Guía del profesor: Modelos de crecimiento de población

Modela poblaciones de bacterias, ciudades y animales con funciones exponenciales, el tiempo de duplicación y la regla del 70.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Funciones exponenciales. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Escribir y evaluar modelos de población de la forma $P(t) = P_0 (1 + r)^t$ y $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$
Estimar tiempos de duplicación con la regla del 70 y explicar que es una aproximación
Construir un modelo exponencial de población a partir de dos datos
Comparar previsiones lineales y exponenciales hechas con los mismos datos
Explicar de forma cualitativa por qué el crecimiento real se frena cerca de la capacidad de carga

Requisitos previos

• Introducción a las funciones exponenciales: la forma $f(x) = a \cdot b^x$
• Crecimiento exponencial: factor de crecimiento $1 + r$ y la fórmula $A(t) = A_0 (1 + r)^t$
• Conversión entre porcentajes y números decimales
• Funciones lineales de la forma $y = mx + b$

Iniciadores de discusión

1. Si una ciudad se duplica cada 35 años, ¿cuántas veces más grande será dentro de 140 años? ¿Es realista?
2. ¿Por qué dos científicos con los mismos datos pueden hacer previsiones muy distintas para 2050?
3. ¿Qué podría limitar el crecimiento de una población de conejos en una isla?
4. ¿En qué situaciones cotidianas resulta útil la regla del 70, por ejemplo con ahorros o precios?

Conceptos erróneos comunes

El crecimiento exponencial puede continuar para siempre

Remediación: Lleva el modelo muy lejos: 1000 conejos que se duplican cada año superarían los mil millones en 20 años. Hablad de comida, espacio y depredadores y luego dibujad la curva logística en forma de S que se estabiliza en la capacidad de carga.

Dos datos siempre determinan un único modelo correcto

Remediación: Haz pasar una recta y una exponencial por los mismos dos puntos (ejemplo 5). Ambas pasan por los datos, pero sus previsiones se separan. Hacen falta más datos para decidir qué patrón encaja.

La regla del 70 da el tiempo de duplicación exacto

Remediación: Pide al alumnado que compruebe $1{,}05^{14}$ con la calculadora: da unos $1{,}98$ , no exactamente $2$ . La regla es un atajo que se acerca mucho para tasas pequeñas.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar solo con duplicaciones enteras (t/d es un número entero) y construir una tabla paso a paso
• Dar una tarjeta que pase porcentajes a factores de crecimiento (2% a 1,02, 5% a 1,05)
• Usar el visualizador de sucesiones para ver cada duplicación como una barra nueva

Para estudiantes de nivel:

• Aplicar la regla del 70 y comparar con los valores de $(1 + r)^d$ en la calculadora
• Construir modelos a partir de dos recuentos anuales consecutivos y hacer predicciones
• Comparar previsiones lineales y exponenciales para el mismo pueblo

Para estudiantes avanzados:

• Construir un modelo con recuentos separados varios años, usando raíces como $\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$
• Investigar datos reales de censos y comprobar si parecen lineales, exponenciales o logísticos
• Estudiar la regla del 72 que se usa en finanzas y compararla con la regla del 70

Alineación con estándares

HSF-LE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1)
Distinguir situaciones que se modelan con funciones lineales y con funciones exponenciales
HSF-LE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.2)
Construir funciones lineales y exponenciales a partir de una gráfica, una descripción o dos pares de valores
HSF-LE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.3)
Observar que una cantidad que crece exponencialmente acaba superando a una que crece linealmente
HSF-LE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.B.5)
Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en un contexto

Recursos de la lección

visualSucesión de duplicaciones
Progresión geométrica que empieza en 300 con razón 2: cada barra es una duplicación de un cultivo de bacterias
visualDiagrama de barras de una población
Una población de 10000 que crece un 10% al año, con saltos mayores cada año
activityDuelo de previsiones
Los grupos reciben dos censos de una ciudad real, construyen una previsión lineal y otra exponencial y las comparan con el censo real posterior
worksheetPráctica de tiempo de duplicación
Estimaciones con la regla del 70 comparadas con valores exactos de calculadora para distintas tasas

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un modelo de población es una función que predice cuántos individuos (personas, bacterias, animales) habrá después de un tiempo

t

. Cuando una población crece el mismo porcentaje cada año, sigue un modelo exponencial:

P(t) = P_0 (1 + r)^t

$P_0$ = población inicial (en $t = 0$ )
$r$ = tasa de crecimiento anual en forma decimal (3% significa $r = 0{,}03$ )
$1 + r$ = factor de crecimiento
$t$ = tiempo en años

Cuando conocemos el tiempo de duplicación

d

(lo que tarda la población en duplicarse), podemos escribir el mismo tipo de modelo así:

P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}

El exponente

\frac{t}{d}

cuenta cuántas duplicaciones han ocurrido. Una estimación rápida une las dos formas, la regla del 70:

d \approx \frac{70}{\text{tasa de crecimiento en porcentaje}}

Es solo una aproximación, pero es muy buena para tasas pequeñas.

El diagrama de barras muestra una población de

10000

que crece un

10\%

al año:

10000

11000

12100

13310

14641

. Cada barra es

1{,}1

veces la anterior, así que los saltos son mayores cada año.

Ejemplos resueltos

Una ciudad tiene $50000$ habitantes y crece un $2\%$ al año. Estima su población dentro de 5 años.

Identifica $P_0$ , $r$ y $t$

$P_0 = 50000$ , $r = 0{,}02$ , $t = 5$ → Valores identificados

Halla el factor de crecimiento

$1 + r = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ → Factor de crecimiento $1{,}02$

Escribe el modelo

$P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ → Modelo listo

Evalúa en $t = 5$

$P(5) = 50000 \cdot 1{,}02^5 \approx 50000 \cdot 1{,}10408 \approx 55204$ → $P(5) \approx 55204$

Respuesta: Dentro de 5 años la ciudad tendrá unos 55204 habitantes.

Errores comunes

Usar el porcentaje tal cual en el factor de crecimiento: $50000 \cdot (1 + 2)^t$

Por qué está mal: Una tasa del $2\%$ es $0{,}02$ en forma decimal. Escribir $1 + 2 = 3$ significaría que la ciudad se triplica cada año.

Correcto: Convierte primero el porcentaje: $2\% = 0{,}02$ , así que el factor de crecimiento es $1{,}02$ y $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ .

Olvidar dividir entre el tiempo de duplicación: $300 \cdot 2^{180}$

Por qué está mal: El exponente debe contar duplicaciones, no minutos. En 180 minutos solo hay $\frac{180}{30} = 6$ duplicaciones.

Correcto: Usa $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ : $300 \cdot 2^{180/30} = 300 \cdot 2^6 = 19200$ .

Usar la tasa decimal en la regla del 70: $\frac{70}{0{,}035} = 2000$ años

Por qué está mal: La regla del 70 está pensada para la tasa escrita como porcentaje. Con el decimal sale un resultado 100 veces demasiado grande.

Correcto: Divide 70 entre el número del porcentaje: $\frac{70}{3{,}5} = 20$ años, y recuerda que es una estimación.

Dividir entre el recuento posterior al calcular la tasa: $\frac{120}{1320} \approx 9{,}1\%$

Por qué está mal: La tasa de crecimiento se mide respecto a la población de partida, no a la final.

Correcto: Divide el recuento nuevo entre el antiguo: $\frac{1320}{1200} = 1{,}1$ , así que $r = 10\%$ .

Por qué es importante

Los modelos de población ayudan a planificar el futuro:

Las ciudades usan previsiones de crecimiento para decidir cuántos colegios, viviendas y autobuses necesitarán dentro de 10 o 20 años
Biólogos y médicos predicen a qué velocidad se multiplican las bacterias en una muestra o en una infección
Los gestores de fauna siguen especies en peligro y especies invasoras para saber si una población se recupera o se dispara
Los gobiernos comparan previsiones lineales y exponenciales para planificar agua, energía y alimentos

Conocer la diferencia entre una recta y una curva que no deja de duplicarse puede cambiar un plan por completo: una previsión exponencial puede superar en miles de personas a una lineal en solo unas décadas. Las poblaciones reales no pueden crecer exponencialmente para siempre, así que un buen pronosticador también sabe cuándo el modelo deja de funcionar.

Aplicaciones del mundo real

Planificación urbana

Los urbanistas prevén cuántos habitantes tendrá una ciudad para construir a tiempo suficientes colegios, viviendas y transporte público.

Ejemplo:

Una ciudad de $250000$ habitantes que crece un $1\%$ al año tendría unos $250000 \cdot 1{,}01^{10} \approx 276156$ habitantes dentro de 10 años.

1Inténtalo tú mismo

Una ciudad que crece rápido tiene $80000$ habitantes y crece un $5\%$ al año.

¿Cuántos habitantes tendrá dentro de 3 años?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $80000 \cdot 1{,}05^3$ :

Bacterias en el laboratorio

Los microbiólogos usan tiempos de duplicación para predecir cuándo un cultivo será lo bastante grande para estudiarlo, o a qué velocidad puede extenderse una infección antes del tratamiento.

Ejemplo:

Algunas bacterias se duplican aproximadamente cada 20 minutos en condiciones ideales, es decir, 3 duplicaciones, o un factor $2^3 = 8$ , por hora.

2Inténtalo tú mismo

Un cultivo empieza con $1000$ bacterias que se duplican cada $20$ minutos.

¿Cuántas bacterias hay al cabo de 1 hora y 40 minutos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $1000 \cdot 2^{100/20}$ :

Recuperación de la fauna

Los equipos de conservación cuentan los animales cada año, construyen un modelo de crecimiento con los recuentos y comprueban si una especie protegida se recupera. También saben que una reserva solo puede alimentar a un número limitado de animales, su capacidad de carga, así que el crecimiento se frenará más adelante.

Ejemplo:

Si una manada pasa de $500$ a $540$ animales en un año, el factor de crecimiento es $\frac{540}{500} = 1{,}08$ , así que la manada crece un $8\%$ al año mientras haya comida de sobra.

3Inténtalo tú mismo

Una manada de lobos de una reserva pasó de $64$ a $80$ lobos en un año.

Si se mantiene el mismo porcentaje anual, ¿cuántos lobos habrá 2 años después del recuento de 80?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $80 \cdot (80/64)^2$ :

Puntos clave

1Una población que crece el mismo porcentaje cada año sigue $P(t) = P_0 (1 + r)^t$ , con $r$ en forma decimal
2Con un tiempo de duplicación $d$ , el modelo es $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ , donde $\frac{t}{d}$ cuenta las duplicaciones
3La regla del 70 estima el tiempo de duplicación: $d \approx \frac{70}{\text{tasa en porcentaje}}$ ; es una aproximación, no una fórmula exacta
4Con dos recuentos anuales, el factor de crecimiento es $\frac{P_1}{P_0}$ y la tasa es $r = \frac{P_1}{P_0} - 1$
5Las previsiones lineales suman el mismo número cada año; las exponenciales multiplican, por eso se adelantan con el tiempo
6Las poblaciones reales se frenan al acercarse a la capacidad de carga de su entorno, así que los modelos exponenciales funcionan mejor al principio del crecimiento

Preguntas frecuentes

¿Por qué funciona la regla del 70?

El tiempo de duplicación exacto es

d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}

, y para tasas pequeñas

\ln(1 + r)

está muy cerca de

r

. Como

\ln 2 \approx 0{,}693

, el tiempo de duplicación es aproximadamente

\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{porcentaje}}

, redondeado a 70. Verás los logaritmos en una lección posterior; por ahora, usa la regla como estimación rápida.

¿Qué precisión tiene la regla del 70?

Para tasas de hasta un

10\%

aproximadamente, el error suele ser menor de un año. Con un

2\%

35

años y el valor exacto es de unos

35{,}0

años. Con un

7\%

10

años y el valor exacto es de unos

10{,}2

años. Para tasas grandes, el error crece.

¿Qué es la capacidad de carga?

La capacidad de carga es la mayor población que un entorno puede mantener con su comida, su agua y su espacio. Cuando una población se acerca a ella, el crecimiento se frena y la curva se aplana en forma de S. Esto se llama crecimiento logístico; en esta lección solo lo describimos, sin fórmula.

¿Debo usar un modelo lineal o uno exponencial?

Mira los datos. Si la población aumenta más o menos el mismo número cada año, usa un modelo lineal. Si aumenta más o menos el mismo porcentaje cada año (los cocientes

\frac{P_1}{P_0}

\frac{P_2}{P_1}

son casi iguales), usa un modelo exponencial.

Glosario

Modelo de población: Una función $P(t)$ que predice el tamaño de una población después de un tiempo $t$
Población inicial: La población $P_0$ al principio, cuando $t = 0$
Tasa de crecimiento: El porcentaje que crece la población en cada periodo, escrito en la fórmula como decimal $r$
Tiempo de duplicación: El tiempo $d$ que tarda una población en duplicar su tamaño
Regla del 70: La estimación $d \approx \frac{70}{\text{tasa en porcentaje}}$ del tiempo de duplicación
Capacidad de carga: La mayor población que un entorno puede mantener durante mucho tiempo

Tarjeta de fórmulas

Modelo de población con tasa anual

P(t) = P_0 (1 + r)^t

$P_0$ = población inicial, $r$ = tasa de crecimiento anual en decimal, $t$ = años.

Modelo con tiempo de duplicación

P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}

$d$ = tiempo de duplicación, en la misma unidad que $t$. El exponente $\frac{t}{d}$ es el número de duplicaciones.

Regla del 70 (estimación)

d \approx \frac{70}{\text{tasa en porcentaje}}

Tiempo de duplicación aproximado. Usa la tasa como número de porcentaje, por ejemplo $\frac{70}{2} = 35$ años para un $2\%$.

Factor de crecimiento a partir de dos recuentos

1 + r = \frac{P_1}{P_0}

$P_0$ y $P_1$ son recuentos tomados con un periodo de diferencia.

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Planificación urbana

Bacterias en el laboratorio

Recuperación de la fauna

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Modelo de población con tasa anual

Modelo con tiempo de duplicación

Regla del 70 (estimación)

Factor de crecimiento a partir de dos recuentos

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