Logaritmo natural (ln)

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuál es el valor de $\ln 1$ ?
1. a) $0$
2. b) $e$
3. c) $-1$
4. d) $1$
Respuesta: $0$
$\ln 1 = 0$ porque $e^0 = 1$ . Cualquier número (excepto 0) elevado a 0 da 1.
2.
Calcula $\ln(e^7)$ sin calculadora.
Respuesta: 7
$\ln(e^7)$ pregunta qué potencia de $e$ da $e^7$ . La respuesta es el exponente: $\ln(e^7) = 7$ .
3.
Calcula $\ln(e^{-3}) + \ln(e^{8})$ sin calculadora.
Respuesta: 5
1. ¿Cuánto vale $\ln(e^{-3})$ ? -3
2. ¿Cuánto vale $\ln(e^{8})$ ? 8
3. Suma los dos resultados. ¿Cuál es la suma? 5
4.
¿Qué expresión significa lo mismo que $\ln x$ ?
1. a) $\log_2 x$
2. b) $\log_e x$
3. c) $\log_{10} x$
4. d) $e^x$
Respuesta: $\log_e x$
$\ln x$ es el logaritmo en base $e$ , así que $\ln x = \log_e x$ . $\log_{10} x$ es el logaritmo decimal y $e^x$ es la función inversa de $\ln x$ .
5.
Simplifica $e^{\ln 12}$ .
Respuesta: 12
$\ln 12$ es la potencia de $e$ que da $12$ . Al elevar $e$ exactamente a esa potencia, vuelves a obtener $12$ : $e^{\ln 12} = 12$ .
6.
Calcula $4\ln e - 3\ln 1$ .
Respuesta: 4
1. ¿Cuánto vale $\ln e$ ? 1
2. ¿Cuánto vale $\ln 1$ ? 0
3. ¿Cuánto es $4 \cdot 1 - 3 \cdot 0$ ? 4
7.
Resuelve $\ln x = 2$ . Da $x$ redondeado a 2 decimales.
Respuesta: 7.39
1. Escribe en forma exponencial: $x = e^{\square}$ . ¿Qué número va en el recuadro? 2
2. Calcula $e^2$ , redondeado a 2 decimales. 7.39
8.
¿Cuál de estas expresiones no tiene valor real?
1. a) $\ln(-4)$
2. b) $\ln(e^{-2})$
3. c) $\ln 1$
4. d) $\ln 0{,}5$
Respuesta: $\ln(-4)$
$\ln(-4)$ no tiene valor real porque $e^y$ siempre es positivo. Las demás existen: $\ln 0{,}5 \approx -0{,}693$ , $\ln 1 = 0$ y $\ln(e^{-2}) = -2$ . Un RESULTADO negativo está permitido, solo el argumento tiene que ser positivo.
9.
Usa la calculadora para hallar $\ln 50$ . Redondea a 3 decimales.
Respuesta: 3.912
$\ln 50 = 3{,}91202...$ , así que $\ln 50 \approx 3{,}912$ . Comprobación: $e^{3{,}912} \approx 50{,}0$ .
10.
Resuelve $e^x = 15$ . Redondea a 3 decimales.
Respuesta: 2.708
1. Aplica $\ln$ a los dos miembros: $x = \ln \square$ . ¿Qué número va en el recuadro? 15
2. Calcula $\ln 15$ , redondeado a 3 decimales. 2.708
11.
¿Cuál es la solución exacta de $e^x = 9$ ?
1. a) $x = \ln 9$
2. b) $x = \frac{9}{e}$
3. c) $x = e^9$
4. d) $x = \log 9$
Respuesta: $x = \ln 9$
Aplica $\ln$ a los dos miembros: $\ln(e^x) = \ln 9$ , así que $x = \ln 9 \approx 2{,}197$ . Dividir entre $e$ no deshace una potencia, y $\log 9$ usa base 10, no $e$ .
12.
Calcula $\ln \sqrt{e}$ . Escribe el resultado como fracción o como número decimal.
Respuesta: 1/2
$\sqrt{e} = e^{1/2}$ , y $\ln(e^{1/2}) = \frac{1}{2}$ . Por tanto, $\ln \sqrt{e} = \frac{1}{2} = 0{,}5$ .
13.
Resuelve $4e^x = 36$ . Redondea a 3 decimales.
Respuesta: 2.197
1. Divide los dos miembros entre 4. ¿A qué es igual $e^x$ ? 9
2. Aplica $\ln$ a los dos miembros. ¿Cuánto vale $x = \ln 9$ , redondeado a 3 decimales? 2.197
3. Comprobación: ¿cuánto vale $4e^{2{,}197}$ , redondeado a la unidad? 36
14.
Calcula $e^{\ln 5} \cdot \ln(e^4)$ sin calculadora.
Respuesta: 20
1. ¿Cuánto vale $e^{\ln 5}$ ? 5
2. ¿Cuánto vale $\ln(e^4)$ ? 4
3. Multiplica los dos resultados. ¿Cuál es el producto? 20
15.
¿Qué valor de $x$ resuelve $e^{2x} = 7$ ?
1. a) $x = 2\ln 7$
2. b) $x = \frac{\ln 7}{2}$
3. c) $x = \frac{7}{2e}$
4. d) $x = \ln \frac{7}{2}$
Respuesta: $x = \frac{\ln 7}{2}$
$\ln(e^{2x}) = 2x$ , así que $2x = \ln 7$ y $x = \frac{\ln 7}{2} \approx 0{,}973$ . Ojo: $\frac{\ln 7}{2}$ no es lo mismo que $\ln \frac{7}{2} \approx 1{,}253$ .
16.
Resuelve $e^x = 0{,}2$ . Redondea a 3 decimales.
Respuesta: -1.609
Aplica $\ln$ a los dos miembros: $x = \ln 0{,}2 = -1{,}60943...$ , así que $x \approx -1{,}609$ . Es negativo porque $0{,}2 < 1$ . Comprobación: $e^{-1{,}609} \approx 0{,}200$ .
17.
Resuelve $e^{3x} = 50$ . Redondea a 3 decimales.
Respuesta: 1.304
1. Aplica $\ln$ a los dos miembros: $3x = \ln 50$ . ¿Cuánto vale $\ln 50$ , redondeado a 4 decimales? 3.9120
2. Divide entre 3. ¿Cuánto vale $x$ , redondeado a 3 decimales? 1.304
18.
La población de un pueblo crece según $P = 2000e^{0{,}03t}$ , con $t$ en años. ¿Al cabo de cuántos años llegará a 5000 habitantes? Redondea a 2 decimales.
Respuesta: 30.54
1. Divide $5000 = 2000e^{0{,}03t}$ entre 2000. ¿A qué es igual $e^{0{,}03t}$ ? 2.5
2. Aplica $\ln$ a los dos miembros: $0{,}03t = \ln 2{,}5$ . ¿Cuánto vale $\ln 2{,}5$ , redondeado a 4 decimales? 0.9163
3. Divide entre 0,03. ¿Cuánto vale $t$ , redondeado a 2 decimales? 30.54