Probabilidades con la distribución normal

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Las notas de un test siguen una distribución normal con $\mu = 60$ y $\sigma = 10$ . ¿Qué expresión da la puntuación z de una nota de 75?
1. a) $\frac{75 - 60}{10^2}$
2. b) $\frac{75 - 10}{60}$
3. c) $\frac{75 - 60}{10}$
4. d) $\frac{60 - 75}{10}$
Respuesta: $\frac{75 - 60}{10}$
$z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{75 - 60}{10} = 1{,}5$ . Las otras expresiones invierten el orden, confunden los números o dividen por la varianza.
2.
La estatura de los hombres adultos sigue una distribución normal con $\mu = 170$ cm y $\sigma = 8$ cm. ¿Cuál es la puntuación z de un hombre que mide 182 cm?
Respuesta: 1.5
$z = \frac{182 - 170}{8} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ : está 1,5 desviaciones estándar por encima de la media.
3.
La tabla da $P(Z < 1) = 0{,}8413$ . ¿Cuánto vale $P(Z > 1)$ ?
1. a)0,1587
2. b)0,8413
3. c)0,3413
4. d)0,6587
Respuesta: 0,1587
$P(Z > 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$ . El valor 0,8413 es el área a la izquierda y 0,3413 es el área entre 0 y 1.
4.
Las manzanas de un huerto pesan $\mu = 150$ g con $\sigma = 20$ g, según una distribución normal. Usa $P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915$ . ¿Qué proporción de manzanas pesa menos de 160 g? Da un número decimal.
Respuesta: 0.6915
$z = \frac{160 - 150}{20} = 0{,}5$ . Un área a la izquierda se lee directamente: $P(X < 160) = P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915$ , aproximadamente el 69,15 % de las manzanas.
5.
Las notas de un examen siguen una distribución normal con $\mu = 72$ y $\sigma = 6$ . La tabla da $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ . Calcula $P(X < 81)$ .
Respuesta: 0.9332
1. ¿Cuánto es $81 - 72$ ? 9
2. Divide entre $\sigma = 6$ . ¿Cuál es la puntuación z? 1.5
3. ¿Cuánto vale $P(X < 81)$ como decimal? 0.9332
4. ¿Qué porcentaje de alumnos saca menos de 81? 93.32
6.
Los tiempos de entrega de pizzas siguen una distribución normal con $\mu = 30$ min y $\sigma = 5$ min. La tabla da $P(Z < 2) = 0{,}9772$ . Calcula la probabilidad de que una entrega tarde más de 40 minutos.
Respuesta: 0.0228
1. ¿Cuál es la puntuación z de 40 minutos? 2
2. ¿Cuánto vale el área a la izquierda $P(Z < 2)$ ? 0.9772
3. ¿Cuánto vale $P(X > 40)$ ? 0.0228
7.
Unas botellas se llenan con $\mu = 500$ mL y $\sigma = 5$ mL, según una distribución normal. Con $P(Z < 2) = 0{,}9772$ y $P(Z < -1) = 0{,}1587$ , ¿cuánto vale $P(495 < X < 510)$ ?
1. a)0,8185
2. b)1,1359
3. c)0,9772
4. d)0,1587
Respuesta: 0,8185
$P(495 < X < 510) = P(Z < 2) - P(Z < -1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ . Sumar los dos valores da más de 1, algo imposible para una probabilidad.
8.
La batería de un portátil dura $\mu = 8$ horas con $\sigma = 0{,}8$ horas, según una distribución normal. Usa $P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944$ . ¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más de 9 horas? Da un número decimal.
Respuesta: 0.1056
$z = \frac{9 - 8}{0{,}8} = 1{,}25$ , así que $P(X > 9) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$ , aproximadamente el 10,56 % de las baterías.
9.
La estatura de las mujeres sigue una distribución normal con $\mu = 165$ cm y $\sigma = 6$ cm. La tabla da $P(Z < 1) = 0{,}8413$ y $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ . Calcula $P(156 < X < 171)$ .
Respuesta: 0.7745
1. ¿Cuál es la puntuación z de 156 cm? -1.5
2. ¿Cuál es la puntuación z de 171 cm? 1
3. ¿Cuánto vale $P(156 < X < 171)$ ? 0.7745
10.
Las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con $\mu = 100$ y $\sigma = 15$ . Halla el percentil 90.
Respuesta: 119.2
1. ¿Qué puntuación z deja un área de 0,90 a su izquierda? 1.28
2. ¿Cuánto es $1{,}28 \times 15$ ? 19.2
3. ¿Cuál es el percentil 90, $x = 100 + 19{,}2$ ? 119.2
11.
Para la estatura de las mujeres ( $\mu = 165$ cm, $\sigma = 6$ cm) obtuvimos $P(X < 174) = 0{,}9332$ . ¿Qué significa?
1. a)Aproximadamente el 93,32 % de las mujeres mide exactamente 174 cm
2. b)Aproximadamente el 93,32 % de las mujeres mide menos de 174 cm
3. c)174 cm es el 93,32 % de la estatura media
4. d)Aproximadamente el 93,32 % de las mujeres mide más de 174 cm
Respuesta: Aproximadamente el 93,32 % de las mujeres mide menos de 174 cm
Una probabilidad bajo la curva normal es una proporción de la población: el 93,32 % de las mujeres mide menos de 174 cm, así que solo el 6,68 % es más alta.
12.
Las notas de un examen siguen una distribución normal con $\mu = 70$ y $\sigma = 8$ . La tabla da $P(Z < 0{,}5) = 0{,}6915$ . ¿Qué proporción de alumnos saca entre 66 y 74? Da un número decimal.
Respuesta: 0.383
$z = \pm 0{,}5$ . $P(Z < -0{,}5) = 1 - 0{,}6915 = 0{,}3085$ , así que $P(66 < X < 74) = 0{,}6915 - 0{,}3085 = 0{,}383$ , aproximadamente el 38,3 %.
13.
Una fábrica produce 1000 bombillas. Su duración sigue una distribución normal con $\mu = 1200$ horas y $\sigma = 100$ horas. La tabla da $P(Z < 2) = 0{,}9772$ . ¿Aproximadamente cuántas bombillas duran más de 1400 horas?
Respuesta: 23
1. ¿Cuál es la puntuación z de 1400 horas? 2
2. ¿Cuánto vale $P(X > 1400)$ ? 0.0228
3. ¿Cuánto es $0{,}0228 \times 1000$ ? 22.8
4. Redondea a un número entero de bombillas. 23
14.
Una máquina llena botellas con $\mu = 500$ mL y $\sigma = 4$ mL. Se rechaza el 5 % de botellas con menos líquido. Halla el volumen de corte por debajo del cual se rechaza una botella.
Respuesta: 493.42
1. ¿Qué puntuación z deja un área de 0,05 a su izquierda? -1.645
2. ¿Cuánto es $-1{,}645 \times 4$ ? -6.58
3. ¿Cuál es el corte $x = 500 + (-6{,}58)$ en mL? 493.42
15.
La estatura de los hombres sigue una distribución normal con $\mu = 175$ cm y $\sigma = 7$ cm. Con $z \approx 1{,}28$ para el percentil 90, ¿qué estatura marca el 10 % más alto?
1. a)166,04 cm
2. b)175,7 cm
3. c)182 cm
4. d)183,96 cm
Respuesta: 183,96 cm
$x = 175 + 1{,}28 \times 7 = 175 + 8{,}96 = 183{,}96$ cm. 166,04 cm es el percentil 10 (cola equivocada), 182 cm es solo $\mu + \sigma$ y 175,7 cm trata el 10 % como $0{,}1\sigma$ .
16.
La batería de un móvil dura $\mu = 20$ horas con $\sigma = 2$ horas, según una distribución normal. La tabla da $P(Z < -0{,}67) = 0{,}2514$ . ¿Cuántas horas dura como mínimo el 75 % de las baterías? Da la respuesta con dos decimales.
Respuesta: 18.66
Un 75 % por encima del valor significa 0,25 por debajo, así que $z \approx -0{,}67$ (valor de la tabla 0,2514). $x = 20 + (-0{,}67) \times 2 = 20 - 1{,}34 = 18{,}66$ horas.
17.
Un almacén envía 4000 paquetes al día. Su peso sigue una distribución normal con $\mu = 250$ g y $\sigma = 10$ g. La tabla da $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ y $P(Z < -1) = 0{,}1587$ . ¿Aproximadamente cuántos paquetes pesan entre 240 g y 265 g?
Respuesta: 3098
1. ¿Cuál es la puntuación z de 240 g? -1
2. ¿Cuál es la puntuación z de 265 g? 1.5
3. ¿Cuánto vale $P(240 < X < 265)$ ? 0.7745
4. ¿Cuántos de los 4000 paquetes son? 3098
18.
Una empresa de cereales llena cajas con $\sigma = 6$ g. La etiqueta dice 500 g y solo el 2,5 % de las cajas puede contener menos. ¿A qué media $\mu$ hay que ajustar la máquina?
Respuesta: 511.76
1. ¿Qué puntuación z deja un área de 0,025 a su izquierda? -1.96
2. ¿Cuántos gramos son $1{,}96\sigma$ , es decir, $1{,}96 \times 6$ ? 11.76
3. 500 g está 11,76 g por debajo de la media. ¿Cuánto vale $\mu$ ? 511.76