Modelos de crecimiento de población

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Un pueblo de $2000$ habitantes crece un $4\%$ al año. ¿Qué función modela su población después de $t$ años?
1. a) $P(t) = 2000 \cdot 0{,}04^t$
2. b) $P(t) = 2000 \cdot 1{,}04^t$
3. c) $P(t) = 2000 + 1{,}04t$
4. d) $P(t) = 2000 \cdot 4^t$
Respuesta: $P(t) = 2000 \cdot 1{,}04^t$
$4\% = 0{,}04$ , así que el factor de crecimiento es $1{,}04$ y $P(t) = 2000 \cdot 1{,}04^t$ . La base $0{,}04$ haría disminuir el pueblo, $4$ lo cuadruplicaría cada año y $2000 + 1{,}04t$ es lineal.
2.
Una población de $6000$ se duplica cada $15$ años. ¿Qué modelo da la población después de $t$ años?
1. a) $P(t) = 6000 \cdot 2^{15t}$
2. b) $P(t) = 6000 \cdot 2^t$
3. c) $P(t) = 6000 \cdot 2^{t/15}$
4. d) $P(t) = 6000 \cdot 15^{t/2}$
Respuesta: $P(t) = 6000 \cdot 2^{t/15}$
El modelo de duplicación es $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ con $d = 15$ , así que $P(t) = 6000 \cdot 2^{t/15}$ . A los $15$ años el exponente es $1$ y la población es $12000$ .
3.
La población de un país crece un $2\%$ al año. Según la regla del 70, ¿cuánto tarda aproximadamente en duplicarse?
1. a)14 años
2. b)35 años
3. c)140 años
4. d)3500 años
Respuesta: 35 años
$d \approx \frac{70}{2} = 35$ años. Dividir entre $0{,}02$ daría $3500$ , demasiado grande. El tiempo de duplicación exacto también es de unos $35$ años.
4.
Una población de conejos en una isla creció de forma exponencial durante unos años, pero ahora su crecimiento se está frenando. ¿Cuál es la razón más probable?
1. a)El factor de crecimiento de un modelo exponencial baja de 1 tras unos años
2. b)Las poblaciones siempre pasan a crecer linealmente después de exactamente 5 años
3. c)La comida y el espacio son limitados, así que la población se acerca a la capacidad de carga
4. d)Las funciones exponenciales siempre alcanzan un valor máximo
Respuesta: La comida y el espacio son limitados, así que la población se acerca a la capacidad de carga
La comida y el espacio de la isla son limitados. Cuando la población se acerca a la capacidad de carga, el crecimiento se frena y la curva se aplana (crecimiento logístico). Las funciones exponenciales con $b > 1$ no tienen máximo, así que el frenazo viene del entorno, no de las matemáticas.
5.
Las ciudades A y B tienen hoy $10000$ habitantes cada una. La ciudad A crece $500$ personas al año; la ciudad B crece un $5\%$ al año. ¿Qué afirmación sobre las poblaciones dentro de 20 años es verdadera? (Usa $1{,}05^{20} \approx 2{,}6533$ .)
1. a)La ciudad B tiene unos 6533 habitantes más
2. b)Las dos ciudades tienen 20000 habitantes
3. c)La ciudad B tiene exactamente 500 habitantes más
4. d)La ciudad A tiene unos 6533 habitantes más
Respuesta: La ciudad B tiene unos 6533 habitantes más
Ciudad A: $10000 + 500 \cdot 20 = 20000$ . Ciudad B: $10000 \cdot 1{,}05^{20} \approx 26533$ . El primer año las dos ganan $500$ habitantes, pero la ciudad exponencial se adelanta en unas $26533 - 20000 = 6533$ personas.
6.
Una colonia de $1500$ conejos crece un $10\%$ al año. ¿Cuántos conejos hay al cabo de 1 año?
Respuesta: 1650
$P(1) = 1500 \cdot 1{,}1 = 1650$ conejos.
7.
Una ciudad de $4000$ habitantes se duplica cada $8$ años. ¿Cuál es su población al cabo de $24$ años?
Respuesta: 32000
$\frac{24}{8} = 3$ duplicaciones, así que $P(24) = 4000 \cdot 2^3 = 4000 \cdot 8 = 32000$ .
8.
Una población de peces crece un $7\%$ al año. Usa la regla del 70 para estimar su tiempo de duplicación en años.
Respuesta: 10
$d \approx \frac{70}{7} = 10$ años. Es una estimación: el tiempo de duplicación exacto es de unos $10{,}2$ años.
9.
Un pueblo tenía $2500$ habitantes en 2023 y $2600$ en 2024. ¿Cuál es su tasa de crecimiento anual en porcentaje? (Escribe solo el número, por ejemplo 5.)
Respuesta: 4
$\frac{2600}{2500} = 1{,}04$ , así que $r = 1{,}04 - 1 = 0{,}04 = 4\%$ al año.
10.
Un cultivo de $200$ bacterias se duplica cada $25$ minutos. ¿Al cabo de cuántos minutos habrá $12800$ bacterias?
Respuesta: 150
$\frac{12800}{200} = 64 = 2^6$ , así que hacen falta 6 duplicaciones: $6 \cdot 25 = 150$ minutos.
11.
Una ciudad de $30000$ habitantes crece un $2\%$ al año. ¿Cuál es su población al cabo de 2 años?
Respuesta: 31212
1. ¿Cuál es el factor de crecimiento $1 + r$ ? 1.02
2. ¿Cuánto es $1{,}02^2$ ? 1.0404
3. Multiplica por $30000$ . ¿Cuál es la población al cabo de 2 años? 31212
12.
Una muestra de $50$ bacterias se duplica cada $10$ minutos. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 1 hora?
Respuesta: 3200
1. ¿Cuántas duplicaciones hay en 60 minutos? 6
2. ¿Cuánto es $2^6$ ? 64
3. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 1 hora? 3200
13.
Un lago tenía $800$ peces el año pasado y tiene $880$ este año. Suponiendo el mismo crecimiento porcentual anual, ¿cuántos peces habrá 2 años después del recuento de 800?
Respuesta: 968
1. ¿Cuál es el factor de crecimiento $\frac{880}{800}$ ? 1.1
2. ¿Cuál es la tasa de crecimiento anual en porcentaje? (Escribe solo el número.) 10
3. Calcula $P(2) = 800 \cdot 1{,}1^2$ . 968
14.
Un país de $5$ millones de habitantes crece un $1{,}4\%$ al año. Usa la regla del 70 para estimar su población dentro de 100 años (en millones).
Respuesta: 20
1. Estima el tiempo de duplicación en años con la regla del 70. 50
2. ¿Cuántas duplicaciones hay en 100 años? 2
3. Estima la población dentro de 100 años, en millones. 20
15.
Una población de $1000$ ciervos se duplica cada $10$ años. Estima la población al cabo de $5$ años. (Redondea $2^{0{,}5}$ a 3 decimales.)
Respuesta: 1414
1. ¿Cuánto vale el exponente $\frac{t}{d}$ ? 0.5
2. ¿Cuánto es $2^{0{,}5}$ , redondeado a 3 decimales? 1.414
3. Estima la población al cabo de 5 años. 1414
16.
Una ciudad tenía $40000$ habitantes en 2020 y $44000$ en 2021. Haz una previsión para 2023 con un modelo lineal y con un modelo exponencial. ¿Cuánto mayor es la previsión exponencial?
Respuesta: 1240
1. Modelo lineal: ¿cuántos habitantes se suman cada año? 4000
2. ¿Cuál es la previsión lineal para 2023? 52000
3. Modelo exponencial: ¿cuál es el factor de crecimiento? 1.1
4. ¿Cuál es la previsión exponencial para 2023? 53240
5. ¿Cuánto mayor es la previsión exponencial? 1240
17.
Una ciudad tenía $5000$ habitantes en 2018 y $7200$ en 2020. Suponiendo el mismo crecimiento porcentual anual, predice la población en 2022.
Respuesta: 10368
1. ¿Cuál es el factor de crecimiento en 2 años, $\frac{7200}{5000}$ ? 1.44
2. ¿Cuál es el factor de crecimiento anual $b$ ? 1.2
3. ¿Cuál es la tasa de crecimiento anual en porcentaje? (Escribe solo el número.) 20
4. Predice la población en 2022. 10368
18.
Una población de $10000$ crece un $5\%$ al año. Estima el tiempo de duplicación con la regla del 70 y luego comprueba la estimación: ¿cuál es la población al cabo de ese número de años?
Respuesta: 19800
1. Estima el tiempo de duplicación en años con la regla del 70. 14
2. Calcula $1{,}05^{14}$ con la calculadora, redondeado a 2 decimales. 1.98
3. Usando $1{,}98$ , ¿cuál es la población al cabo de 14 años? 19800