Guía del profesor: Continuidad

Aprende las tres condiciones de la continuidad, dónde son continuas las funciones más comunes, cómo hallar una constante que haga continua una función definida a trozos y el teorema del valor intermedio.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Límites. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Enunciar y aplicar las tres condiciones de la continuidad en un punto
Determinar los intervalos en los que son continuas las funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas
Hallar el valor de una constante que hace continua una función definida a trozos
Explicar la diferencia entre que exista un límite y que una función sea continua
Usar el teorema del valor intermedio para demostrar que una ecuación tiene solución en un intervalo

Requisitos previos

• Introducción a los límites y notación de límites
• Límites laterales (límite por la izquierda y por la derecha)
• Límites por sustitución directa
• Factorizar polinomios y resolver ecuaciones de primer grado

Iniciadores de discusión

1. ¿Se te ocurre una magnitud de la vida diaria que cambie de forma continua y otra que cambie a saltos?
2. Si el límite de una función en un punto existe, ¿qué más necesitamos saber para decir que es continua?
3. ¿Por qué crees que Hacienda o un aparcamiento querrían que sus fórmulas de precios fueran continuas?
4. De pequeño medías 1,20 m y ahora mides 1,70 m. ¿Mediste alguna vez exactamente 1,50 m? ¿Por qué?

Conceptos erróneos comunes

Una función es continua si está definida en el punto

Remediación: Muestra una función escalonada con un punto relleno en el salto. Está definida ahí y, aun así, hay que levantar el lápiz. Pide que comprueben las tres condiciones.

Las funciones racionales nunca son continuas porque tienen asíntotas

Remediación: Insiste en la expresión en su dominio. $\frac{1}{x}$ es continua en todos los puntos donde existe; solo es discontinua en $x = 0$ , que no pertenece al dominio.

El TVI sirve para cualquier función cuyos valores en los extremos tengan signos opuestos

Remediación: Usa $\frac{1}{x}$ en $[-1, 1]$ o una función escalonada como contraejemplo y después destaca la hipótesis continua en $[a, b]$ .

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con la prueba del lápiz sobre gráficas antes de usar la notación de límites
• Dar una lista de control con las tres condiciones y una casilla para marcar cada una
• Usar funciones a trozos con trozos lineales para que las cuentas sean sencillas

Para estudiantes de nivel:

• Hallar k en funciones a trozos con un trozo cuadrático
• Indicar los intervalos de continuidad de funciones racionales y logarítmicas
• Usar el TVI para localizar una raíz entre dos enteros consecutivos

Para estudiantes avanzados:

• Hallar dos constantes desconocidas en una función de tres trozos
• Usar el método de bisección para encontrar una raíz con dos decimales
• Investigar funciones como $\sin(\frac{1}{x})$ , que no son continuas en $0$ para ningún valor de $f(0)$

Alineación con estándares

AP Calculus LIM-2.A (AP.CALC.LIM-2.A)
Justificar conclusiones sobre la continuidad en un punto usando la definición
AP Calculus LIM-2.B (AP.CALC.LIM-2.B)
Determinar los intervalos en los que una función es continua
AP Calculus FUN-1.A (AP.CALC.FUN-1.A)
Explicar el comportamiento de una función en un intervalo mediante el teorema del valor intermedio
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Representar funciones definidas a trozos, incluidas las funciones escalonadas

Recursos de la lección

visualGráfica con deslizador k
Los alumnos mueven el deslizador k hasta que los dos límites laterales en x = 2 coinciden con el valor de la función y los trozos se unen
activityPrueba del lápiz
Los alumnos dibujan gráficas, marcan cada punto donde tuvieron que levantar el lápiz y nombran la condición que falla
worksheetConstantes en funciones a trozos
Ocho funciones definidas a trozos con una o dos constantes desconocidas que hay que elegir para lograr la continuidad

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una función

f

es **continua en

x = a

** si su gráfica no se rompe ahí: puedes pasar por el punto sin levantar el lápiz. Con el lenguaje de los límites, se deben cumplir las tres condiciones:

1. $f(a)$ está definida (la gráfica tiene un punto en $x = a$ )
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe (el límite por la izquierda y el límite por la derecha son iguales)
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (el límite es igual al valor de la función)

f \text{ es continua en } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Si falla aunque sea una condición,

f

tiene una discontinuidad en

x = a

. Los distintos tipos de rupturas (huecos, saltos, asíntotas verticales) se estudian en la lección Tipos de discontinuidad.

Continuidad en un intervalo:

f

es continua en un intervalo abierto

(a, b)

si es continua en cada punto de él. En un intervalo cerrado

[a, b]

además hace falta

\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)

en los extremos.

Funciones continuas en todo su dominio:

los polinomios (en todo $\mathbb{R}$ )
las funciones racionales (en todas partes salvo donde el denominador es $0$ )
las funciones exponenciales $b^x$ y $e^x$ (en todo $\mathbb{R}$ )
los logaritmos $\log_b x$ y $\ln x$ (para $x > 0$ )
$\sqrt{x}$ (para $x \geq 0$ )

Las sumas, restas, productos, cocientes (donde el denominador no es

0

) y composiciones de funciones continuas también son continuas. Precisamente por eso funciona la sustitución directa: para una función continua,

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Ejemplos resueltos

¿Es $f(x) = x^2 - 3x + 1$ continua en $x = 2$ ? Comprueba las tres condiciones.

Condición 1: ¿está definida $f(2)$ ?

$f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1$ → $f(2) = -1$

Condición 2: ¿existe el límite?

$f$ es un polinomio, así que el límite se halla por sustitución directa: $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1) = -1$ → El límite existe y vale $-1$

Condición 3: comparar el límite y el valor

$\lim_{x \to 2} f(x) = -1 = f(2)$ → Se cumplen las tres condiciones

Respuesta: Sí, $f$ es continua en $x = 2$ (de hecho, como es un polinomio, es continua en todo $\mathbb{R}$ ).

Errores comunes

Comprobar solo que $f(a)$ existe y concluir que $f$ es continua

Por qué está mal: Una función puede tener un valor en $a$ y aun así dar un salto ahí. Por ejemplo, $f(x) = 1$ para $x < 0$ y $f(x) = 2$ para $x \geq 0$ tiene $f(0) = 2$ , pero el límite por la izquierda es $1$ .

Correcto: Comprueba siempre las tres condiciones: $f(a)$ está definida, el límite existe y el límite es igual a $f(a)$ .

Pensar que si el límite existe, la función tiene que ser continua

Por qué está mal: El límite no tiene en cuenta lo que pasa exactamente en $x = a$ . En el ejemplo 2 el límite es $6$ , pero el punto está en $g(3) = 5$ .

Correcto: Después de hallar el límite, compáralo con el valor real $f(a)$ . Tienen que ser iguales.

Hallar $k$ sustituyendo el punto de unión en un solo trozo

Por qué está mal: La continuidad en el punto de unión consiste en que los dos trozos se encuentren, así que un trozo por sí solo no da ninguna ecuación para $k$ .

Correcto: Evalúa los dos trozos en el punto de unión (límite por la izquierda y por la derecha) e iguálalos: en el ejemplo 4, $2^2 + 1 = 2k - 1$ .

Usar el teorema del valor intermedio con una función que no es continua en el intervalo

Por qué está mal: $f(x) = \frac{1}{x}$ cumple $f(-1) = -1$ y $f(1) = 1$ , pero nunca vale $0$ . El TVI no se aplica porque $f$ no está definida en $x = 0$ .

Correcto: Antes de usar el TVI, confirma que $f$ es continua en todo el intervalo cerrado $[a, b]$ .

Por qué es importante

La continuidad es la propiedad que hace funcionar casi todo el cálculo:

Sustitución directa: solo está permitida porque los polinomios, las exponenciales y los logaritmos son continuos. El límite es simplemente el valor de la función.
Búsqueda de raíces: el teorema del valor intermedio garantiza que una función continua que cambia de signo tiene que pasar por cero. Las calculadoras y los ordenadores lo usan para localizar soluciones de ecuaciones.
Modelización: la temperatura, la altura, la distancia y el volumen de agua en un depósito cambian de forma continua con el tiempo. Los precios, los tramos de impuestos y las tarifas de aparcamiento a menudo no, y hay que elegir constantes para que no haya un salto repentino.
Ingeniería: dos tramos de carretera, vía o tubería deben unirse a la misma altura, que es justo la condición para que una función definida a trozos sea continua en la unión.

Saber dónde es continua una función te dice dónde puedes fiarte de su gráfica, dónde puedes sustituir y dónde ocurre algo llamativo (un hueco, un salto, una asíntota).

Aplicaciones del mundo real

Tarifas de aparcamiento justas

Un aparcamiento usa una tarifa para estancias cortas y otra para estancias largas. Si las fórmulas no coinciden en el punto de cambio, el precio da un salto, y quien se queda un minuto más paga mucho más o mucho menos.

Ejemplo:

Una tarifa de $C(t) = 5t$ dólares hasta 2 horas y $C(t) = 3t + 4$ dólares a partir de ahí da $C(2) = 10$ dólares con las dos fórmulas, así que la tarifa no da saltos.

1Inténtalo tú mismo

Aparcar cuesta $C(t) = 4t$ dólares para $0 \leq t \leq 3$ horas y $C(t) = 2t + k$ dólares para $t > 3$ .

¿Qué valor de $k$ hace que la tarifa sea continua en $t = 3$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $4 \cdot 3 = 2 \cdot 3 + k$ para hallar $k$ :

La altitud en una excursión y el TVI

Tu altitud durante una excursión cambia de forma continua con el tiempo: no puedes teletransportarte de una altura a otra. El teorema del valor intermedio garantiza entonces que pasaste por todas las alturas entre la salida y la llegada.

Ejemplo:

Si sales a 800 m y llegas a una cima a 2000 m, en algún momento estuviste exactamente a 1500 m, aunque en ese instante no miraras el reloj.

2Inténtalo tú mismo

Una excursionista está a 800 m a las 8:00 y en la cima, a 2000 m, a las 13:00. La altitud es una función continua del tiempo.

¿Por cuántas de las altitudes 500 m, 1200 m, 1900 m y 2100 m pasa con seguridad la excursionista entre las 8:00 y las 13:00, según el TVI?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Cuenta los valores entre 800 y 2000:

Unir dos tramos de carretera

Quienes diseñan carreteras y vías de tren describen el trazado con fórmulas distintas en cada tramo. En cada unión las alturas deben coincidir, que es la condición para que una función definida a trozos sea continua.

Ejemplo:

Una rampa de altura $y = 0{,}5x$ para $x \leq 2$ seguida de $y = -0{,}25x + 1{,}5$ para $x > 2$ (en metros) se une en $y = 1$ m, así que no hay escalón.

3Inténtalo tú mismo

El perfil de una carretera (en metros) es $y = 0{,}5x$ para $0 \leq x \leq 4$ e $y = -0{,}25x + b$ para $x > 4$ .

¿Qué valor de $b$ hace que la carretera sea continua en $x = 4$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $0{,}5 \cdot 4 = -0{,}25 \cdot 4 + b$ para hallar $b$ :

Puntos clave

1 $f$ es continua en $x = a$ cuando $f(a)$ está definida, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe y $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
2Si falla alguna de las tres condiciones, $f$ tiene una discontinuidad en $a$ (los tipos se ven en la lección Tipos de discontinuidad)
3Los polinomios, las exponenciales, $\sin$ y $\cos$ son continuos en todo $\mathbb{R}$ ; las funciones racionales, los logaritmos y las raíces son continuos en su dominio
4En un intervalo cerrado $[a, b]$ , la continuidad en los extremos usa límites laterales
5Para que una función a trozos sea continua, iguala el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor en cada punto de unión y despeja la constante
6Teorema del valor intermedio: si $f$ es continua en $[a, b]$ y $N$ está entre $f(a)$ y $f(b)$ , entonces $f(c) = N$ para algún $c$ en $(a, b)$

Preguntas frecuentes

¿Es $f(x) = \frac{1}{x}$ una función continua?

Es continua en su dominio, es decir, en todo

x \neq 0

. En

x = 0

no está definida, así que ahí no es continua. Cuando se dice que una función es continua sin indicar un punto, normalmente se quiere decir continua en todo su dominio.

¿Por qué la sustitución directa da el límite en los polinomios?

Porque los polinomios son continuos en todo

\mathbb{R}

, y ser continua significa exactamente

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

. Así que el límite es el valor de la función. Si la sustitución da

\frac{0}{0}

, la función no es continua en ese punto y primero hay que simplificar.

¿El TVI me dice dónde está la raíz?

No. Solo garantiza que existe al menos un

c

(a, b)

. Para acotarlo, puedes partir el intervalo por la mitad una y otra vez y quedarte con la mitad en la que cambia el signo (método de bisección).

¿Puede una función ser continua en todas partes y tener un punto anguloso?

Sí.

f(x) = |x|

tiene un punto anguloso en

x = 0

, pero puedes dibujarla sin levantar el lápiz, y

\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)

. Los puntos angulosos importan para la derivada, no para la continuidad.

Glosario

Continua en un punto: $f$ es continua en $a$ si $f(a)$ está definida, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe y ambos son iguales
Continua en un intervalo: Continua en cada punto del intervalo, usando límites laterales en los extremos de un intervalo cerrado
Discontinuidad: Un punto donde falla al menos una de las tres condiciones de la continuidad
Función definida a trozos: Una función definida con fórmulas distintas en distintos intervalos; solo puede romperse en los puntos de unión o donde un trozo se rompe por sí mismo
Teorema del valor intermedio (TVI): Una función continua en $[a, b]$ toma todos los valores entre $f(a)$ y $f(b)$

Tarjeta de fórmulas

Continuidad en un punto

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Contiene las tres condiciones: $f(a)$ definida, el límite existe y ambos son iguales

Condición en el punto de unión

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

Evaluar los dos trozos en el punto de unión, igualarlos y despejar la constante desconocida

Teorema del valor intermedio

f(a) < N < f(b) \Rightarrow f(c) = N \text{ para algún } c \in (a, b)

Solo si $f$ es continua en $[a, b]$; con $N = 0$ demuestra que existe una raíz

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