Guía del profesor: Cálculo de límites a partir de la gráfica

Lee límites directamente en una gráfica, distingue el límite del valor de la función y descubre cuándo un límite no existe.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Límites. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Leer $\lim_{x \to a} f(x)$ en una gráfica siguiendo la curva por los dos lados
Distinguir el límite en $a$ y el valor $f(a)$ mediante círculos vacíos y puntos rellenos
Reconocer que un límite puede existir donde $f(a)$ no está definido o es distinto del límite
Decidir en una gráfica cuándo un límite no existe porque los dos lados tienden a alturas distintas
Leer varios límites y valores en la gráfica de una función definida a trozos

Requisitos previos

• Introducción a los límites: la idea de un valor al que se acerca una función
• Notación de límites: leer $\lim_{x \to a} f(x) = L$
• Leer puntos y alturas en una gráfica de coordenadas
• Funciones definidas a trozos sencillas y el significado de los círculos vacíos y los puntos rellenos

Iniciadores de discusión

1. Si borraras un solo punto de una gráfica, ¿podría cambiar el límite allí? ¿Por qué?
2. ¿Cómo puede una función tener valor en $x = a$ pero no tener límite allí?
3. ¿Por qué hay que mirar los dos lados de $x = a$ antes de dar el límite?
4. ¿Dónde, en la vida real, da una gráfica un salto repentino? ¿Qué significaría el límite en el salto?

Conceptos erróneos comunes

El límite en $a$ es siempre $f(a)$

Remediación: Muestra una recta con un hueco en $(2, 3)$ y un punto en $(2, 5)$ . Pregunta hacia dónde va la recta y después dónde está el punto. Dos preguntas distintas, dos respuestas distintas.

Un hueco significa que el límite no existe

Remediación: Pide al alumnado que lleve dos dedos hacia el hueco desde los dos lados. Se encuentran en el hueco, así que el límite existe. Solo un salto, donde los dedos acaban a alturas distintas, hace que el límite no exista.

La respuesta de un límite es el número al que tiende $x$

Remediación: Insiste en leer las respuestas en el eje $y$ . Haz que digan 'cuando $x$ tiende a $2$ , la altura tiende a ...' antes de escribir nada.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con gráficas que tengan un solo punto especial y alturas sobre la cuadrícula
• Usar dos rotuladores de colores para recorrer el lado izquierdo y el derecho antes de dar el límite
• Llevar una tabla de dos columnas para cada punto: límite (seguir la curva) y valor (punto relleno)

Para estudiantes de nivel:

• Leer límites y valores en varios puntos de una misma gráfica a trozos
• Clasificar tarjetas con gráficas en: límite igual al valor, límite distinto del valor, límite que no existe
• Esbozar una gráfica que cumpla unos límites y valores dados

Para estudiantes avanzados:

• Diseñar una función cuyo límite exista en $x = 1$ pero sea distinto de $f(1)$ , y escribir su expresión a trozos
• Hallar una constante que una dos trozos para que el límite exista
• Anticipar la notación de los límites laterales describiendo las alturas a cada lado de un salto

Alineación con estándares

HSF-IF.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.4)
Interpretar las características clave de las gráficas de funciones y esbozar gráficas que las muestren
HSF-IF.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7.B)
Representar funciones definidas a trozos, incluidas las funciones escalonadas
AP Calculus LIM-1.C (AP.CALC.LIM-1.C)
Estimar límites de funciones a partir de gráficas

Recursos de la lección

visualGráfica con hueco y punto
Gráfica interactiva de $y = x + 1$ con un hueco en $(2, 3)$ y un punto relleno en $(2, 5)$ para comparar el límite con $f(2)$
visualGráfica a trozos con límites
Gráfica interactiva de una función definida a trozos con un salto y un hueco, que indica los dos lados y el valor en cada corte
activityPaseo de los dedos
El alumnado recorre gráficas impresas con dos dedos desde ambos lados hacia cada $x$ marcada y anota las alturas que alcanza

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Para calcular un límite a partir de la gráfica, lees

\lim_{x \to a} f(x)

directamente en la gráfica de

f

. Pon un dedo sobre la curva a cada lado de

x = a

, deslízalo hacia

x = a

y observa hacia qué altura (valor de

y

) se dirige la curva.

Si los dos lados se dirigen a la misma altura $L$ , entonces $\lim_{x \to a} f(x) = L$ .
Si los dos lados se dirigen a alturas distintas, el límite no existe.

Límite y valor de la función. Son dos preguntas distintas:

$\lim_{x \to a} f(x)$ pregunta hacia dónde va la curva cerca de $x = a$ .
$f(a)$ pregunta dónde está realmente el punto relleno en $x = a$ .

Un círculo vacío (un hueco) marca un punto que falta en la gráfica. Un punto relleno marca el valor real de la función. El límite ignora lo que pasa exactamente en

x = a

, así que un hueco, o un punto situado en otro sitio, no cambia el límite.

\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{cuando los dos lados de la gráfica tienden a la altura } L

Ejemplos resueltos

La gráfica de $f$ es la recta $y = x + 1$ con un círculo vacío en $(2, 3)$ y un punto relleno en $(2, 5)$ (la primera gráfica de esta lección). Halla $\lim_{x \to 2} f(x)$ y $f(2)$ .

Sigue la curva desde la izquierda

Para $x = 1{,}9;\ 1{,}99;\ 1{,}999$ , la recta sube hacia el círculo vacío → La altura tiende a $3$

Sigue la curva desde la derecha

Para $x = 2{,}1;\ 2{,}01;\ 2{,}001$ , la recta baja hacia el mismo círculo vacío → La altura tiende a $3$

Compara los dos lados

Los dos lados van a la misma altura → $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

Busca el punto relleno en $x = 2$

El punto relleno está en $(2, 5)$ , fuera de la recta → $f(2) = 5$

Respuesta: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ pero $f(2) = 5$ . El límite sigue la curva, el valor de la función es el punto relleno.

Errores comunes

Tomar el punto relleno como límite: responder $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ porque hay un punto en $(2, 5)$

Por qué está mal: El límite describe hacia dónde va la curva cerca de $x = 2$ . Un solo punto fuera de la curva no cambia hacia dónde va la curva.

Correcto: Sigue la curva por los dos lados: va hacia el círculo vacío a altura $3$ , así que $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ , mientras que $f(2) = 5$ .

Decir que el límite no existe porque hay un hueco

Por qué está mal: Un hueco solo significa que falta $f(a)$ . El límite nunca mira $x = a$ en sí, solo los valores de alrededor.

Correcto: Si los dos lados tienden a la altura del hueco, el límite existe y es igual a esa altura, aunque $f(a)$ no esté definido.

En un salto, dar como límite la altura del punto relleno (o de un solo lado)

Por qué está mal: Un límite por los dos lados necesita que ambos lados coincidan. En un salto, el lado izquierdo y el derecho tienden a alturas distintas.

Correcto: Revisa los dos lados. Si tienden a alturas distintas, escribe que el límite no existe, muestre lo que muestre el punto relleno.

Responder con el valor de $x$ : escribir $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$

Por qué está mal: El $2$ debajo del símbolo de límite es adonde va $x$ . El límite en sí es una altura, un valor de $y$ .

Correcto: Lee la respuesta en el eje $y$ : la altura a la que tiende la curva cuando $x$ se acerca a $2$ .

Por qué es importante

Una gráfica suele ser la forma más rápida de ver qué hace una función cerca de un punto:

El cálculo empieza aquí: la derivada (pendiente de una recta tangente) es un límite, y la conoces primero como imagen.
Los datos reales tienen huecos y fallos: la gráfica de un sensor puede tener una medida perdida o un pico erróneo. El límite te da la tendencia real alrededor de ese momento.
Los precios y las tarifas dan saltos: gastos de envío, tarifas de taxi y tramos de impuestos tienen gráficas con saltos, donde el valor justo antes y justo después de un límite de tramo es distinto.
La continuidad se apoya en esto: más adelante dirás que una función es continua en $a$ exactamente cuando el límite existe y es igual a $f(a)$ , algo que puedes comprobar a simple vista en una gráfica.

Leer límites en gráficas entrena el hábito más importante del cálculo: mirar lo que pasa cerca de un punto, no solo en él.

Aplicaciones del mundo real

Gastos de envío con límite de peso

Las empresas de mensajería cobran por tramos de peso, así que la gráfica del precio según el peso es una escalera con saltos en los límites de cada tramo.

Ejemplo:

Una mensajería cobra 5 dólares hasta 2 kg y 8 dólares por encima de 2 kg. Justo por debajo de 2 kg la gráfica está en 5 y justo por encima en 8, así que el límite del precio cuando el peso tiende a 2 kg no existe.

1Inténtalo tú mismo

Una mensajería cobra 5 dólares por paquetes de hasta 2 kg (2 kg incluidos) y 8 dólares por paquetes de algo más de 2 kg hasta 5 kg. La gráfica del precio $C(w)$ tiene un punto relleno en $(2, 5)$ y un círculo vacío en $(2, 8)$ .

¿De cuánto es el salto en $w = 2$ (la altura a la que tiende el lado derecho menos la altura a la que tiende el lado izquierdo)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Altura a la derecha menos altura a la izquierda:

Un fallo en los datos de un sensor

Las estaciones meteorológicas y las pulseras de actividad representan medidas a lo largo del tiempo. Cuando una medida se pierde o es errónea, la gráfica tiene un hueco o un punto suelto, y el límite recupera la tendencia real.

Ejemplo:

Una gráfica del pulso que tiende a 120 latidos por minuto por los dos lados de un instante, con una única medida errónea de 0 en ese instante, sigue teniendo límite 120 allí.

2Inténtalo tú mismo

Una estación meteorológica representa la temperatura $T(t)$ en °C, con $t$ en horas. Cerca de $t = 3$ la curva tiende a $18$ °C por los dos lados, pero un fallo guardó el valor aislado $T(3) = 0$ .

¿Cuánto vale $\lim_{t \to 3} T(t)$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

La altura a la que tienden los dos lados:

Huecos en la calculadora gráfica

Un programa de gráficas dibuja $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ como algo que parece una recta, pero al recorrerla (trace) en $x = 3$ sale un error. La gráfica tiene ahí un hueco, y su altura es el límite.

Ejemplo:

Para $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ la gráfica parece $y = x + 2$ con un hueco en $(2, 4)$ , así que $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ mientras que $f(2)$ no está definido.

3Inténtalo tú mismo

Representas $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ . Al recorrer la gráfica aparece ERROR en $x = 3$ , y la gráfica parece la recta $y = x + 3$ con un hueco.

¿Cuánto vale $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

La altura del hueco:

Puntos clave

1Para leer $\lim_{x \to a} f(x)$ en una gráfica, sigue la curva por los dos lados hacia $x = a$ y lee la altura a la que tiende
2El límite es un valor de $y$ (una altura), no el valor $a$ de $x$
3Un círculo vacío (hueco) marca un punto que falta, un punto relleno marca el valor real $f(a)$
4El límite ignora el punto en $x = a$ : un hueco o un punto en otro sitio no lo cambia
5Si los dos lados tienden a alturas distintas (un salto), el límite no existe, valga lo que valga $f(a)$
6Donde la gráfica no tiene cortes, el límite es simplemente igual a $f(a)$

Preguntas frecuentes

¿Puede existir el límite si $f(a)$ no está definido?

Sí. Si la gráfica tiene un hueco en

x = a

y los dos lados tienden a la altura del hueco, el límite es esa altura. Por ejemplo,

\frac{x^2 - 4}{x - 2}

no está definido en

x = 2

, pero su límite allí es

4

Si hay un punto relleno en $x = a$ , ¿existe el límite?

No necesariamente. El punto solo da

f(a)

. En un salto la gráfica tiene un punto relleno, pero los dos lados tienden a alturas distintas, así que el límite no existe.

¿Qué escribo cuando un límite no existe?

Escribe:

\lim_{x \to a} f(x)

no existe, y da la razón, por ejemplo: el lado izquierdo tiende a

2

y el derecho a

4

¿Es preciso leer un límite en una gráfica?

Solo tanto como la gráfica. Usa la cuadrícula y los puntos marcados, y cuando la altura no caiga claramente en una línea de la cuadrícula, compruébala con una tabla de valores o con álgebra (las próximas lecciones).

Glosario

Límite: La altura $L$ a la que tiende la gráfica de $f$ por los dos lados cuando $x$ tiende a $a$ , se escribe $\lim_{x \to a} f(x) = L$
Valor de la función $f(a)$: La altura real de la gráfica en $x = a$ , indicada por un punto relleno o por la curva que pasa por $x = a$
Círculo vacío (hueco): Un punto dibujado como círculo vacío: la gráfica se acerca a él, pero no forma parte de la gráfica
Punto relleno: Un punto macizo que forma parte de la gráfica y da el valor de la función allí
Salto: Un lugar donde la gráfica se corta y sigue a otra altura, de modo que los dos lados tienden a valores distintos
No existe: Lo que decimos de un límite cuando los dos lados de la gráfica no tienden a la misma altura

Tarjeta de fórmulas

Leer un límite en la gráfica

\lim_{x \to a} f(x) = L

Los dos lados de la gráfica tienden a la altura $L$ cuando $x$ tiende a $a$

Cuándo el límite no existe

\text{altura izquierda} \neq \text{altura derecha} \;\Rightarrow\; \lim_{x \to a} f(x) \text{ no existe}

Si los dos lados tienden a alturas distintas, $\lim_{x \to a} f(x)$ no existe

Límite y valor

\lim_{x \to a} f(x) \text{ y } f(a) \text{ pueden ser distintos}

El límite sigue la curva cerca de $a$, el valor es el punto relleno en $a$. Pueden ser distintos

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Errores comunes

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