Guía del profesor: Sucesión de Fibonacci

Aprende la sucesión de Fibonacci, en la que cada término es la suma de los dos anteriores, sus patrones ocultos y por qué el cociente entre términos vecinos se acerca al número áureo.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Sucesiones. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Calcular términos de la sucesión de Fibonacci con la regla recursiva $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
Explicar cómo el problema de los conejos de Fibonacci genera la sucesión
Reconocer y usar el patrón de los términos pares y la regla $F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$
Calcular cocientes entre términos vecinos y describir cómo se acercan al número áureo
Evaluar con espíritu crítico las afirmaciones sobre los números de Fibonacci en la naturaleza y el arte

Requisitos previos

• Introducción a las sucesiones: términos y la notación $a_n$
• Sucesiones aritméticas y geométricas (diferencia constante y razón constante)
• Dividir números enteros y redondear decimales
• Raíces cuadradas como $\sqrt{5} \approx 2{,}236$

Iniciadores de discusión

1. ¿En qué se diferencia la regla de Fibonacci de las reglas de las sucesiones aritméticas y geométricas?
2. En el modelo de los conejos ninguno muere. ¿Qué cambiaría si las parejas murieran después de unos meses?
3. ¿Por qué es par uno de cada tres números de Fibonacci? Piensa en impar + impar e impar + par.
4. Si alguien dice que el número áureo está escondido en un cuadro famoso, ¿qué tendrías que comprobar antes de creerlo?

Conceptos erróneos comunes

El término siguiente es el doble del anterior

Remediación: Coloca $1, 1, 2, 4, 8$ junto a $1, 1, 2, 3, 5$ y pide que enuncien la regla de cada una. Insiste en que la regla de Fibonacci usa DOS términos anteriores.

Los cocientes llegan en algún momento a $1{,}618$ exactamente

Remediación: Pide que calculen los cocientes con 5 decimales en una tabla: $1{,}6$ , $1{,}625$ , $1{,}61538$ , $1{,}61905$ , ... Verán la alternancia y que ninguna fracción es igual al irracional $\varphi$ .

Los números de Fibonacci y el número áureo están en todas partes en la naturaleza y el arte

Remediación: Reunid recuentos reales en piñas o cabezuelas y buscad excepciones. Comentad la concha del nautilo, cuya espiral no es áurea, y mostrad cómo se puede colocar un rectángulo áureo sobre casi cualquier imagen.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Usar una tabla con una fila para la posición y otra para el valor, y rellenarla sumando las dos casillas de la izquierda
• Representar el problema de los conejos con tarjetas para parejas adultas y parejas de crías
• Permitir la calculadora en los cocientes para que la atención se centre en el patrón

Para estudiantes de nivel:

• Hallar términos hasta $F_{15}$ y comprobar la regla de la suma para varios valores de $n$
• Calcular los cocientes entre vecinos y representarlos frente a $n$
• Resolver el problema de la escalera para 5 a 10 peldaños

Para estudiantes avanzados:

• Explicar con sumas de pares e impares por qué uno de cada tres términos es par
• Demostrar que $r = 1 + \frac{1}{r}$ lleva a $r^2 = r + 1$ y resolver la ecuación
• Probar otros valores iniciales (números de Lucas, 3 y 10) y explicar por qué el límite del cociente no cambia

Alineación con estándares

HSF-IF.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.A.3)
Reconocer que las sucesiones son funciones, a veces definidas de forma recursiva, como la sucesión de Fibonacci
HSF-BF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.2)
Escribir sucesiones de forma recursiva y usarlas para modelizar situaciones
8.NS.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.8.NS.A.2)
Usar aproximaciones racionales de números irracionales para estimar su valor

Recursos de la lección

visualCuadrados y espiral de Fibonacci
El alumnado añade cuadrados con lados de Fibonacci, ve crecer la espiral áurea y observa cómo la gráfica de cocientes oscila alrededor de 1,618
activityContar espirales
El alumnado cuenta las espirales en ambos sentidos en piñas, ananás o fotos de girasoles y anota si son números de Fibonacci
worksheetPatrones de Fibonacci
Hallar términos, comprobar el patrón de los términos pares y la regla de la suma, y calcular cocientes para los números de Fibonacci y de Lucas

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La sucesión de Fibonacci es la lista de números

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots

en la que cada término, a partir del tercero, es la suma de los dos términos anteriores:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

, y así sucesivamente.

La regla recursiva

Llamamos a los términos

F_1, F_2, F_3, \ldots

y escribimos:

F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \text{ para } n \geq 3

También verás la notación

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

. Es una regla recursiva (o ley de recurrencia): para obtener un término necesitas los términos justo anteriores. En una sucesión aritmética siempre sumas la misma diferencia

d

, en una sucesión geométrica siempre multiplicas por la misma razón

r

, pero aquí la cantidad que sumas no deja de crecer.

Los conejos de Fibonacci

En 1202, Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, planteó un problema de conejos en su libro *Liber Abaci*. Hoy se suele contar así: se coloca una pareja de conejos recién nacidos en un campo. Una pareja es adulta al cabo de un mes y, a partir de entonces, cada pareja adulta tiene una nueva pareja cada mes. Ningún conejo muere. Si cuentas las parejas mes a mes, obtienes

1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots

(En la versión del propio Fibonacci, la primera pareja ya tenía crías el primer mes, así que su cuenta empezaba por

1, 2, 3, 5, \ldots

, los mismos números. Estudiosos de la India ya los habían encontrado siglos antes, al contar ritmos de sílabas largas y breves en la poesía.)

Patrones ocultos

Uno de cada tres términos es par: $F_3 = 2$ , $F_6 = 8$ , $F_9 = 34$ , $F_{12} = 144$ , y todos los demás son impares.
**Suma de los $n$ primeros términos**: $F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$ . Por ejemplo, $1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = 13 - 1$ .
Cociente entre vecinos: $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ se acerca cada vez más al número áureo

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

Ejemplos resueltos

La sucesión de Fibonacci empieza así:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots

Calcula

F_{10}

F_{11}

F_{12}

Localiza los dos últimos términos conocidos

F_8 = 21

F_9 = 34

→

F_8 = 21

F_9 = 34

Súmalos para obtener $F_{10}$

F_{10} = F_9 + F_8 = 34 + 21

→

F_{10} = 55

Suma los dos términos más nuevos para obtener $F_{11}$

F_{11} = F_{10} + F_9 = 55 + 34

→

F_{11} = 89

Repite una vez más para $F_{12}$

F_{12} = F_{11} + F_{10} = 89 + 55

→

F_{12} = 144

Respuesta: $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ y $F_{12} = 144$ . Suma siempre los dos términos más recientes.

Errores comunes

Duplicar el último término: $1, 1, 2, 4, 8, 16, \ldots$

Por qué está mal: Duplicar da una sucesión geométrica. La regla de Fibonacci suma los DOS últimos términos, y no son iguales (salvo justo al principio).

Correcto: Después de $2$ viene $1 + 2 = 3$ , luego $2 + 3 = 5$ : $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$

Contar mal las posiciones, por ejemplo decir que $F_{10} = 89$

Por qué está mal: Los dos primeros términos valen $1$ , así que es fácil saltarse uno. Además, algunos libros ponen un $0$ al principio ( $0, 1, 1, 2, \ldots$ ); si cuentas ese $0$ como primer término, cada posición se desplaza en uno.

Correcto: Escribe las posiciones encima de los términos: $F_1 = 1$ , $F_2 = 1$ , $F_3 = 2$ , ..., $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ . Comprueba con qué inicio trabaja tu libro.

Pensar que los cocientes suben poco a poco hasta $1{,}618$ , o que algún cociente es exactamente $\varphi$

Por qué está mal: Los cocientes saltan por encima y por debajo de $\varphi$ : $1{,}6$ , $1{,}625$ , $1{,}615$ , $1{,}619$ , ... Cada cociente es una fracción y $\varphi$ es irracional, así que ningún cociente es nunca igual a $\varphi$ .

Correcto: Di que los cocientes se acercan a $\varphi$ por los dos lados, tanto como queramos, pero sin alcanzarlo nunca.

Creer que toda espiral y todo rectángulo bonito es de Fibonacci o áureo

Por qué está mal: La concha del nautilo es una espiral, pero su razón de crecimiento no es $\varphi$ . Muchas afirmaciones sobre el número áureo en el Partenón o la Mona Lisa dependen de dónde se decida trazar las líneas.

Correcto: Primero cuenta o mide. Los números de espirales en girasoles y piñas suelen ser números de Fibonacci, pero no siempre, y las afirmaciones sobre arte necesitan mediciones reales.

Por qué es importante

La sucesión de Fibonacci es uno de los patrones más conocidos de las matemáticas y aparece en lugares sorprendentes:

Plantas: muchos girasoles muestran 34 espirales en un sentido y 55 en el otro, las piñas de pino suelen mostrar 8 y 13, y las piñas tropicales (ananás) también 8 y 13. Colocar las semillas girando siempre el mismo ángulo (unos $137{,}5°$ , relacionado con $\varphi$ ) las reparte de forma regular, casi sin huecos, y de ahí salen los números de espirales de Fibonacci.
Contar: el número de formas de subir una escalera subiendo 1 o 2 peldaños cada vez es un número de Fibonacci.
Unidades: como $\varphi \approx 1{,}618$ está cerca de $1{,}609$ (kilómetros en una milla), dos números de Fibonacci vecinos convierten millas en kilómetros: 5 millas son unos 8 km, 8 millas unos 13 km.
Pensamiento recursivo: construir cada paso a partir de los anteriores es como funcionan muchos programas informáticos y modelos de crecimiento.

Una aclaración honesta: no todas las espirales de la naturaleza son espirales de Fibonacci, los recuentos en plantas a veces fallan por uno, y muchas afirmaciones sobre el número áureo en cuadros y edificios famosos son exageradas. Un buen matemático comprueba los números antes de creerse la historia.

Aplicaciones del mundo real

Espirales del girasol

Las semillas de un girasol forman dos familias de espirales, una en el sentido de las agujas del reloj y otra en sentido contrario. Sus cantidades suelen ser dos números de Fibonacci vecinos.

Ejemplo:

Un girasol típico muestra 34 espirales en un sentido y 55 en el otro. Los más pequeños pueden mostrar 21 y 34, y los muy grandes 89 y 144. Algunos no siguen el patrón, así que cuenta siempre.

1Inténtalo tú mismo

Un girasol gigante tiene 55 espirales en el sentido de las agujas del reloj. Sus espirales en sentido contrario siguen el siguiente número de Fibonacci.

¿Cuántas espirales en sentido contrario esperas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Suma 55 y el número de Fibonacci justo anterior:

Subir escaleras

Si subes una escalera de 1 en 1 o de 2 en 2 peldaños, el número de formas distintas de llegar arriba sigue la regla de Fibonacci.

Ejemplo:

1 peldaño: 1 forma. 2 peldaños: 2 formas (1 + 1 o 2). 3 peldaños: 3 formas. Para llegar al peldaño $n$ , tu último paso sale del peldaño $n - 1$ (paso de 1) o del peldaño $n - 2$ (paso de 2), así que formas( $n$ ) = formas( $n - 1$ ) + formas( $n - 2$ ).

2Inténtalo tú mismo

Una escalera tiene 8 peldaños. Subes de 1 en 1 o de 2 en 2. 1 peldaño tiene 1 forma, 2 peldaños tienen 2 formas, y cada cantidad siguiente es la suma de las dos anteriores.

¿De cuántas formas distintas puedes subir los 8 peldaños?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Suma las formas para 6 y 7 peldaños:

De millas a kilómetros

Una milla son unos $1{,}609$ km, muy cerca de $\varphi \approx 1{,}618$. Por eso, un número de Fibonacci de millas es aproximadamente el siguiente número de Fibonacci de kilómetros.

Ejemplo:

5 millas $\approx$ 8 km (exactamente $8{,}05$ km), 8 millas $\approx$ 13 km (exactamente $12{,}87$ km), 13 millas $\approx$ 21 km (exactamente $20{,}92$ km).

3Inténtalo tú mismo

Una ruta en bicicleta mide 21 millas. Quieres una estimación rápida en kilómetros.

¿Aproximadamente cuántos kilómetros son 21 millas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa el número de Fibonacci que sigue a 21:

Puntos clave

1La sucesión de Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ sigue la regla recursiva $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ con $F_1 = F_2 = 1$
2El problema de los conejos de Fibonacci (1202) da exactamente estos números mes a mes
3Uno de cada tres términos es par ( $F_3, F_6, F_9, \ldots$ ) y todos los demás son impares
4La suma de los $n$ primeros términos es $F_{n+2} - 1$
5El cociente $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ se acerca al número áureo $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ , quedando alternativamente por encima y por debajo
6Otros valores iniciales, como los números de Lucas $2, 1, 3, 4, 7, \ldots$ , tienen el mismo límite $\varphi$ ; los números de Fibonacci aparecen a menudo en las plantas, pero no en todas las espirales

Preguntas frecuentes

¿Por qué los cocientes se acercan a $1{,}618$ y no a otro número?

Si el cociente se estabiliza en un número

r

, entonces

\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}

se convierte en

r = 1 + \frac{1}{r}

, es decir,

r^2 = r + 1

. La solución positiva es

r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

, el número áureo. Comprobación:

1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1

¿Hay una fórmula para $F_n$ sin escribir todos los términos?

Sí, se llama fórmula de Binet:

F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}}

. Aunque contiene

\sqrt{5}

, siempre da un número entero. Su demostración llega más adelante en álgebra; por ahora, sumar términos es el método seguro.

¿La sucesión empieza por 0 o por 1?

Las dos versiones son habituales. Muchos libros añaden

F_0 = 0

delante:

0, 1, 1, 2, 3, 5, \ldots

Con

F_0 = 0

F_1 = 1

cada término conserva su número (

F_{10} = 55

en ambos casos); las posiciones solo se desplazan si alguien llama a ese

0

el primer término. En esta lección,

F_1 = F_2 = 1

¿De verdad está el número áureo en el Partenón y en la Mona Lisa?

Probablemente mucho menos de lo que se dice. Si eliges las líneas libremente, casi siempre encuentras dos longitudes cuyo cociente se acerca a

1{,}6

, y hay pocas pruebas históricas de que esos artistas lo buscaran. Las espirales de las plantas están mucho mejor documentadas, e incluso ahí los recuentos no siempre son números de Fibonacci.

Glosario

Sucesión de Fibonacci: La sucesión $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ en la que cada término es la suma de los dos anteriores
Regla recursiva: Una regla que calcula cada término a partir de términos anteriores, como $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
Número áureo ( $\varphi$ ): El número $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ , límite del cociente entre números de Fibonacci vecinos
Números de Lucas: La sucesión $2, 1, 3, 4, 7, 11, \ldots$ construida con la regla de Fibonacci a partir de los números 2 y 1
Espiral áurea: La espiral formada por cuartos de circunferencia dibujados en cuadrados cuyos lados son números de Fibonacci

Tarjeta de fórmulas

Regla recursiva

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}

F_1 = F_2 = 1

Cada término es la suma de los dos anteriores

Suma de los $n$ primeros términos

F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1

Uno menos que el término dos lugares más adelante

Número áureo

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

El límite de $\frac{F_{n+1}}{F_n}$

Propiedad clave de $\varphi$

\varphi^2 = \varphi + 1

Elevar $\varphi$ al cuadrado es lo mismo que sumarle 1

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

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Contenido de la lección

Definición

La regla recursiva

Los conejos de Fibonacci

Patrones ocultos

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Espirales del girasol

Subir escaleras

De millas a kilómetros

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Regla recursiva

Suma de los $n$ primeros términos

Número áureo

Propiedad clave de $\varphi$

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