplo:

Un cultivo de 200 células modelado por $N = 200e^{t}$ ( $t$ en horas) tiene $200e^{1} \approx 544$ células después de 1 hora.

2Inténtalo tú mismo

Un cultivo empieza con 200 células y se modela con $N = 200e^{t}$ , con $t$ en horas.

¿Cuántas células hay aproximadamente después de 2 horas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $200 \cdot e^2$ :

El amigo invisible y 1/e

En un amigo invisible en el que cada persona saca un nombre de un sombrero, la probabilidad de que nadie saque su propio nombre es casi exactamente $\frac{1}{e}$ en cuanto el grupo tiene más de unas pocas personas.

Ejemplo:

En una clase de 25 alumnos, la probabilidad de que nadie saque su propio nombre es de aproximadamente $0{,}368$ , así que hay que repetir el sorteo en un 63 % de los casos.

3Inténtalo tú mismo

Un grupo grande saca nombres para un amigo invisible. La probabilidad de que nadie saque su propio nombre es $\frac{1}{e}$ .

¿Cuál es la probabilidad, en porcentaje, de que al menos una persona saque su propio nombre?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $1 - \frac{1}{e}$ :

Puntos clave

1A medida que $n$ crece, $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ se acerca cada vez más al número $e \approx 2{,}71828$
2 $e$ es irracional: $2{,}71828$ es una aproximación, no el valor exacto
3Capitalizar con más frecuencia (cada año, cada mes, cada día) da más dinero, pero la cantidad se acerca a un límite: la capitalización continua
4La función exponencial natural $y = e^x$ pasa por $(0, 1)$ y tiene el eje x como asíntota horizontal
5Como $2 < e < 3$ , la gráfica de $y = e^x$ queda entre las gráficas de $y = 2^x$ y $y = 3^x$
6El crecimiento continuo usa $A = Pe^{rt}$ , que estudiarás en la lección Crecimiento y decrecimiento continuos

Preguntas frecuentes

¿Por qué se llama a e la base natural?

Porque aparece por sí sola en la naturaleza y en las finanzas siempre que algo crece de forma continua y no a saltos. En cálculo,

e^x

es la única función exponencial cuya pendiente en cada punto es igual a su propio valor, lo que hace que las fórmulas con base

e

sean las más sencillas.

¿Quién descubrió el número e?

Jacob Bernoulli lo encontró hacia 1683 estudiando el interés compuesto, igual que en esta lección. Más tarde Leonhard Euler le dio el nombre

e

, demostró muchas de sus propiedades y calculó muchos de sus decimales; por eso se llama número de Euler.

¿Es e lo mismo que la constante de Euler?

No. El número de Euler

e \approx 2{,}71828

es la base de la función exponencial natural. La constante de Euler-Mascheroni

\gamma \approx 0{,}5772

es otro número, de la teoría de números. En este tema solo se usa

e

¿Cómo uso e en una calculadora?

La mayoría de las calculadoras científicas tienen una tecla

e^x

. La calculadora de esta lección también tiene

e

: escribe e^0.5 para

e^{0{,}5}

, que da aproximadamente

1{,}6487

. Sin tecla

e

, escribe 2.71828 en su lugar, por ejemplo 2.71828^0.5.

Glosario

Número e (de Euler): La constante irracional $e \approx 2{,}71828$ , el límite de $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ cuando $n$ crece
Función exponencial natural: La función $f(x) = e^x$ , una función exponencial de base $e$
Número irracional: Un número que no se puede escribir como fracción; sus decimales nunca terminan ni se repiten (ejemplos: $e$ , $\pi$ , $\sqrt{2}$ )
Frecuencia de capitalización: Cuántas veces al año se añaden intereses al saldo, se escribe $n$ (anual $n = 1$ , mensual $n = 12$ , diaria $n = 365$ )
Capitalización continua: El límite al añadir intereses cada vez con más frecuencia; la cantidad es $A = Pe^{rt}$

Tarjeta de fórmulas

Definición de e

e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828

Para $n$ muy grande, $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ está muy cerca de $e$.

Función exponencial natural

f(x) = e^x

Pasa por $(0, 1)$, siempre es positiva, asíntota horizontal $y = 0$, queda entre $2^x$ y $3^x$.

Interés compuesto

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = capital inicial, $r$ = tasa anual en forma decimal, $n$ = capitalizaciones por año, $t$ = años.

Capitalización continua

A = Pe^{rt}

El límite del interés compuesto cuando $n$ crece sin límite.

Más sobre este tema

Guía del profesor: La base natural e

Usa esta lección con tu clase

Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Bancos y frecuencia de capitalización

Cultivos celulares en crecimiento

El amigo invisible y 1/e

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Definición de e

Función exponencial natural

Interés compuesto

Capitalización continua

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Decrecimiento exponencial