Sucesión de Fibonacci

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué número viene a continuación? $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$
1. a)20
2. b)18
3. c)21
4. d)26
Respuesta: 21
El término siguiente es $8 + 13 = 21$ .
2.
Con $F_1 = F_2 = 1$ , ¿cuánto vale $F_{10}$ , el 10.º número de Fibonacci?
Respuesta: 55
$F_8 = 21$ y $F_9 = 34$ , así que $F_{10} = 21 + 34 = 55$ .
3.
¿Qué regla genera la sucesión de Fibonacci?
1. a)Sumar los dos términos anteriores
2. b)Elevar al cuadrado el término anterior
3. c)Multiplicar el término anterior por 2
4. d)Sumar 2 al término anterior
Respuesta: Sumar los dos términos anteriores
Cada término es la suma de los dos anteriores: $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ . Duplicar daría en cambio $1, 2, 4, 8, \ldots$
4.
Dos números de Fibonacci vecinos son $34$ y $55$ . ¿Cuál es el término siguiente?
Respuesta: 89
$34 + 55 = 89$ .
5.
En el problema de los conejos de Fibonacci hay $1, 1, 2, 3$ parejas en los meses 1 a 4. ¿Cuántas parejas hay en el mes 7?
Respuesta: 13
1. ¿Cuántas parejas hay en el mes 5? 5
2. ¿Cuántas parejas hay en el mes 6? 8
3. ¿Cuántas parejas hay en el mes 7? 13
6.
Parte de $F_4 = 3$ y $F_5 = 5$ y halla $F_8$ .
Respuesta: 21
1. ¿Cuánto vale $F_6$ ? 8
2. ¿Cuánto vale $F_7$ ? 13
3. ¿Cuánto vale $F_8$ ? 21
7.
¿Qué cociente de números de Fibonacci vecinos está más cerca del número áureo $\varphi \approx 1{,}618$ ?
1. a)13/8
2. b)89/55
3. c)3/2
4. d)8/5
Respuesta: 89/55
$\frac{89}{55} \approx 1{,}6182$ , mientras que $\frac{8}{5} = 1{,}6$ , $\frac{3}{2} = 1{,}5$ y $\frac{13}{8} = 1{,}625$ . Cuanto más avanzados los términos, más cerca de $\varphi$ .
8.
Calcula la suma de los 10 primeros números de Fibonacci: $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55$ .
Respuesta: 143
La suma es $F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$ .
9.
Dos números de Fibonacci vecinos son $233$ y $377$ . Retrocede: ¿qué término está dos lugares antes de $233$ ?
Respuesta: 89
1. ¿Qué término va justo antes de $233$ ? 144
2. ¿Qué término va antes de ese? 89
3. Comprobación: ¿cuánto es $89 + 144$ ? 233
10.
Uno de cada tres números de Fibonacci es par. ¿Cuál de estos términos es par?
1. a) $F_{24}$
2. b) $F_{20}$
3. c) $F_{22}$
4. d) $F_{25}$
Respuesta: $F_{24}$
$24 = 3 \times 8$ es múltiplo de 3, así que $F_{24}$ es par (vale $46368$ ). 20, 22 y 25 no son múltiplos de 3.
11.
Los números de Lucas usan la regla de Fibonacci pero empiezan con 2 y 1: $2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, \ldots$ ¿Cuál es el término siguiente?
Respuesta: 29
$11 + 18 = 29$ .
12.
Los números de Fibonacci $8$ y $13$ son vecinos. Halla el término siguiente y luego el cociente entre ese término y $13$ , redondeado a 3 decimales.
Respuesta: 1.615
1. ¿Cuál es el término siguiente a $13$ ? 21
2. ¿Cuánto es $\frac{21}{13}$ redondeado a 3 decimales? 1.615
3. ¿A qué distancia está $1{,}615$ de $1{,}618$ ? 0.003
13.
Usa la regla de la suma $F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$ para calcular $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13$ .
Respuesta: 33
1. ¿Cuántos términos se suman? (Eso es $n$ .) 7
2. La regla usa $F_{n+2}$ . ¿Cuánto es $n + 2$ ? 9
3. ¿Cuánto vale $F_9$ ? 34
4. ¿Cuánto es la suma $F_9 - 1$ ? 33
14.
El número áureo cumple $\varphi^2 = \varphi + 1$ . Con $\varphi \approx 1{,}618$ , ¿cuánto vale $\varphi^2$ ?
1. a)2,618
2. b)3,236
3. c)2,236
4. d)1,309
Respuesta: 2,618
$\varphi^2 = \varphi + 1 \approx 1{,}618 + 1 = 2{,}618$ . Comprobación: $1{,}618 \times 1{,}618 \approx 2{,}618$ . ( $3{,}236$ es $2\varphi$ , no $\varphi^2$ .)
15.
Subes una escalera de 1 en 1 o de 2 en 2 peldaños. Hay 1 forma para 1 peldaño y 2 formas para 2 peldaños, y cada cantidad siguiente es la suma de las dos anteriores. ¿De cuántas formas puedes subir 10 peldaños?
Respuesta: 89
Para 1 a 10 peldaños: $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89$ . Así que 10 peldaños se pueden subir de $89$ formas (es $F_{11}$ ).
16.
Una nueva sucesión usa la regla de Fibonacci pero empieza con $4$ y $10$ . Halla los términos 3 a 6 y luego el cociente entre el 6.º término y el 5.º, redondeado a 2 decimales.
Respuesta: 1.63
1. ¿Cuál es el 3.er término? 14
2. ¿Cuál es el 4.º término? 24
3. ¿Cuál es el 5.º término? 38
4. ¿Cuál es el 6.º término? 62
5. ¿Cuánto es $\frac{62}{38}$ redondeado a 2 decimales? 1.63
17.
¿Cuántos de los 30 primeros números de Fibonacci $F_1, F_2, \ldots, F_{30}$ son pares?
Respuesta: 10
1. ¿En qué posición está el primer número de Fibonacci par? 3
2. ¿En qué posición está el siguiente par? 6
3. Los términos pares están en los múltiplos de 3. ¿Cuántos múltiplos de 3 hay del 1 al 30? 10
18.
Comprueba con números que $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ cumple $\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}$ . Redondea cada resultado a 3 decimales.
Respuesta: 1.618
1. ¿Cuánto es $\sqrt{5}$ redondeado a 3 decimales? 2.236
2. ¿Cuánto es $\frac{1 + 2{,}236}{2}$ ? 1.618
3. ¿Cuánto es $\frac{1}{1{,}618}$ redondeado a 3 decimales? 0.618
4. ¿Cuánto es $1 + 0{,}618$ ? 1.618