Continuidad

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuál de estas NO es una de las tres condiciones para que $f$ sea continua en $x = a$ ?
1. a) $\lim_{x \to a} f(x)$ existe
2. b) $f(a)$ está definida
3. c) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
4. d) $f(a) = 0$
Respuesta: $f(a) = 0$
Las tres condiciones son: $f(a)$ está definida, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe y el límite es igual a $f(a)$ . El valor $f(a)$ puede ser cualquier número; no tiene por qué ser $0$ .
2.
$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ es continua en todo $\mathbb{R}$ . Halla $\lim_{x \to 2} f(x)$ .
Respuesta: 13
Como $f$ es continua, $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 3 \cdot 4 - 4 + 5 = 13$ .
3.
¿Dónde NO es continua $f(x) = \frac{1}{x - 4}$ ?
1. a) $x = 4$
2. b) $x = -4$
3. c) $x = 0$
4. d)Es continua en todas partes
Respuesta: $x = 4$
El denominador $x - 4$ vale $0$ en $x = 4$ , así que $f(4)$ no está definida. En el resto de puntos $f$ es continua.
4.
$g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ no está definida en $x = 1$ . ¿Qué valor hay que dar a $g(1)$ para que $g$ sea continua en $x = 1$ ?
Respuesta: 2
$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ para $x \neq 1$ , así que el límite es $1 + 1 = 2$ . Con $g(1) = 2$ el límite coincide con el valor.
5.
Comprueba si $f(x) = x^2 + 2x$ es continua en $x = 3$ .
Respuesta: $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = 15$
1. ¿Cuánto vale $f(3)$ ? 15
2. ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 3} f(x)$ ? 15
3. ¿Es $f$ continua en $x = 3$ ? sí
6.
¿Es $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 1 \\ 4 - x, & x \geq 1 \end{cases}$ continua en $x = 1$ ?
Respuesta: $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 3$
1. ¿Límite por la izquierda $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ ? 3
2. ¿Límite por la derecha $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ ? 3
3. ¿Valor $f(1)$ ? 3
4. ¿Es $f$ continua en $x = 1$ ? sí
7.
¿Qué función es continua para TODOS los números reales?
1. a) $\frac{1}{x}$
2. b) $e^x + x^3$
3. c) $\sqrt{x}$
4. d) $\ln x$
Respuesta: $e^x + x^3$
$\frac{1}{x}$ no está definida en $0$ , $\ln x$ solo existe para $x > 0$ y $\sqrt{x}$ solo para $x \geq 0$ . $e^x + x^3$ es suma de dos funciones continuas en todo $\mathbb{R}$ , así que es continua en todo $\mathbb{R}$ .
8.
Halla $k$ para que $f(x) = \begin{cases} x + k, & x < 2 \\ x^2, & x \geq 2 \end{cases}$ sea continua en $x = 2$ .
Respuesta: 2
Por la izquierda: $2 + k$ . Por la derecha y valor: $2^2 = 4$ . Así que $2 + k = 4$ y $k = 2$ .
9.
Halla $k$ para que $f(x) = \begin{cases} kx - 2, & x \leq 3 \\ x^2 + 1, & x > 3 \end{cases}$ sea continua en todo $\mathbb{R}$ .
Respuesta: 4
1. ¿Límite por la derecha en $x = 3$ (con $x^2 + 1$ )? 10
2. El trozo de la izquierda da $3k - 2$ . De $3k - 2 = 10$ , ¿cuánto vale $3k$ ? 12
3. ¿Cuánto vale $k$ ? 4
10.
Sea $h(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ para $x \neq 2$ y $h(2) = 3$ . ¿Es $h$ continua en $x = 2$ ?
Respuesta: $\lim_{x \to 2} h(x) = -1 \neq h(2) = 3$
1. ¿Cuánto vale $h(2)$ ? 3
2. Tras factorizar y simplificar, $h(x) = x - 3$ . ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 2} h(x)$ ? -1
3. ¿Es $h$ continua en $x = 2$ ? no
11.
¿Dónde es continua $f(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 9}$ ?
1. a)Todos los reales salvo $x = -3$
2. b)Todos los reales salvo $x = 3$ y $x = -3$
3. c)Todos los reales
4. d)Todos los reales salvo $x = 3$
Respuesta: Todos los reales salvo $x = 3$ y $x = -3$
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ vale $0$ en $x = 3$ y en $x = -3$ , así que $f$ no está definida en ninguno. En $x = -3$ la gráfica tiene un hueco y en $x = 3$ una asíntota vertical, pero en ambos casos $f$ no es continua ahí.
12.
¿En cuántos valores de $x$ no es continua $f(x) = \frac{x - 1}{x^3 - 4x}$ ?
Respuesta: 3
$x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2)$ vale $0$ en $x = 0$ , $x = 2$ y $x = -2$ . El numerador no simplifica ninguno, así que $f$ es discontinua en exactamente $3$ valores.
13.
Usa el teorema del valor intermedio para decidir si $f(x) = x^3 - 2x - 5$ tiene una raíz en $[2, 3]$ .
Respuesta: $f(2) = -1 < 0 < 16 = f(3)$
1. ¿Cuánto vale $f(2)$ ? -1
2. ¿Cuánto vale $f(3)$ ? 16
3. ¿Garantiza el TVI una raíz en $[2, 3]$ ? sí
14.
Halla $a$ para que $f(x) = \begin{cases} ax + 3, & x < 2 \\ x^2 + a, & x \geq 2 \end{cases}$ sea continua en todo $\mathbb{R}$ .
Respuesta: 1
Por la izquierda: $2a + 3$ . Por la derecha y valor: $4 + a$ . Entonces $2a + 3 = 4 + a$ , así que $a = 1$ . Comprobación: ambos lados dan $5$ .
15.
Halla $a$ y $b$ para que $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ ax + b, & 1 \leq x < 3 \\ x^2 - 3, & x \geq 3 \end{cases}$ sea continua en todo $\mathbb{R}$ .
Respuesta: a = 2, b = 0
1. En $x = 1$ el trozo de la izquierda da $1 + 1$ . Entonces $a + b = ?$ 2
2. En $x = 3$ el trozo de la derecha da $3^2 - 3$ . Entonces $3a + b = ?$ 6
3. Resta la primera ecuación de la segunda. ¿Cuánto vale $a$ ? 2
4. ¿Cuánto vale $b$ ? 0
16.
$f(x) = \frac{1}{x}$ cumple $f(-1) = -1$ y $f(1) = 1$ , pero $f(x) = 0$ no tiene solución. ¿Por qué no se puede aplicar el teorema del valor intermedio en $[-1, 1]$ ?
1. a) $f(-1)$ y $f(1)$ tienen el mismo signo
2. b)El teorema solo vale para polinomios
3. c) $f$ no es continua en $[-1, 1]$ : no está definida en $x = 0$
4. d) $0$ no está entre $-1$ y $1$
Respuesta: $f$ no es continua en $[-1, 1]$ : no está definida en $x = 0$
El TVI exige que $f$ sea continua en todo el intervalo cerrado. $\frac{1}{x}$ no está definida en $x = 0$ , que está dentro de $[-1, 1]$ , así que el teorema no dice nada aquí.
17.
Sea $f(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ para $x \neq 4$ y $f(4) = k$ . Halla $k$ para que $f$ sea continua en $x = 4$ .
Respuesta: 1/4
1. Sustituye $x = 4$ en el numerador $\sqrt{x} - 2$ . ¿Qué obtienes? 0
2. $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - c$ . ¿Cuánto vale $c$ ? 4
3. Entonces $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ . ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 4} f(x)$ ? Escríbelo como fracción. 1/4
4. ¿Cuánto tiene que valer $k$ ? 1/4
18.
¿Cuántas raíces de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ en $[0, 2]$ garantiza el teorema del valor intermedio usando los puntos $x = 0$ , $1$ , $2$ ?
Respuesta: 2
1. ¿Cuánto vale $f(0)$ ? 1
2. ¿Cuánto vale $f(1)$ ? -1
3. ¿Cuánto vale $f(2)$ ? 3
4. ¿Cuántos cambios de signo hay y, por tanto, cuántas raíces garantizadas? 2