Guía del profesor: Problemas de aplicación de logaritmos

Usa los logaritmos para resolver problemas reales: pH, decibelios, magnitud de terremotos, tiempo de duplicación, vida media y cuánto tarda en crecer el dinero.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Logaritmos. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Calcular el pH, niveles en decibelios y comparaciones en la escala de Richter con el logaritmo decimal
Volver desde una escala logarítmica a la cantidad original usando potencias de 10
Despejar el tiempo en ecuaciones de crecimiento y decrecimiento aplicando un logaritmo a los dos miembros
Hallar tiempos de duplicación y tiempos de vida media e interpretarlos en su contexto
Redondear como se indica y decidir cuándo una situación necesita periodos completos

Requisitos previos

• Logaritmo decimal (base 10)
• Logaritmo natural (ln)
• Regla de la potencia de los logaritmos
• Resolver ecuaciones logarítmicas
• Modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial, incluido el interés compuesto

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué los científicos usan una escala logarítmica para el sonido en lugar de medir directamente la intensidad?
2. Una noticia dice que un terremoto fue "solo un punto más fuerte". ¿Es una diferencia pequeña?
3. Tu calculadora da 14,21 años. ¿Por qué la respuesta real podría ser 15 años?
4. ¿Cómo podrías comprobar un resultado de vida media sin logaritmos?
5. ¿Dónde más crece una cantidad el mismo porcentaje en cada periodo?

Conceptos erróneos comunes

Una escala logarítmica funciona como una escala normal (un pH 4 sería "el doble de ácido" que un pH 8)

Remediación: Construye una tabla: pH 8, 7, 6, 5, 4 con $[H^+] = 10^{-8}, \dots, 10^{-4}$ . El alumnado ve que cada paso es un factor 10, así que pH 4 frente a pH 8 es $10^4 = 10\,000$ veces.

Aplicar el logaritmo a un solo miembro de la ecuación o "tachar" la base

Remediación: Insiste en que una ecuación solo se mantiene equilibrada si los dos miembros reciben la misma operación. Escribe $\ln(\text{izquierda}) = \ln(\text{derecha})$ explícitamente antes de usar la regla de la potencia.

El resultado decimal es siempre la respuesta final

Remediación: Plantea contextos con periodos completos (interés anual, dosis diarias) y pide comprobar los años justo por debajo y por encima del resultado decimal.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar solo con potencias de 10 (pH de $10^{-3}$ , $10^6$ veces el umbral de audición) para no necesitar calculadora
• Dar una plantilla para completar: fórmula, aislar la potencia, aplicar un logaritmo, redondear
• Usar la gráfica interactiva para leer tiempos aproximados antes de calcularlos

Para estudiantes de nivel:

• Mezclar problemas de pH, decibelios, Richter e interés con distintas instrucciones de redondeo
• Comparar la regla del 72 con los tiempos de duplicación exactos para varios tipos de interés
• Resolver problemas de vida media cuya respuesta no sea un número entero de vidas medias

Para estudiantes avanzados:

• Deducir la fórmula $t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1+r)}$ en general y explicar por qué sirve cualquier base
• Comparar el tiempo para alcanzar la misma meta con capitalización anual, mensual y continua
• Investigar la energía de los terremotos, que se multiplica por unos $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ en cada grado de magnitud

Alineación con estándares

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
En modelos exponenciales, expresar como logaritmo la solución de $ab^{ct} = d$ y calcularla con tecnología
HSA-CED.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.CED.A.1)
Plantear ecuaciones con una incógnita y usarlas para resolver problemas, incluidas funciones exponenciales
HSN-Q.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSN.Q.A.3)
Elegir un nivel de precisión adecuado a las limitaciones de la medida al dar cantidades
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Entender la relación inversa entre potencias y logaritmos y usarla para resolver problemas

Recursos de la lección

visualGráfica del tiempo de duplicación
Gráfica de $y = 1000 \cdot 1{,}05^x$ y $y = 2000$ : el punto de corte muestra el tiempo de duplicación de $14{,}21$ años
visualRecta numérica logarítmica
Potencias de 10 igualmente espaciadas, como en la escala de decibelios: cada paso son $10$ dB más
visualLa escala de pH en potencias de 10
Concentraciones de iones de hidrógeno de $10^{-14}$ a $1$ mol/L igualmente espaciadas: cada paso a la derecha multiplica $[H^+]$ por $10$ y baja el pH una unidad
activityLaboratorio de pH en la cocina
El alumnado busca el pH del vinagre, la leche, el jabón y el zumo de limón y calcula cuántas veces más ácido es uno que otro
worksheetProblemas con logaritmos
Práctica variada: pH, decibelios, terremotos, interés compuesto y vida media, con instrucciones de redondeo

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un problema de aplicación de logaritmos describe una situación real en la que la incógnita es un exponente: un tiempo, una magnitud o un nivel. Lo resuelves en tres pasos: escribir la fórmula, aislar la potencia y aplicar un logaritmo a los dos miembros.

Hay dos tipos de problemas que aparecen una y otra vez:

1. Escalas logarítmicas (la fórmula ya contiene un logaritmo):

pH de una disolución: $\text{pH} = -\log[H^+]$ , donde $[H^+]$ es la concentración de iones de hidrógeno en mol/L
Nivel sonoro en decibelios: $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ , donde $I_0$ es el umbral de audición
Magnitud en la escala de Richter: dos terremotos cuyas magnitudes difieren en $d$ tienen amplitudes en la razón $10^{d}$

2. Crecimiento y decrecimiento en el tiempo (la incógnita

t

está en el exponente):

A = P(1 + r)^t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{\ln\left(\frac{A}{P}\right)}{\ln(1 + r)}

Para un crecimiento continuo,

A = Pe^{rt}

t = \frac{\ln(A/P)}{r}

, y para una vida media

h

, la cantidad

N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/h}

t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln(0{,}5)}

Aquí

\log

es el logaritmo decimal (base 10) y

\ln

el logaritmo natural o neperiano (base

e

). Casi todas las respuestas son decimales, así que cada problema indica cómo redondear, y solo redondeas al final.

Ejemplos resueltos

Un refresco tiene una concentración de iones de hidrógeno $[H^+] = 3{,}2 \times 10^{-4}$ mol/L. Halla su pH, redondeado a dos decimales.

Escribir la fórmula

$\text{pH} = -\log[H^+] = -\log(0{,}00032)$ → $\text{pH} = -\log(0{,}00032)$

Calcular el logaritmo decimal

$\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485$

Aplicar el signo menos

$\text{pH} = -(-3{,}49485) = 3{,}49485$

Redondear a dos decimales

La tercera cifra decimal es $4$ , así que se redondea hacia abajo → $\text{pH} \approx 3{,}49$

Respuesta: $\text{pH} \approx 3{,}49$ (ácido, porque es menor que 7)

Errores comunes

Decir que un terremoto de magnitud 8 es "2 veces" o "el doble" de fuerte que uno de magnitud 6

Por qué está mal: La escala de Richter es logarítmica: cada grado entero multiplica la amplitud por 10. Las diferencias de magnitud son exponentes, no factores.

Correcto: Razón de amplitudes $= 10^{8 - 6} = 10^2 = 100$ veces.

Olvidar el signo menos en $\text{pH} = -\log[H^+]$ y obtener un pH negativo como $-3{,}49$

Por qué está mal: Concentraciones como $0{,}00032$ son menores que 1, así que su logaritmo es negativo. El signo menos de la fórmula hace que el pH sea positivo.

Correcto: $\text{pH} = -\log(0{,}00032) = -(-3{,}49485) \approx 3{,}49$

Usar el tipo de interés en lugar del factor de crecimiento: $t = \frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}$

Por qué está mal: El saldo se multiplica cada año por $1 + r = 1{,}05$ , no por $0{,}05$ . Además, $\ln 0{,}05$ es negativo, lo que daría un tiempo negativo.

Correcto: $t = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21$ años. Para un decrecimiento usa $1 - r$ , por ejemplo $0{,}85$ para una pérdida del $15\,\%$ .

Redondear demasiado pronto, por ejemplo escribir $\ln 1{,}05 \approx 0{,}05$

Por qué está mal: Los pequeños redondeos dentro de un cociente crecen: $\frac{0{,}6931}{0{,}05} \approx 13{,}86$ en lugar de $14{,}21$ , un error de unos 4 meses.

Correcto: Mantén toda la precisión de la calculadora (o al menos 5 cifras significativas) y redondea solo el resultado final, como pide el problema.

Por qué es importante

Los logaritmos convierten rangos enormes de números en números pequeños y fáciles de leer, y son la única herramienta que saca una incógnita de un exponente:

Química: el zumo de limón (pH de unos 2) tiene $100\,000$ veces más iones de hidrógeno que el agua pura (pH 7).
Salud: un concierto de 110 dB es $1000$ veces más intenso que una calle de 80 dB, por eso importa la protección auditiva.
Geología: un terremoto de magnitud 7 tiene una amplitud $100$ veces mayor que uno de magnitud 5.
Dinero: bancos, ahorradores y asesores se preguntan "¿en cuántos años se duplica mi dinero?" y lo responden con $\ln$ .
Medicina: los médicos usan la vida media para saber cuándo un medicamento ha bajado de un nivel eficaz.

Cada una de estas preguntas trata de un exponente, y un logaritmo la responde.

Aplicaciones del mundo real

La lluvia ácida

Los científicos ambientales comparan la acidez de la lluvia con el pH. Como el pH es un logaritmo, una pequeña diferencia de pH significa una gran diferencia de iones de hidrógeno.

Ejemplo:

La lluvia normal tiene un pH de unos $5{,}6$ . Una lluvia con pH $4{,}6$ tiene $10^{1} = 10$ veces más iones de hidrógeno.

1Inténtalo tú mismo

La lluvia normal tiene un pH de $5{,}6$ . Una tormenta trae lluvia ácida con un pH de $4{,}3$ .

¿Cuántas veces más iones de hidrógeno contiene la lluvia ácida? Redondea al número entero más cercano.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $10^{5{,}6 - 4{,}3}$ y redondea al entero más cercano:

Protección auditiva en los conciertos

Los técnicos de sonido y los audiólogos trabajan en decibelios. Los tapones para los oídos se clasifican según cuánto reducen la intensidad del sonido.

Ejemplo:

Dividir la intensidad entre $10$ baja el nivel $10$ dB, dividirla entre $100$ lo baja $20$ dB.

2Inténtalo tú mismo

Un concierto de rock alcanza $110$ dB. Unos tapones reducen la intensidad del sonido que llega a tu oído a $\frac{1}{1000}$ de su valor.

¿Qué nivel sonoro, en decibelios, llega a tu oído? (La respuesta es un número entero, no hace falta redondear.)

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Escribe el nuevo nivel como $10 \log\left(\frac{10^{11}}{1000}\right)$ y calcúlalo:

Planificar una meta de ahorro

Los asesores financieros usan logaritmos para saber cuántos años necesita una inversión para alcanzar una meta.

Ejemplo:

Al $4\,\%$ anual, el dinero se multiplica por $1{,}04$ cada año, así que el número de años es $t = \frac{\ln(\text{meta}/\text{inicio})}{\ln 1{,}04}$ .

3Inténtalo tú mismo

Inviertes 5000 dólares al $4\,\%$ de interés compuesto una vez al año. Tu meta son 8000 dólares.

¿Cuántos años completos debes esperar hasta que el saldo alcance la meta por primera vez?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $5000 \cdot 1{,}04^t = 8000$ y redondea hacia arriba a años enteros:

Puntos clave

1En un problema de aplicación de logaritmos la incógnita es un exponente: un tiempo, una magnitud o un nivel
2pH: $\text{pH} = -\log[H^+]$ ; al revés: $[H^+] = 10^{-\text{pH}}$
3Decibelios: $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ ; cada $10$ dB más significan $10$ veces la intensidad
4Richter: magnitudes que difieren en $d$ significan amplitudes en la razón $10^{d}$
5Tiempo en crecimiento o decrecimiento: aísla la potencia, aplica $\ln$ a los dos miembros y luego $t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 \pm r)}$ ; tiempo de duplicación $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$
6Redondea solo al final, tal como pide el problema, y comprueba si la situación necesita años completos

Preguntas frecuentes

¿Uso log o ln para despejar el tiempo?

Los dos sirven, siempre que uses el mismo arriba y abajo:

\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21

. Las fórmulas del pH y de los decibelios se definen con el logaritmo decimal

\log

(base 10), así que ahí usa

\log

¿Por qué la respuesta es 15 años si la calculadora dice 14,21?

La ecuación trata el tiempo como continuo, pero el banco solo abona el interés una vez al año. Tras 14 años el saldo sigue por debajo de la meta, así que necesitas el abono número 15. Pregúntate siempre si la situación admite fracciones de año.

¿Puede un pH ser negativo o mayor que 14?

Matemáticamente sí:

[H^+] = 2

mol/L da

\text{pH} = -\log 2 \approx -0{,}30

. Sin embargo, en la química cotidiana casi todas las disoluciones están entre 0 y 14.

¿Hay una estimación rápida del tiempo de duplicación?

La "regla del 72" dice que el tiempo de duplicación es aproximadamente

72 \div (\text{tipo en }\%)

. Al

5\,\%

72 \div 5 = 14{,}4

años, cerca del valor exacto

14{,}21

. Usa logaritmos cuando el problema pida una respuesta exacta.

Glosario

pH: Medida de la acidez: $\text{pH} = -\log[H^+]$ . Menos de 7 es ácido, 7 es neutro, más de 7 es básico.
Decibelio (dB): Unidad del nivel sonoro: $L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ , donde $I_0$ es el umbral de audición.
Escala de Richter: Escala logarítmica para terremotos: un grado entero más significa $10$ veces la amplitud del movimiento del suelo.
Tiempo de duplicación: Tiempo que tarda una cantidad que crece en duplicarse: $t = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ para un crecimiento de $r$ por periodo.
Vida media: Tiempo que tarda una cantidad que decrece en reducirse a la mitad de su valor.
Factor de crecimiento: Número por el que se multiplica una cantidad en cada periodo: $1 + r$ si crece, $1 - r$ si decrece.

Tarjeta de fórmulas

pH

\text{pH} = -\log[H^+] \iff [H^+] = 10^{-\text{pH}}

La acidez a partir de la concentración de iones de hidrógeno

Nivel sonoro

L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right) \iff \frac{I}{I_0} = 10^{L/10}

Los decibelios a partir de la razón de intensidades

Comparación en la escala de Richter

\frac{A_1}{A_2} = 10^{M_1 - M_2}

Razón de las amplitudes de dos terremotos

Tiempo para alcanzar una meta

t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 + r)}

A partir de $A = P(1 + r)^t$; usa $1 - r$ si decrece

Crecimiento continuo

t = \frac{\ln(A/P)}{r}

A partir de $A = Pe^{rt}$

Vida media

t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln 0{,}5}

A partir de $N = N_0 \cdot 0{,}5^{t/h}$ con vida media $h$

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