Guía del profesor: Probabilidades con la distribución normal

Calcula probabilidades y percentiles de datos normales en unidades reales: tipifica, lee la tabla de la normal y trabaja hacia atrás hasta los puntos de corte.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Distribuciones de probabilidad. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Calcular $P(X < a)$ , $P(X > a)$ y $P(a < X < b)$ para una variable normal en unidades reales
Tipificar valores y leer áreas a la izquierda en la tabla de la normal
Resolver problemas inversos: hallar el valor de un percentil o punto de corte con $x = \mu + z\sigma$
Interpretar probabilidades como proporciones y recuentos de una población

Requisitos previos

• Introducción a la distribución normal: media, desviación estándar y campana de Gauss
• Puntuaciones z: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
• Distribución normal estándar: leer la tabla de la normal
• Porcentajes y decimales

Iniciadores de discusión

1. Antes de calcular, ¿cómo te puede decir un dibujo si el resultado está por encima o por debajo de 0,5?
2. ¿Por qué basta una sola tabla para cualquier distribución normal, sean cuales sean la media y la desviación estándar?
3. Un fabricante promete que el 90 % de sus baterías dura al menos 18 horas. ¿Cómo pudo obtener ese número?
4. Si el 10 % superior recibe un diploma, ¿por qué el corte no está simplemente un 10 % por encima de la media?
5. ¿Qué significa que una medida tenga una puntuación z de 4?

Conceptos erróneos comunes

El valor de la tabla siempre es la respuesta

Remediación: Exige un dibujo en cada problema. Pregunta: ¿la región sombreada es el lado izquierdo? Si no, ¿qué hay que hacer con el valor de la tabla?

El área entre dos valores se obtiene con la diferencia de las puntuaciones z

Remediación: Usa la visualización: arrastra los dos límites y compara el área con $P(Z < z_2 - z_1)$ . Muestra que la región de -1 a 2 no es la misma que la región a la izquierda de 3.

Un percentil y una puntuación z son el mismo número

Remediación: Compara el percentil 90 (un área de 0,90) con su puntuación z (1,28) y su valor original (80,24 puntos). Trabaja con tres columnas: área, z, x.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar solo con áreas a la izquierda y puntuaciones z enteras
• Dar una plantilla: dibujo, z, tabla, ajuste
• Incluir los valores de la tabla en el enunciado para que se centren en tipificar y ajustar

Para estudiantes de nivel:

• Mezclar áreas a la izquierda, a la derecha y entre valores en distintas unidades reales
• Convertir probabilidades en recuentos para una población dada
• Resolver problemas inversos para los porcentajes superiores e inferiores

Para estudiantes avanzados:

• Hallar la media a la que hay que ajustar una máquina para que solo el 2,5 % de los productos quede por debajo de un límite
• Hallar la desviación estándar a partir de la media y un percentil conocido
• Comparar la regla 68-95-99,7 con los valores exactos de la tabla

Alineación con estándares

HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Usar la media y la desviación estándar de un conjunto de datos para ajustarlo a una distribución normal y estimar porcentajes de la población; usar calculadoras, hojas de cálculo y tablas para estimar áreas bajo la curva normal
MP4 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP4)
Modelizar con matemáticas

Recursos de la lección

visualCurva normal interactiva
Los alumnos arrastran los límites en unidades reales y ven cómo cambian las puntuaciones z y el área sombreada
activityCaza de percentiles
En el modo inverso, los alumnos buscan la puntuación z de un área objetivo y la convierten en una nota de corte
worksheetCuatro regiones, una tabla
Problemas variados con áreas a la izquierda, a la derecha, entre valores y preguntas inversas en distintas unidades

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Las probabilidades con la distribución normal responden a preguntas como "¿Qué proporción de botellas contiene menos de 494 mL?" cuando una magnitud

X

sigue una distribución normal con media

\mu

y desviación estándar (desviación típica)

\sigma

, medida en unidades reales (cm, puntos, horas, mL).

La probabilidad es el área bajo la curva de campana sobre los valores por los que preguntas. Cualquier curva normal se convierte en la de la distribución normal estándar con un solo paso, así que solo necesitas una tabla.

El método de cuatro pasos

1.Dibuja y sombrea la región: a la izquierda de $a$ , a la derecha de $a$ o entre $a$ y $b$ .
2.Tipifica: convierte cada valor en una puntuación z

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

3.Lee la tabla de la normal: da el área a la izquierda de $z$ , es decir, $P(Z < z)$ (consulta la lección sobre la distribución normal estándar).
4.Ajusta según la región:

Izquierda: $P(X < a) = P(Z < z_a)$
Derecha: $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$
Entre dos valores: $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$

Hacia atrás: percentiles y puntos de corte

A veces el área es el dato y lo que falta es el valor ("¿Qué nota marca el 10 % superior?"). Busca en la tabla el

z

cuya área a la izquierda coincide y vuelve a las unidades reales:

x = \mu + z\sigma

Una probabilidad de

0{,}9332

también significa el 93,32 % de la población, así que cada resultado se puede leer como una proporción de personas, botellas o baterías.

Ejemplos resueltos

La estatura de las mujeres de un país sigue una distribución normal con

\mu = 165

cm y

\sigma = 6

cm. ¿Qué proporción de mujeres mide menos de 174 cm?

Dibuja y sombrea

Sombrea el área a la izquierda de 174 cm, que está a la derecha de la media 165 cm → El resultado debe ser mayor que 0,5

Tipifica

z = \frac{174 - 165}{6} = \frac{9}{6}

→

z = 1{,}5

Lee la tabla

Fila 1,5, columna 0,00 →

P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332

Interpreta

Un área a la izquierda no necesita ajuste →

P(X < 174) = 0{,}9332

Respuesta: $P(X < 174) = 0{,}9332$ : aproximadamente el 93,32 % de las mujeres mide menos de 174 cm.

Errores comunes

Usar directamente el valor de la tabla en una pregunta de "mayor que", por ejemplo $P(X > 14) = 0{,}8944$

Por qué está mal: La tabla siempre da el área a la IZQUIERDA de $z$ . La cola derecha es todo lo demás.

Correcto: Resta de 1: $P(X > 14) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$ . Un dibujo rápido muestra que la cola derecha es pequeña, así que 0,8944 no puede ser correcto.

Restar primero las puntuaciones z: $P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2 - (-1)) = P(Z < 3)$

Por qué está mal: Las áreas bajo una curva no funcionan así. Necesitas el área hasta cada límite y después la diferencia de esas áreas.

Correcto: Busca las dos áreas a la izquierda y réstalas: $0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ .

Tipificar en el orden equivocado o dividir por el número equivocado: $z = \frac{\mu - x}{\sigma}$ o $z = \frac{x - \mu}{\sigma^2}$

Por qué está mal: Si inviertes la resta, cambia el signo y acabas en el lado equivocado de la media. Si divides por la varianza, la distancia es incorrecta.

Correcto: Siempre $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ : los valores por encima de la media tienen $z$ positivo y los de debajo, $z$ negativo.

En problemas inversos, usar el porcentaje como puntuación z (z = 0,90) o elegir la cola equivocada (z = -1,28 para el 10 % superior)

Por qué está mal: El porcentaje es un ÁREA, que se busca dentro de la tabla. La puntuación z se lee en los bordes de filas y columnas.

Correcto: El 10 % superior significa 0,90 a la izquierda, lo que da $z \approx 1{,}28$ (positivo, por encima de la media). El 10 % inferior da $z \approx -1{,}28$ .

Por qué es importante

Las probabilidades de la normal convierten una media y una desviación estándar en decisiones concretas:

Fabricación: qué parte de las botellas está por debajo de lo indicado, y cómo ajustar la máquina para que casi no haya ninguna
Salud: los pediatras comparan la estatura o el peso de un niño con las tablas de crecimiento, que son percentiles de una distribución normal
Educación: los tribunales de examen fijan la nota del 10 % superior o deciden cuántos alumnos aprueban
Productos: una empresa solo puede prometer "el 90 % de las baterías dura al menos 18 horas" después de este cálculo
Deporte y ciencia: saber si un resultado es raro es preguntarse cuánta área queda más allá de él

Los mismos cuatro pasos resuelven todas estas preguntas, sean cuales sean las unidades.

Aplicaciones del mundo real

Control de calidad: latas con poco líquido

Las fábricas de bebidas comprueban qué parte de las latas queda por debajo de la cantidad de la etiqueta y ajustan las máquinas de llenado.

Ejemplo:

Una línea llena latas con $\mu = 330$ mL y $\sigma = 2$ mL. Cualquier lata por debajo de 327 mL se marca como insuficiente.

1Inténtalo tú mismo

Las latas se llenan con $\mu = 330$ mL y $\sigma = 2$ mL, según una distribución normal. La tabla da $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ .

¿Qué proporción de latas contiene menos de 327 mL? Da un número decimal.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Tipifica 327 mL y lee el área a la izquierda:

Tablas de crecimiento en el pediatra

Los pediatras comparan a los bebés con las tablas de crecimiento. Cada curva de la tabla es un percentil de una distribución normal.

Ejemplo:

En un estudio, el peso de los bebés de 6 meses es aproximadamente normal con $\mu = 8$ kg y $\sigma = 0{,}5$ kg. Un bebé por debajo del percentil 10 recibe una revisión adicional.

2Inténtalo tú mismo

Peso a los 6 meses: $\mu = 8$ kg, $\sigma = 0{,}5$ kg. La tabla muestra que $z \approx -1{,}28$ deja un 10 % del área a su izquierda.

¿Por debajo de qué peso (en kg) está un bebé en el 10 % más bajo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $x = \mu + z\sigma$ :

Organizar un maratón urbano

Los organizadores estiman cuántos corredores habrá en el recorrido en cada momento para planificar avituallamientos y voluntarios.

Ejemplo:

Los tiempos de llegada son aproximadamente normales con $\mu = 240$ minutos y $\sigma = 30$ minutos. La organización quiere saber qué parte de los corredores llega entre 225 y 285 minutos.

3Inténtalo tú mismo

Tiempos de llegada: $\mu = 240$ min, $\sigma = 30$ min. Valores de la tabla: $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ y $P(Z < -0{,}5) = 0{,}3085$ .

¿Qué proporción de corredores llega entre 225 y 285 minutos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resta las dos áreas a la izquierda:

Puntos clave

1Para una probabilidad normal, dibuja la región, tipifica con $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ , lee la tabla de la normal y ajusta
2La tabla da el área a la IZQUIERDA: $P(X < a) = P(Z < z_a)$
3Cola derecha: $P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)$
4Entre dos valores: $P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)$
5Problemas inversos: busca $z$ para el área dada dentro de la tabla y luego $x = \mu + z\sigma$ (el 10 % superior es $z \approx 1{,}28$ )
6Una probabilidad es también una proporción de la población: $0{,}0668$ de 2000 botellas son unas 134 botellas

Preguntas frecuentes

¿Es distinto $P(X < 174)$ de $P(X \le 174)$ ?

No. En una variable continua un valor aislado tiene probabilidad 0, así que

<

\le

dan la misma área. Es distinto en la distribución binomial, donde sí importa.

Mi puntuación z tiene tres decimales, como 1,645. ¿Qué hago?

Redondea a dos decimales para la tabla o toma un valor entre las dos entradas vecinas. Para

z = 1{,}645

, las áreas 0,9495 y 0,9505 están igual de cerca, así que 0,95 es una buena respuesta.

¿Y si la puntuación z se sale de la tabla, como $z = 4$ ?

Las tablas suelen terminar hacia 3,49. Más allá, el área a la izquierda es prácticamente 1 (para z grande y positivo) o prácticamente 0 (para z grande y negativo). Esos valores son rarísimos.

¿Por qué un percentil corresponde al área a la izquierda?

El percentil 90 es el valor que deja por debajo al 90 % de la población. "Por debajo" es el lado izquierdo de la curva, justo lo que mide la tabla.

Glosario

Tipificar: Convertir un valor $x$ en puntuación z con $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ para poder usar la tabla de la normal estándar
Tabla de la normal (tabla z): Tabla de la distribución normal estándar: para cada $z$ da el área a la izquierda, $P(Z < z)$
Cola izquierda / cola derecha: El área bajo la curva normal por debajo de un valor (izquierda) o por encima de un valor (derecha)
Suceso complementario: $P(X > a) = 1 - P(X < a)$ , porque el área total bajo la curva es 1
Percentil: El valor que deja por debajo un porcentaje dado de la población, por ejemplo el percentil 90
Punto de corte: El valor $x = \mu + z\sigma$ que separa un área dada, por ejemplo el 10 % superior

Tarjeta de fórmulas

Tipificar

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

De unidades reales a puntuación z

Área a la izquierda

P(X < a) = P(Z < z_a)

Se lee directamente en la tabla

Área a la derecha

P(X > a) = 1 - P(Z < z_a)

Complementario del valor de la tabla

Área entre dos valores

P(a < X < b) = P(Z < z_b) - P(Z < z_a)

Diferencia de dos áreas a la izquierda

Punto de corte

x = \mu + z\sigma

De la puntuación z a las unidades reales (percentiles)

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

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Definición

El método de cuatro pasos

Hacia atrás: percentiles y puntos de corte

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Control de calidad: latas con poco líquido

Tablas de crecimiento en el pediatra

Organizar un maratón urbano

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Tipificar

Área a la izquierda

Área a la derecha

Área entre dos valores

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