Guía del profesor: Logaritmo natural (ln)

Aprende qué significa ln x, por qué ln e = 1 y ln 1 = 0, cómo ln deshace e^x y cómo resolver ecuaciones como e^x = 20 con la calculadora.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Logaritmos. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Definir el logaritmo natural como el logaritmo en base $e$
Pasar de $\ln x = y$ a $e^y = x$ y al revés
Usar $\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$ , $\ln(e^x) = x$ y $e^{\ln x} = x$ para simplificar expresiones
Calcular logaritmos naturales con la calculadora y comprobar el resultado
Resolver ecuaciones exponenciales sencillas de la forma $ae^{kx} = b$ usando $\ln$

Requisitos previos

• La base natural e: el número $e \approx 2{,}71828$ y la función $e^x$
• Crecimiento y decrecimiento continuos: modelos de la forma $A = Pe^{rt}$
• Definición de logaritmo: $\log_b y = x$ significa $b^x = y$
• Logaritmo decimal (base 10): la tecla LOG de la calculadora

Iniciadores de discusión

1. Tu calculadora tiene dos teclas de logaritmo, LOG y LN. ¿Por qué crees que los matemáticos necesitan las dos?
2. Sin calculadora, ¿entre qué dos números enteros está $\ln 10$ ? ¿Cómo lo sabes?
3. ¿Por qué $\ln x$ es negativo cuando $x$ está entre 0 y 1?
4. Si $e^x$ y $\ln x$ se deshacen mutuamente, ¿cómo debería ser una gráfica comparada con la otra?

Conceptos erróneos comunes

$\ln$ es un número que multiplica a $x$ (leer $\ln x$ como $\ln \cdot x$ )

Remediación: Insiste en que $\ln$ es una función, como $\sqrt{\phantom{x}}$ . Lee siempre $\ln x$ como una pregunta: "¿ $e$ elevado a qué da $x$ ?" Al principio, escribe $\ln(x)$ con paréntesis.

El $\ln$ de un número pequeño no puede ser negativo

Remediación: Muestra la tabla de valores: $\ln 0{,}5 \approx -0{,}693$ porque $e^{-0{,}693} \approx 0{,}5$ . Los exponentes negativos dan resultados entre 0 y 1, así que el ln de esos números es negativo.

$e^x = k$ se resuelve dividiendo $k$ entre $e$

Remediación: Compara con $x^2 = 9$ : un cuadrado se deshace con una raíz cuadrada, no dividiendo entre 2. Del mismo modo, $e^x$ se deshace con $\ln$ .

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con una tabla de potencias de $e$ ( $e^0 = 1$ , $e^1 \approx 2{,}718$ , $e^2 \approx 7{,}389$ ) y leer los valores de ln al revés
• Practicar solo las reglas inversas $\ln(e^x) = x$ y $e^{\ln x} = x$ antes de usar la calculadora
• Usar una tabla de dos columnas: forma exponencial y forma ln

Para estudiantes de nivel:

• Calcular valores de ln con la calculadora y comprobar cada uno con $e^x$
• Resolver ecuaciones de la forma $ae^{kx} = b$
• Aplicar $\ln$ a situaciones de crecimiento y decrecimiento continuos

Para estudiantes avanzados:

• Explicar la regla del 70 para el tiempo de duplicación usando $\ln 2 \approx 0{,}693$
• Comparar $\ln x$ y $\log x$ para los mismos valores y encontrar la razón constante entre ellos
• Investigar por qué $\ln x$ crece tan despacio: ¿qué tamaño debe tener $x$ para que $\ln x = 10$ ?

Alineación con estándares

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Expresar la solución de modelos exponenciales como un logaritmo (base 2, 10 o e) y calcularla con tecnología
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Comprender la relación inversa entre potencias y logaritmos
HSF-BF.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.4)
Hallar funciones inversas

Recursos de la lección

visualGráficas espejo
Gráfica interactiva de $y = e^x$ e $y = \ln x$ , simétricas respecto a la recta $y = x$ , con puntos correspondientes
activityClasificación de parejas inversas
Emparejar tarjetas como $\ln(e^4)$ , $e^{\ln 9}$ , $\ln 1$ y $\ln e$ con su valor
worksheet¿Cuándo ocurre?
Problemas de crecimiento y decrecimiento continuos resueltos con $\ln$ : bacterias, ahorro, medicina

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

El logaritmo natural (o neperiano) es el logaritmo en base

e

, donde

e \approx 2{,}71828

es el número de Euler. En lugar de escribir

\log_e x

, escribimos

\ln x

(se lee "logaritmo natural de x" o "ele ene de x").

\ln x = \log_e x

Como todo logaritmo,

\ln x

responde a una pregunta: **"¿A qué potencia tengo que elevar

e

para obtener

x

?"**

\ln x = y \iff e^y = x

Dos valores que debes saber de memoria:

$\ln 1 = 0$ , porque $e^0 = 1$
$\ln e = 1$ , porque $e^1 = e$

ln deshace e^x (y al revés): la función

y = \ln x

es la función inversa de

y = e^x

, así que

\ln(e^x) = x \quad \text{y} \quad e^{\ln x} = x \; (x > 0)

El argumento tiene que ser positivo:

\ln x

solo existe para

x > 0

, porque

e^y

nunca es cero ni negativo. Por tanto, el dominio de

y = \ln x

x > 0

Ejemplos resueltos

Calcula $\ln(e^5)$ sin calculadora.

Plantear la pregunta

$\ln(e^5)$ pregunta: ¿a qué potencia tengo que elevar $e$ para obtener $e^5$ ? → $e^{?} = e^5$

Leer el exponente

La potencia que convierte $e$ en $e^5$ es $5$ → $? = 5$

Usar la regla inversa

$\ln$ deshace $e^x$ : $\ln(e^x) = x$ → $\ln(e^5) = 5$

Respuesta: $\ln(e^5) = 5$

Errores comunes

Escribir $\ln 1 = 1$ o $\ln e = 0$

Por qué está mal: Es fácil intercambiar los dos valores clave. $\ln$ da un exponente, no el propio número.

Correcto: $\ln 1 = 0$ porque $e^0 = 1$ , y $\ln e = 1$ porque $e^1 = e$ .

Calcular el $\ln$ de cero o de un número negativo, como $\ln 0$ o $\ln(-3)$

Por qué está mal: $e^y$ siempre es positivo, sea cual sea $y$ . Ninguna potencia de $e$ da $0$ o un número negativo.

Correcto: $\ln x$ solo existe para $x > 0$ . La calculadora muestra un error para $\ln 0$ y $\ln(-3)$ .

Pulsar LOG en lugar de LN en la calculadora

Por qué está mal: LOG es el logaritmo decimal (base 10) y LN es el logaritmo natural (base $e$ ). Dan resultados distintos.

Correcto: $\log 10 = 1$ , pero $\ln 10 \approx 2{,}303$ . Usa LN siempre que la base sea $e$ .

Resolver $e^x = 20$ dividiendo: $x = \frac{20}{e}$

Por qué está mal: $x$ es un exponente, no un factor. Dividir entre $e$ no deshace la potencia de $e$ .

Correcto: Deshaz $e^x$ con $\ln$ : $x = \ln 20 \approx 2{,}996$ .

Por qué es importante

El número

e

aparece siempre que algo crece o disminuye de forma continua, y

\ln

es la herramienta que saca el tiempo o la tasa del exponente:

Crecimiento continuo: si unas bacterias crecen según $N = 500e^{0{,}4t}$ , $\ln$ te dice cuándo habrá 2000.
Dinero: con interés compuesto continuo $A = Pe^{rt}$ , el tiempo de duplicación es $t = \frac{\ln 2}{r}$ .
Medicina: cuánto tiempo se mantiene un medicamento por encima de un nivel seguro en la sangre se calcula con $\ln$ .
Ciencias y cálculo: $\ln x$ aparece en física, química y en cualquier curso de cálculo, porque $e^x$ y $\ln x$ tienen las derivadas más sencillas.

Sin

\ln

, una ecuación como

e^x = 20

solo se podría resolver probando. Con

\ln

, basta un paso:

x = \ln 20 \approx 2{,}996

Aplicaciones del mundo real

Biología: ¿cuándo alcanzará el cultivo su objetivo?

Un cultivo de bacterias con alimento de sobra crece de forma continua según $N = N_0 e^{rt}$. Para saber CUÁNDO alcanza un tamaño, necesitas $\ln$ para bajar $t$ del exponente.

Ejemplo:

Con $N = 1000e^{0{,}3t}$ , el cultivo llega a 3000 cuando $e^{0{,}3t} = 3$ , es decir, $0{,}3t = \ln 3$ y $t = \frac{\ln 3}{0{,}3} \approx 3{,}66$ horas.

1Inténtalo tú mismo

Un cultivo empieza con 500 bacterias y crece según $N = 500e^{0{,}4t}$ , con $t$ en horas.

¿Al cabo de cuántas horas hay 2000 bacterias? Redondea a 2 decimales.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $t = \frac{\ln 4}{0{,}4}$ :

Finanzas: tiempo de duplicación con interés continuo

Los bancos comparan ofertas de ahorro con interés compuesto continuo, $A = Pe^{rt}$. El tiempo que tarda el dinero en duplicarse es $t = \frac{\ln 2}{r}$.

Ejemplo:

Al 7 % con capitalización continua, el dinero se duplica en $\frac{\ln 2}{0{,}07} \approx 9{,}90$ años. Como $\ln 2 \approx 0{,}693$ , los banqueros usan la "regla del 70": 70 dividido entre el tipo de interés en porcentaje.

2Inténtalo tú mismo

Inviertes 1000 dólares al 5 % de interés compuesto continuo, así que $A = 1000e^{0{,}05t}$ .

¿Al cabo de cuántos años tendrás 2000 dólares? Redondea a 2 decimales.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $t = \frac{\ln 2}{0{,}05}$ :

Medicina: cuánto tiempo permanece un fármaco en la sangre

Muchos medicamentos se eliminan de forma continua, así que la cantidad en sangre sigue $C = C_0 e^{-kt}$. Los médicos usan $\ln$ para saber cuándo toca la siguiente dosis.

Ejemplo:

Un fármaco con $k = 0{,}25$ por hora tiene una vida media de $\frac{\ln 2}{0{,}25} \approx 2{,}77$ horas: pasado ese tiempo, queda la mitad.

3Inténtalo tú mismo

Una paciente toma 100 mg de un medicamento. La cantidad que queda después de $t$ horas es $C = 100e^{-0{,}25t}$ .

¿Al cabo de cuántas horas quedan 40 mg? Redondea a 2 decimales.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $t = \frac{\ln 0{,}4}{-0{,}25}$ :

Puntos clave

1El logaritmo natural es el logaritmo en base $e \approx 2{,}71828$ : $\ln x = \log_e x$
2 $\ln x = y$ significa $e^y = x$ : ln da la potencia de $e$ que produce $x$
3Valores clave: $\ln 1 = 0$ y $\ln e = 1$
4 $\ln$ y $e^x$ son funciones inversas: $\ln(e^x) = x$ y $e^{\ln x} = x$ para $x > 0$
5 $\ln x$ solo existe para $x > 0$ ; es negativo si $0 < x < 1$ y positivo si $x > 1$
6Para resolver $e^x = k$ (con $k > 0$ ), aplica ln a los dos miembros: $x = \ln k$

Preguntas frecuentes

¿Por qué se llama logaritmo natural?

Porque su base

e

aparece de forma natural: en el crecimiento continuo, en el interés continuo y en el cálculo, donde

e^x

\ln x

tienen las tasas de cambio más sencillas. La "n" de

\ln

viene del latín "logarithmus naturalis". También se llama neperiano, por John Napier.

¿Es ln lo mismo que log?

No.

\log x

(logaritmo decimal) tiene base 10 y

\ln x

tiene base

e

. Por ejemplo,

\log 100 = 2

pero

\ln 100 \approx 4{,}605

. Los dos responden al mismo tipo de pregunta, solo cambia la base.

¿Por qué mi calculadora da error con ln(0)?

Porque

e^y

siempre es positivo: no hay ninguna potencia de

e

que valga

0

o un número negativo. La gráfica de

y = \ln x

solo está a la derecha del eje

y

, que es una asíntota vertical.

¿Qué relación hay entre las gráficas de $y = e^x$ e $y = \ln x$ ?

Son simétricas respecto a la recta

y = x

, porque son funciones inversas. El punto

(0, 1)

y = e^x

corresponde al punto

(1, 0)

y = \ln x

, y

(1, e)

corresponde a

(e, 1)

Glosario

Logaritmo natural: El logaritmo en base $e$ , que se escribe $\ln x$ ; $\ln x = y$ significa $e^y = x$
Número de Euler $e$: El número irracional $e \approx 2{,}71828$ , la base del crecimiento continuo
Función inversa: Una función que deshace otra; $\ln x$ y $e^x$ son funciones inversas entre sí
Argumento: El número del que se calcula el logaritmo, la $x$ de $\ln x$ ; tiene que ser positivo
Dominio: Todos los valores permitidos de la variable; para $y = \ln x$ es $x > 0$
Ecuación exponencial: Una ecuación con la incógnita en el exponente, como $e^x = 20$

Tarjeta de fórmulas

Definición

\ln x = \log_e x

Logaritmo en base $e \approx 2{,}71828$

Forma exponencial

\ln x = y \iff e^y = x

Pasar de una forma a la otra

Valores clave

\ln 1 = 0, \quad \ln e = 1

Porque $e^0 = 1$ y $e^1 = e$

Reglas inversas

\ln(e^x) = x, \quad e^{\ln x} = x

La segunda, para $x > 0$

Resolver $e^x = k$

x = \ln k

Solo para $k > 0$

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Biología: ¿cuándo alcanzará el cultivo su objetivo?

Finanzas: tiempo de duplicación con interés continuo

Medicina: cuánto tiempo permanece un fármaco en la sangre

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Definición

Forma exponencial

Valores clave

Reglas inversas

Resolver $e^x = k$

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