Problemas de aplicación de logaritmos

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Se compara un terremoto de magnitud $6$ con uno de magnitud $4$ en la escala de Richter. ¿Cuántas veces mayor es la amplitud del terremoto más fuerte?
1. a)20
2. b)1000
3. c)2
4. d)100
Respuesta: 100
La razón es $10^{6 - 4} = 10^2 = 100$ . Una diferencia de $2$ significa dos factores $10$ , no "2 veces".
2.
Una disolución tiene una concentración de iones de hidrógeno $[H^+] = 10^{-5}$ mol/L. ¿Cuál es su pH?
1. a) $0{,}00001$
2. b) $10^5$
3. c) $-5$
4. d) $5$
Respuesta: $5$
$\text{pH} = -\log(10^{-5}) = -(-5) = 5$ . El signo menos de la fórmula hace que el pH sea positivo.
3.
Inviertes 1000 dólares al $5\,\%$ de interés compuesto una vez al año. ¿Qué expresión da el tiempo $t$ , en años, hasta que el dinero se duplica?
1. a) $\frac{\ln 2000}{\ln 1000}$
2. b) $\frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}$
3. c) $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$
4. d) $2 \cdot \ln 1{,}05$
Respuesta: $\frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$
$1000 \cdot 1{,}05^t = 2000$ da $1{,}05^t = 2$ , así que $t \ln 1{,}05 = \ln 2$ y $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21$ . El factor de crecimiento es $1{,}05$ , no el tipo $0{,}05$ .
4.
El sonido A tiene un nivel de $90$ dB y el sonido B un nivel de $60$ dB. ¿Cuántas veces más intenso es el sonido A que el sonido B?
1. a)300
2. b)1000
3. c)3
4. d)30
Respuesta: 1000
La diferencia es de $30$ dB, así que la razón es $10^{30/10} = 10^3 = 1000$ .
5.
Una sustancia pierde el $8\,\%$ de su masa cada año. ¿Qué ecuación da el número de años $t$ hasta que solo queda la mitad?
1. a) $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 1{,}08}$
2. b) $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}08}$
3. c) $t = 0{,}5 \cdot \ln 0{,}92$
4. d) $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92}$
Respuesta: $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92}$
Cada año queda el $92\,\%$ , así que el factor de decrecimiento es $0{,}92$ : $0{,}92^t = 0{,}5$ , $t \ln 0{,}92 = \ln 0{,}5$ y $t = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}92} \approx 8{,}31$ años.
6.
Una disolución tiene $[H^+] = 0{,}001$ mol/L. ¿Cuál es su pH? (La respuesta es un número entero.)
Respuesta: 3
$0{,}001 = 10^{-3}$ , así que $\text{pH} = -\log(10^{-3}) = 3$ .
7.
Un sonido tiene intensidad $I = 10^7 \cdot I_0$ . ¿Cuál es su nivel $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ en decibelios? (La respuesta es un número entero.)
Respuesta: 70
$L = 10 \log(10^7) = 10 \times 7 = 70$ dB.
8.
Halla el pH de una disolución con $[H^+] = 2{,}5 \times 10^{-6}$ mol/L. Redondea a dos decimales.
Respuesta: 5.60
$\log(2{,}5 \times 10^{-6}) = \log 2{,}5 - 6 \approx 0{,}39794 - 6 = -5{,}60206$ , así que $\text{pH} \approx 5{,}60$ .
9.
Se compara un terremoto de magnitud $7{,}4$ con uno de magnitud $5{,}6$ . ¿Cuántas veces mayor es la amplitud del más fuerte? Redondea al número entero más cercano.
Respuesta: 63
$10^{7{,}4 - 5{,}6} = 10^{1{,}8} \approx 63{,}096$ , que redondeado da $63$ .
10.
Una ciudad tiene $25\,000$ habitantes y crece un $3\,\%$ al año. ¿Después de cuántos años llegará a $40\,000$ habitantes? Redondea a un decimal.
Respuesta: 15.9
$1{,}03^t = \frac{40\,000}{25\,000} = 1{,}6$ , así que $t = \frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}03} \approx \frac{0{,}470004}{0{,}029559} \approx 15{,}90$ , que redondeado da $15{,}9$ años.
11.
El zumo de limón tiene una concentración de iones de hidrógeno $[H^+] = 0{,}01$ mol/L. Halla su pH.
Respuesta: 2
1. Escribe $0{,}01$ como potencia de 10: $0{,}01 = 10^{n}$ . ¿Cuánto vale $n$ ? -2
2. ¿Cuánto vale $\log(0{,}01)$ ? -2
3. ¿Cuál es el pH, $-\log(0{,}01)$ ? 2
12.
Un secador de pelo produce un sonido $1\,000\,000$ de veces más intenso que el umbral de audición. Halla su nivel en decibelios.
Respuesta: 60
1. Escribe $1\,000\,000 = 10^{n}$ . ¿Cuánto vale $n$ ? 6
2. ¿Cuánto vale $\log(1\,000\,000)$ ? 6
3. ¿Cuánto es $L = 10 \log(1\,000\,000)$ en dB? 60
13.
Una taza de café tiene un pH de $5$ . Halla su concentración de iones de hidrógeno $[H^+]$ en mol/L, escrita como número decimal.
Respuesta: 0.00001
1. A partir de $-\log[H^+] = 5$ , ¿cuánto vale $\log[H^+]$ ? -5
2. Entonces $[H^+] = 10^{k}$ . ¿Cuánto vale $k$ ? -5
3. Escribe $10^{-5}$ como número decimal. 0.00001
14.
El tráfico intenso mide $85$ dB y una conversación normal $60$ dB. ¿Cuántas veces más intenso es el ruido del tráfico? Redondea al número entero más cercano.
Respuesta: 316
1. ¿Cuál es la diferencia en decibelios? 25
2. La razón de intensidades es $10^{x}$ con $x = \frac{25}{10}$ . ¿Cuánto vale $x$ ? 2.5
3. Calcula $10^{2{,}5}$ y redondea al entero más cercano. 316
15.
Se invierte dinero al $6\,\%$ de interés compuesto una vez al año. ¿Cuántos años completos hacen falta para que el saldo se haya al menos duplicado?
Respuesta: 12
1. ¿Por qué factor de crecimiento se multiplica el saldo cada año? 1.06
2. Calcula $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06}$ , redondeado a dos decimales. 11.90
3. El interés se abona una vez al año. ¿Cuántos años completos hacen falta? 12
16.
Una muestra de laboratorio contiene $200$ mg de una sustancia con una vida media de $5$ horas. ¿Después de cuántas horas quedarán solo $20$ mg? Redondea a un decimal.
Respuesta: 16.6
1. En $200 \cdot 0{,}5^{t/5} = 20$ , ¿cuánto vale $0{,}5^{t/5} = \frac{20}{200}$ ? 0.1
2. Calcula $\frac{t}{5} = \frac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}5}$ , redondeado a dos decimales. 3.32
3. Multiplica por 5. ¿Cuánto vale $t$ en horas, redondeado a un decimal? 16.6
17.
Inviertes 3000 dólares al $4\,\%$ de interés compuesto continuo, así que $A = 3000e^{0{,}04t}$ . ¿Después de cuántos años llega el saldo a 4500 dólares? Redondea a dos decimales.
Respuesta: 10.14
1. Divide los dos miembros entre 3000: $e^{0{,}04t} = \frac{4500}{3000}$ . ¿Cuánto vale el miembro derecho? 1.5
2. Aplica ln: $0{,}04t = \ln 1{,}5$ . ¿Cuánto vale $\ln 1{,}5$ , redondeado a cuatro decimales? 0.4055
3. Divide entre $0{,}04$ . ¿Cuánto vale $t$ , redondeado a dos decimales? 10.14
18.
Un coche comprado por $24\,000$ dólares pierde el $15\,\%$ de su valor cada año. ¿Después de cuántos años completos vale por primera vez menos de $6000$ dólares?
Respuesta: 9
1. ¿Cuánto vale $\frac{6000}{24\,000}$ ? 0.25
2. ¿Por qué factor se multiplica el valor cada año? 0.85
3. Resuelve $0{,}85^t = 0{,}25$ : calcula $t = \frac{\ln 0{,}25}{\ln 0{,}85}$ , redondeado a dos decimales. 8.53
4. El valor baja una vez al año. ¿Después de cuántos años completos queda por primera vez por debajo de la meta? 9