Guía del profesor: Valor esperado
Aprende a calcular el resultado promedio de un evento aleatorio en muchas pruebas.
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Ficha imprimible
Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.
Cuestionario de clase
10 preguntas sobre Distribuciones de probabilidad. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.
Para profesores
- Definir el valor esperado como el promedio a largo plazo de un experimento aleatorio
- Calcular el valor esperado usando la fórmula
- Interpretar el valor esperado en contextos reales (juegos de azar, seguros, inversiones)
- Distinguir entre el valor esperado y los resultados reales
- Usar el valor esperado para tomar decisiones informadas bajo incertidumbre
- • Comprensión de la probabilidad básica (resultados, eventos, probabilidad de un evento)
- • Capacidad para trabajar con fracciones y decimales
- • Familiaridad con promedios ponderados (útil pero no obligatorio)
- 1. ¿Por qué los casinos siempre ganan dinero a largo plazo, aunque algunos jugadores ganen?
- 2. Si una lotería tiene un valor esperado negativo, ¿por qué la gente sigue jugando?
- 3. ¿Cómo podrían las compañías de seguros usar el valor esperado para fijar sus precios?
- 4. ¿Aceptarías una apuesta con valor esperado positivo si hubiera una probabilidad de perderlo todo?
El valor esperado te dice lo que pasará a continuación
Un valor esperado más alto siempre es mejor
Los resultados con probabilidad 0 no importan
Para estudiantes con dificultades:
- • Comienza con resultados igualmente probables (dado justo, moneda justa)
- • Usa dados físicos para demostrar el promedio en muchos lanzamientos
- • Concéntrate en el concepto antes de introducir la fórmula
- • Usa primero pagos con números enteros simples
Para estudiantes de nivel:
- • Calcula el valor esperado para juegos con probabilidades desiguales
- • Determina si los juegos son justos, favorecen al jugador o favorecen a la casa
- • Trabaja con resultados positivos y negativos (ganancias y pérdidas)
Para estudiantes avanzados:
- • Analiza juegos de casino reales (ruleta, estrategia básica del blackjack)
- • Explora la varianza y la desviación estándar junto con el valor esperado
- • Investiga la ley de los grandes números mediante simulación
- • Calcula el valor esperado para juegos de múltiples etapas
- S-MD.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.MD.A.2)
Calcular el valor esperado de una variable aleatoria; interpretarlo como la media de la distribución de probabilidad
- S-MD.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.MD.B.5)
Ponderar los posibles resultados de una decisión asignando probabilidades a los valores de pago y encontrando valores esperados
- S-MD.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.MD.B.6)
Usar probabilidades para tomar decisiones justas (por ejemplo, sorteo, uso de un generador de números aleatorios)
- visualSimulador de dados interactivo
Lanza dados muchas veces y observa cómo el promedio converge al valor esperado
- activityAnálisis de juegos de casino
Calcula el valor esperado para diferentes juegos de casino
- worksheet¿Es justo este juego?
Analiza juegos y determina si favorecen al jugador o a la casa
Contenido de la lección
Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.
Contenido de la lección
Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.
Definición
Ejemplos resueltos
¿Cuál es el valor esperado al lanzar un dado de seis caras justo?
Lista todos los resultados y sus probabilidades
Resultados: . Cada uno tiene probabilidad → 6 resultados igualmente probables
Aplica la fórmula del valor esperado
→ Suma de resultados ponderados
Simplifica el cálculo
→
Respuesta: . En promedio, esperas obtener 3,5 (¡aunque nunca puedes realmente obtener 3,5)!
Errores comunes
Olvidar que el valor esperado puede ser un número no entero (como 3,5 en un dado)
Por qué está mal: El valor esperado es un promedio teórico, no un resultado real. No puedes obtener 3,5, pero en muchos lanzamientos, tu promedio se acercará a 3,5.
Correcto: Entiende que el valor esperado representa el promedio a largo plazo, no un resultado específico que obtendrás.
Usar probabilidades iguales cuando los resultados no son igualmente probables
Por qué está mal: Una moneda sesgada o un dado trucado tiene diferentes probabilidades para cada resultado.
Correcto: Siempre verifica si los resultados son igualmente probables. Usa la probabilidad real para cada resultado.
Olvidar restar los costos al calcular el beneficio esperado
Por qué está mal: ¡Ganar 10 euros no es beneficio si pagaste 15 euros para jugar!
Correcto:
Sumar probabilidades en lugar de multiplicar el resultado por la probabilidad
Por qué está mal: La fórmula es , no .
Correcto: Cada resultado debe multiplicarse por su probabilidad, luego suma todos los productos.
Por qué es importante
- Juegos de casino: Los casinos fijan los pagos para que el valor esperado favorezca a la casa
- Seguros: Las compañías calculan los pagos esperados para fijar los precios de las primas
- Inversiones: Los inversores comparan los rendimientos esperados para tomar decisiones
- Teoría de juegos: El valor esperado ayuda a determinar estrategias óptimas
- Control de calidad: Los fabricantes predicen tasas promedio de defectos
Aplicaciones del mundo real
Juegos de casino y ventaja de la casa
Los casinos diseñan juegos para que el valor esperado siempre favorezca a la casa. En la ruleta, la ventaja de la casa significa que los jugadores pierden aproximadamente el 2,7% (europea) o el 5,3% (americana) de sus apuestas en promedio.
Ejemplo:
En la ruleta europea, apostar 10 euros al rojo da: euros. Pierdes 27 céntimos en promedio por apuesta de 10 euros.
Un juego paga 35 veces tu apuesta si adivinas el número exacto en una ruleta (37 números en total). Apuestas 1 euro.
¿Cuál es el valor esperado de esta apuesta?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Calcula:
Decisiones de inversión
Los inversores usan el valor esperado para comparar diferentes opciones de inversión ponderando los rendimientos potenciales contra sus probabilidades.
Ejemplo:
La acción A tiene un 60% de probabilidad de ganar 20% y un 40% de probabilidad de perder 10%. de rendimiento esperado.
La inversión B tiene un 30% de probabilidad de ganar 50% y un 70% de probabilidad de ganar 5%.
¿Cuál es el rendimiento esperado de la inversión B?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Calcula:
Estrategia de concurso de televisión
Los concursantes de programas de televisión usan el valor esperado para decidir si quedarse con un premio garantizado o arriesgarlo por una oportunidad de obtener más.
Ejemplo:
Has ganado 1000 euros. Puedes quedártelos o lanzar una moneda: cara gana 2500 euros, cruz no gana nada. euros. ¡Matemáticamente, deberías lanzar!
Has ganado 500 euros. Puedes quedártelos O girar una ruleta: 25% de probabilidad de ganar 3000 euros, 75% de probabilidad de ganar 0 euros.
¿Qué deberías hacer según el valor esperado?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Calcula:
Puntos clave
- 1El valor esperado es el promedio a largo plazo de un experimento aleatorio repetido muchas veces
- 2Fórmula: (suma de cada resultado por su probabilidad)
- 3El valor esperado puede ser un número que nunca puedes obtener realmente (como 3,5 en un dado)
- 4Un valor esperado positivo significa que ganas en promedio; negativo significa que pierdes
- 5Para encontrar el beneficio esperado, resta los costos de las ganancias esperadas
Preguntas frecuentes
¿Por qué el valor esperado de un dado es 3,5 si nunca puedo obtener 3,5?
¿Cuál es la diferencia entre el valor esperado y la moda o la mediana?
¿Puede el valor esperado ser negativo?
¿Debería siempre elegir la opción con el valor esperado más alto?
Glosario
- Valor esperado
- El promedio a largo plazo de un experimento aleatorio, calculado como la suma de cada resultado por su probabilidad. Notación:
- Variable aleatoria
- Una variable cuyo valor depende del resultado de un evento aleatorio
- Distribución de probabilidad
- Una lista de todos los resultados posibles y sus probabilidades
- Promedio ponderado
- Un promedio donde algunos valores contribuyen más que otros, según sus pesos (aquí, probabilidades)
- Ventaja de la casa
- El beneficio esperado del casino como porcentaje de cada apuesta