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Guía del profesor: Valor esperado

Aprende a calcular el resultado promedio de un evento aleatorio en muchas pruebas.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Distribuciones de probabilidad. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Definir el valor esperado como el promedio a largo plazo de un experimento aleatorio
  • Calcular el valor esperado usando la fórmula E(X)=∑xi⋅P(xi)E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)
  • Interpretar el valor esperado en contextos reales (juegos de azar, seguros, inversiones)
  • Distinguir entre el valor esperado y los resultados reales
  • Usar el valor esperado para tomar decisiones informadas bajo incertidumbre
Requisitos previos
  • • Comprensión de la probabilidad básica (resultados, eventos, probabilidad de un evento)
  • • Capacidad para trabajar con fracciones y decimales
  • • Familiaridad con promedios ponderados (útil pero no obligatorio)
Iniciadores de discusión
  • 1. ¿Por qué los casinos siempre ganan dinero a largo plazo, aunque algunos jugadores ganen?
  • 2. Si una lotería tiene un valor esperado negativo, ¿por qué la gente sigue jugando?
  • 3. ¿Cómo podrían las compañías de seguros usar el valor esperado para fijar sus precios?
  • 4. ¿Aceptarías una apuesta con valor esperado positivo si hubiera una probabilidad de perderlo todo?
Conceptos erróneos comunes

El valor esperado te dice lo que pasará a continuación

Remediación: Enfatiza que el valor esperado se refiere a promedios a largo plazo, no a resultados individuales. Usa una simulación de lanzamiento de dados para mostrar variaciones en pocas pruebas pero convergencia en muchas pruebas.

Un valor esperado más alto siempre es mejor

Remediación: Introduce el concepto de riesgo. Una probabilidad del 50% de ganar un millón de euros frente a 400.000 euros garantizados tiene un valor esperado más alto, pero la mayoría de la gente prefiere la certeza. Discute la aversión al riesgo.

Los resultados con probabilidad 0 no importan

Remediación: Técnicamente correcto, pero los estudiantes a veces asignan probabilidad 0 a eventos improbables. Los eventos raros aún contribuyen al valor esperado.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Comienza con resultados igualmente probables (dado justo, moneda justa)
  • • Usa dados físicos para demostrar el promedio en muchos lanzamientos
  • • Concéntrate en el concepto antes de introducir la fórmula
  • • Usa primero pagos con números enteros simples

Para estudiantes de nivel:

  • • Calcula el valor esperado para juegos con probabilidades desiguales
  • • Determina si los juegos son justos, favorecen al jugador o favorecen a la casa
  • • Trabaja con resultados positivos y negativos (ganancias y pérdidas)

Para estudiantes avanzados:

  • • Analiza juegos de casino reales (ruleta, estrategia básica del blackjack)
  • • Explora la varianza y la desviación estándar junto con el valor esperado
  • • Investiga la ley de los grandes números mediante simulación
  • • Calcula el valor esperado para juegos de múltiples etapas
Alineación con estándares
  • S-MD.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.MD.A.2)

    Calcular el valor esperado de una variable aleatoria; interpretarlo como la media de la distribución de probabilidad

  • S-MD.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.MD.B.5)

    Ponderar los posibles resultados de una decisión asignando probabilidades a los valores de pago y encontrando valores esperados

  • S-MD.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.MD.B.6)

    Usar probabilidades para tomar decisiones justas (por ejemplo, sorteo, uso de un generador de números aleatorios)

Recursos de la lección
  • visualSimulador de dados interactivo

    Lanza dados muchas veces y observa cómo el promedio converge al valor esperado

  • activityAnálisis de juegos de casino

    Calcula el valor esperado para diferentes juegos de casino

  • worksheet¿Es justo este juego?

    Analiza juegos y determina si favorecen al jugador o a la casa

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

El valor esperado (también llamado media o esperanza) de una variable aleatoria es el valor promedio a largo plazo que esperas obtener si repites un experimento muchas veces.
Para una variable aleatoria discreta XX con resultados x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n y probabilidades correspondientes P(x1),P(x2),…,P(xn)P(x_1), P(x_2), \ldots, P(x_n):
E(X)=x1⋅P(x1)+x2⋅P(x2)+⋯+xn⋅P(xn)E(X) = x_1 \cdot P(x_1) + x_2 \cdot P(x_2) + \cdots + x_n \cdot P(x_n)
O de forma más compacta:
E(X)=∑i=1nxi⋅P(xi)E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
Idea clave: El valor esperado es un promedio ponderado donde cada resultado se pondera por su probabilidad.

Ejemplos resueltos

¿Cuál es el valor esperado al lanzar un dado de seis caras justo?
1

Lista todos los resultados y sus probabilidades

Resultados: 1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6. Cada uno tiene probabilidad 16\frac{1}{6} → 6 resultados igualmente probables
2

Aplica la fórmula del valor esperado

E(X)=1⋅16+2⋅16+3⋅16+4⋅16+5⋅16+6⋅16E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} → Suma de resultados ponderados
3

Simplifica el cálculo

E(X)=16(1+2+3+4+5+6)=216E(X) = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6} → 216=3,5\frac{21}{6} = 3{,}5

Errores comunes

Olvidar que el valor esperado puede ser un número no entero (como 3,5 en un dado)

Por qué está mal: El valor esperado es un promedio teórico, no un resultado real. No puedes obtener 3,5, pero en muchos lanzamientos, tu promedio se acercará a 3,5.

Correcto: Entiende que el valor esperado representa el promedio a largo plazo, no un resultado específico que obtendrás.

Usar probabilidades iguales cuando los resultados no son igualmente probables

Por qué está mal: Una moneda sesgada o un dado trucado tiene diferentes probabilidades para cada resultado.

Correcto: Siempre verifica si los resultados son igualmente probables. Usa la probabilidad real para cada resultado.

Olvidar restar los costos al calcular el beneficio esperado

Por qué está mal: ¡Ganar 10 euros no es beneficio si pagaste 15 euros para jugar!

Correcto: E(beneficio)=E(ganancias)−costoE(\text{beneficio}) = E(\text{ganancias}) - \text{costo}

Sumar probabilidades en lugar de multiplicar el resultado por la probabilidad

Por qué está mal: La fórmula es x⋅P(x)x \cdot P(x), no x+P(x)x + P(x).

Correcto: Cada resultado debe multiplicarse por su probabilidad, luego suma todos los productos.

Por qué es importante

El valor esperado es uno de los conceptos más poderosos en probabilidad y estadística:
  • Juegos de casino: Los casinos fijan los pagos para que el valor esperado favorezca a la casa
  • Seguros: Las compañías calculan los pagos esperados para fijar los precios de las primas
  • Inversiones: Los inversores comparan los rendimientos esperados para tomar decisiones
  • Teoría de juegos: El valor esperado ayuda a determinar estrategias óptimas
  • Control de calidad: Los fabricantes predicen tasas promedio de defectos
¡Entender el valor esperado te ayuda a tomar decisiones racionales cuando los resultados son inciertos!

Aplicaciones del mundo real

Juegos de casino y ventaja de la casa

Los casinos diseñan juegos para que el valor esperado siempre favorezca a la casa. En la ruleta, la ventaja de la casa significa que los jugadores pierden aproximadamente el 2,7% (europea) o el 5,3% (americana) de sus apuestas en promedio.

Ejemplo:

En la ruleta europea, apostar 10 euros al rojo da: E=10⋅1837+(−10)⋅1937≈−0,27E = 10 \cdot \frac{18}{37} + (-10) \cdot \frac{19}{37} \approx -0{,}27 euros. Pierdes 27 céntimos en promedio por apuesta de 10 euros.

1Inténtalo tú mismo

Un juego paga 35 veces tu apuesta si adivinas el número exacto en una ruleta (37 números en total). Apuestas 1 euro.

¿Cuál es el valor esperado de esta apuesta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula: E=35⋅137+(−1)⋅3637E = 35 \cdot \frac{1}{37} + (-1) \cdot \frac{36}{37}

Decisiones de inversión

Los inversores usan el valor esperado para comparar diferentes opciones de inversión ponderando los rendimientos potenciales contra sus probabilidades.

Ejemplo:

La acción A tiene un 60% de probabilidad de ganar 20% y un 40% de probabilidad de perder 10%. E(rendimiento)=0,20⋅0,60+(−0,10)⋅0,40=0,08=8%E(\text{rendimiento}) = 0{,}20 \cdot 0{,}60 + (-0{,}10) \cdot 0{,}40 = 0{,}08 = 8\% de rendimiento esperado.

2Inténtalo tú mismo

La inversión B tiene un 30% de probabilidad de ganar 50% y un 70% de probabilidad de ganar 5%.

¿Cuál es el rendimiento esperado de la inversión B?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula: E=0,50⋅0,30+0,05⋅0,70E = 0{,}50 \cdot 0{,}30 + 0{,}05 \cdot 0{,}70

Estrategia de concurso de televisión

Los concursantes de programas de televisión usan el valor esperado para decidir si quedarse con un premio garantizado o arriesgarlo por una oportunidad de obtener más.

Ejemplo:

Has ganado 1000 euros. Puedes quedártelos o lanzar una moneda: cara gana 2500 euros, cruz no gana nada. E(lanzar)=2500⋅0,5+0⋅0,5=1250E(\text{lanzar}) = 2500 \cdot 0{,}5 + 0 \cdot 0{,}5 = 1250 euros. ¡Matemáticamente, deberías lanzar!

3Inténtalo tú mismo

Has ganado 500 euros. Puedes quedártelos O girar una ruleta: 25% de probabilidad de ganar 3000 euros, 75% de probabilidad de ganar 0 euros.

¿Qué deberías hacer según el valor esperado?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula: E(girar)=3000⋅0,25+0⋅0,75E(\text{girar}) = 3000 \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}75

Puntos clave

  • 1El valor esperado E(X)E(X) es el promedio a largo plazo de un experimento aleatorio repetido muchas veces
  • 2Fórmula: E(X)=∑xi⋅P(xi)E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) (suma de cada resultado por su probabilidad)
  • 3El valor esperado puede ser un número que nunca puedes obtener realmente (como 3,5 en un dado)
  • 4Un valor esperado positivo significa que ganas en promedio; negativo significa que pierdes
  • 5Para encontrar el beneficio esperado, resta los costos de las ganancias esperadas

Preguntas frecuentes

¿Por qué el valor esperado de un dado es 3,5 si nunca puedo obtener 3,5?

El valor esperado es el promedio sobre muchas pruebas, no un resultado único. Si lanzas un dado 1000 veces y calculas el promedio, obtendrás muy cerca de 3,5. Es el centro teórico de la distribución.

¿Cuál es la diferencia entre el valor esperado y la moda o la mediana?

El valor esperado (media) pondera los resultados por su probabilidad. La moda es el resultado más probable, y la mediana es el valor central. Para un dado justo: media = 3,5, moda = ninguna (todos igualmente probables), mediana = 3,5.

¿Puede el valor esperado ser negativo?

¡Sí! Si las pérdidas superan las ganancias en promedio, el valor esperado es negativo. La mayoría de los juegos de azar tienen un valor esperado negativo para los jugadores, por eso los casinos son rentables.

¿Debería siempre elegir la opción con el valor esperado más alto?

No necesariamente. El valor esperado ignora la tolerancia al riesgo. ¿Apostarías todos tus ahorros en un lanzamiento de moneda que los duplica o los pierde? El valor esperado es positivo, pero la mayoría de la gente no tomaría ese riesgo.

Glosario

Valor esperado
El promedio a largo plazo de un experimento aleatorio, calculado como la suma de cada resultado por su probabilidad. Notación: E(X)E(X)
Variable aleatoria
Una variable cuyo valor depende del resultado de un evento aleatorio
Distribución de probabilidad
Una lista de todos los resultados posibles y sus probabilidades
Promedio ponderado
Un promedio donde algunos valores contribuyen más que otros, según sus pesos (aquí, probabilidades)
Ventaja de la casa
El beneficio esperado del casino como porcentaje de cada apuesta

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