Cálculo de límites a partir de la gráfica

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
La gráfica de $f$ es una recta que pasa por un círculo vacío en $(3, 4)$ . Además hay un punto relleno en $(3, 1)$ . ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?
1. a)1
2. b)3
3. c)4
4. d)no existe
Respuesta: 4
Los dos lados de la recta van hacia el círculo vacío a altura $4$ , así que $\lim_{x \to 3} f(x) = 4$ . El punto relleno en $(3, 1)$ solo da $f(3) = 1$ .
2.
La gráfica de $g$ es la parábola $y = x^2$ con un círculo vacío en $(2, 4)$ y un punto relleno en $(2, 0)$ . ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 2} g(x)$ ?
Respuesta: 4
Cerca de $x = 2$ la parábola tiende por los dos lados a $2^2 = 4$ , la altura del círculo vacío. Así que $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$ .
3.
La gráfica de $f$ es la recta $y = x + 2$ con un círculo vacío en $(1, 3)$ y un punto relleno en $(1, 6)$ . Halla $\lim_{x \to 1} f(x)$ y compáralo con $f(1)$ .
Respuesta: 3
1. ¿A qué altura tiende la recta a la izquierda de $x = 1$ ? 3
2. ¿A qué altura tiende la recta a la derecha de $x = 1$ ? 3
3. ¿Cuánto vale $f(1)$ (el punto relleno)? 6
4. Entonces, ¿cuánto vale $\lim_{x \to 1} f(x)$ ? 3
4.
La gráfica de $f$ es una recta que pasa por un círculo vacío en $(3, 4)$ , y además hay un punto relleno en $(3, 1)$ . ¿Cuánto vale $f(3)$ ?
1. a)4
2. b)1
3. c)3
4. d)no existe
Respuesta: 1
El círculo vacío en $(3, 4)$ no forma parte de la gráfica. El punto relleno en $(3, 1)$ sí, así que $f(3) = 1$ , aunque el límite en $3$ es $4$ .
5.
La gráfica de $g$ es la parábola $y = x^2$ con un círculo vacío en $(2, 4)$ y un punto relleno en $(2, 0)$ . ¿Cuánto vale $g(2)$ ?
Respuesta: 0
El punto relleno $(2, 0)$ es el punto de la gráfica en $x = 2$ , así que $g(2) = 0$ . El círculo vacío solo muestra hacia dónde va la parábola.
6.
La gráfica de $f$ es la recta $y = 4 - x$ , dibujada sin huecos ni puntos extra. Halla $\lim_{x \to 1} f(x)$ y comprueba si es igual a $f(1)$ .
Respuesta: 3
1. ¿A qué altura tiende la recta a la izquierda de $x = 1$ ? 3
2. ¿A qué altura tiende a la derecha de $x = 1$ ? 3
3. ¿Cuánto vale $f(1)$ ? 3
4. ¿Es el límite igual a $f(1)$ ? sí
7.
Para $x < 2$ la gráfica de $f$ sigue $y = x$ y termina en un círculo vacío en $(2, 2)$ . Para $x \ge 2$ sigue $y = 5 - x$ , empezando en un punto relleno en $(2, 3)$ . ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)5
3. c)3
4. d)no existe
Respuesta: no existe
Por la izquierda la gráfica tiende a $2$ , por la derecha a $5 - 2 = 3$ . Los lados no coinciden, así que el límite no existe, aunque $f(2) = 3$ .
8.
La gráfica de $h$ es la recta que pasa por $(0, -1)$ y $(4, 7)$ , con un círculo vacío en $x = 2$ y ningún punto relleno allí. ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 2} h(x)$ ?
Respuesta: 3
La pendiente es $\frac{8}{4} = 2$ y la recta corta el eje $y$ en $-1$ , así que $y = 2x - 1$ . Los dos lados tienden a $2 \cdot 2 - 1 = 3$ , por lo que $\lim_{x \to 2} h(x) = 3$ aunque $h(2)$ no está definido.
9.
Para $x < 2$ la gráfica de $f$ es la recta $y = x$ , que termina en un círculo vacío en $(2, 2)$ . Para $x \ge 2$ es la recta $y = x + 3$ , que empieza en un punto relleno en $(2, 5)$ . ¿Existe $\lim_{x \to 2} f(x)$ y cuánto vale $f(2)$ ?
Respuesta: 5
1. ¿A qué altura tiende la gráfica a la izquierda de $x = 2$ ? 2
2. ¿A qué altura tiende la gráfica a la derecha de $x = 2$ ? 5
3. ¿Coinciden los dos lados, de modo que $\lim_{x \to 2} f(x)$ existe? no
4. ¿Cuánto vale $f(2)$ ? 5
10.
¿Qué afirmación sobre $\lim_{x \to a} f(x)$ es siempre cierta?
1. a)Si $f(a)$ no está definido, el límite en $a$ no existe
2. b)Si hay un punto relleno en $x = a$ , el límite es igual a su altura
3. c)El límite en $a$ depende solo de los valores de $f$ cerca de $a$ , no en $a$
4. d)El límite en $a$ siempre es igual a $f(a)$
Respuesta: El límite en $a$ depende solo de los valores de $f$ cerca de $a$ , no en $a$
El límite solo mira los valores de $f$ cerca de $a$ . Un hueco ( $f(a)$ no definido) no impide el límite, un punto desplazado hace que el límite sea distinto de $f(a)$ , y en un salto hay un punto relleno pero no hay límite.
11.
Cerca de $x = -2$ la gráfica de $f$ tiende por los dos lados a un círculo vacío en $(-2, 3)$ , y hay un punto relleno en $(-2, -1)$ . Calcula $\lim_{x \to -2} f(x) + f(-2)$ .
Respuesta: 2
$\lim_{x \to -2} f(x) = 3$ (la altura a la que tiende la curva) y $f(-2) = -1$ (el punto relleno), así que la suma es $3 + (-1) = 2$ .
12.
La gráfica de $g$ : para $x \le -1$ es $y = x + 3$ , que termina en un punto relleno en $(-1, 2)$ ; para $-1 < x < 2$ es $y = (x - 1)^2$ , que empieza en un círculo vacío en $(-1, 4)$ ; para $x > 2$ es $y = 3 - x$ . En $x = 2$ hay un círculo vacío en $(2, 1)$ y ningún punto relleno. Lee los límites en la gráfica.
Respuesta: 1
1. ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 0} g(x)$ ? 1
2. ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 2} g(x)$ ? 1
3. ¿Está definido $g(2)$ ? no
4. ¿A qué altura tiende la gráfica a la derecha de $x = -1$ ? 4
13.
La gráfica de $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ parece la recta $y = x - 1$ con un hueco. Usa la gráfica para hallar $\lim_{x \to -1} f(x)$ .
Respuesta: -2
1. ¿En qué $x$ está el hueco (donde $f$ no está definido)? -1
2. ¿Qué altura tiene la recta $y = x - 1$ en esa $x$ ? -2
3. ¿Hay un punto relleno en $x = -1$ ? no
4. Entonces, ¿cuánto vale $\lim_{x \to -1} f(x)$ ? -2
14.
La gráfica de $f$ tiene tres lugares especiales. En $x = 1$ la parte izquierda termina a altura $2$ y la parte derecha empieza a altura $-1$ . En $x = 3$ la curva tiende por los dos lados a un círculo vacío en $(3, 4)$ , sin punto relleno. En $x = 5$ la curva tiende por los dos lados a $(5, 0)$ , pero el punto relleno está en $(5, 3)$ . ¿Para qué $a$ no existe $\lim_{x \to a} f(x)$ ?
1. a) $a = 0$
2. b) $a = 5$
3. c) $a = 3$
4. d) $a = 1$
Respuesta: $a = 1$
En $x = 1$ los lados tienden a $2$ y a $-1$ : un salto, así que no hay límite. En $x = 3$ el límite es $4$ (un hueco) y en $x = 5$ es $0$ (el punto a altura $3$ no importa). En $x = 0$ no pasa nada especial.
15.
La gráfica de $f$ sigue $y = 3x + k$ para $x < 2$ y $y = x^2$ para $x > 2$ , con círculos vacíos en los dos extremos en $x = 2$ . ¿Para qué valor de $k$ existe $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
Respuesta: -2
El lado izquierdo tiende a $3 \cdot 2 + k = 6 + k$ y el derecho a $2^2 = 4$ . El límite existe cuando $6 + k = 4$ , así que $k = -2$ .
16.
La gráfica de $q$ : para $x < 2$ es $y = x^2$ , que termina en un círculo vacío en $(2, 4)$ ; hay un punto relleno en $(2, 1)$ ; para $2 < x < 5$ es $y = 6 - x$ , entre círculos vacíos en $(2, 4)$ y $(5, 1)$ ; para $x \ge 5$ es $y = x - 2$ , que empieza en un punto relleno en $(5, 3)$ . Halla $\lim_{x \to 2} q(x)$ y $q(2)$ , y decide si $\lim_{x \to 5} q(x)$ existe.
Respuesta: 4
1. ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 2} q(x)$ ? 4
2. ¿Cuánto vale $q(2)$ ? 1
3. ¿A qué altura tiende la gráfica a la izquierda de $x = 5$ ? 1
4. ¿A qué altura tiende la gráfica a la derecha de $x = 5$ ? 3
5. ¿Existe $\lim_{x \to 5} q(x)$ ? no
17.
Para $x < 3$ la gráfica de $f$ es $y = ax$ , para $x > 3$ es $y = 12 - x$ , y hay un punto relleno en $(3, 0)$ . Halla el valor de $a$ para el que existe $\lim_{x \to 3} f(x)$ .
Respuesta: 3
1. ¿A qué altura tiende la gráfica a la derecha de $x = 3$ ? 9
2. El lado izquierdo tiende a $3a$ . ¿Qué $a$ hace que $3a$ sea igual a esa altura? 3
3. Con ese $a$ , ¿cuánto vale $\lim_{x \to 3} f(x)$ ? 9
4. ¿Cuánto vale $f(3)$ ? 0
18.
La gráfica de $f$ : para $x \le 0$ es $y = -x$ , que termina en un punto relleno en $(0, 0)$ ; para $0 < x < 4$ es $y = x + 2$ , entre círculos vacíos en $(0, 2)$ y $(4, 6)$ ; hay un punto relleno en $(4, 1)$ ; para $x > 4$ es $y = 10 - x$ , que empieza en un círculo vacío en $(4, 6)$ . Calcula $\lim_{x \to 4} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) + f(0)$ .
Respuesta: 10
1. ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 4} f(x)$ ? 6
2. ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 2} f(x)$ ? 4
3. ¿Cuánto vale $f(0)$ ? 0
4. ¿Existe $\lim_{x \to 0} f(x)$ ? (No forma parte de la suma.) no
5. ¿Cuánto vale la suma $\lim_{x \to 4} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) + f(0)$ ? 10