Distribución normal estándar

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué media y qué desviación estándar tiene la distribución normal estándar $N(0, 1)$ ?
1. a) $\mu = 1$ , $\sigma = 0$
2. b) $\mu = 0$ , $\sigma = 1$
3. c) $\mu = 1$ , $\sigma = 1$
4. d) $\mu = 0$ , $\sigma = 0$
Respuesta: $\mu = 0$ , $\sigma = 1$
La distribución normal estándar está centrada en $\mu = 0$ y tiene dispersión $\sigma = 1$ . Por eso un valor de $Z$ es directamente un número de desviaciones estándar desde la media.
2.
La tabla z da $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ . Halla $P(Z > 0{,}5)$ .
Respuesta: 0.3085
$P(Z > 0{,}5) = 1 - \Phi(0{,}5) = 1 - 0{,}6915 = 0{,}3085$ .
3.
Lee $P(Z \le 1{,}28)$ en la tabla z. Fragmento: la fila $1{,}2$ tiene $0{,}8980$ en la columna $0{,}07$ , $0{,}8997$ en la columna $0{,}08$ y $0{,}9015$ en la columna $0{,}09$ .
Respuesta: 0.8997
1. ¿Qué fila usas (z con un decimal)? 1.2
2. ¿Qué columna usas (el segundo decimal)? 0.08
3. ¿Qué valor lees? 0.8997
4.
La tabla z muestra $0{,}8413$ para $z = 1$ . ¿Qué significa este número?
1. a)La altura de la curva en $z = 1$
2. b)El área a la izquierda de $z = 1$
3. c)El área entre $-1$ y $1$
4. d)El área a la derecha de $z = 1$
Respuesta: El área a la izquierda de $z = 1$
La tabla da el área acumulada a la izquierda: $\Phi(1) = P(Z \le 1) = 0{,}8413$ . El área a la derecha de $z = 1$ es $1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$ .
5.
Halla $P(Z < 0)$ para la variable normal estándar $Z$ . Da un número decimal.
Respuesta: 0.5
La curva es simétrica respecto a la media 0, así que exactamente la mitad del área está a la izquierda: $\Phi(0) = 0{,}5$ .
6.
Halla $P(Z > 2)$ . La tabla z da $\Phi(2) = 0{,}9772$ .
Respuesta: 0.0228
1. ¿Cuál es el área a la izquierda de $z = 2$ ? 0.9772
2. ¿Cuánto es $1 - 0{,}9772$ ? 0.0228
7.
La tabla da $\Phi(1{,}2) = 0{,}8849$ . ¿Qué expresión es igual a $P(Z < -1{,}2)$ ?
1. a) $-0{,}8849$
2. b) $1 - 0{,}8849$
3. c) $0{,}8849 - 0{,}5$
4. d) $0{,}8849$
Respuesta: $1 - 0{,}8849$
Por simetría $\Phi(-1{,}2) = 1 - \Phi(1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151$ . Un área no puede ser negativa, y $0{,}8849$ sería más de la mitad de la curva a la izquierda de un $z$ negativo.
8.
Halla $P(Z < -0{,}25)$ usando la simetría. La tabla da $\Phi(0{,}25) = 0{,}5987$ .
Respuesta: 0.4013
1. Por simetría $P(Z < -0{,}25) = P(Z > 0{,}25)$ . ¿Cuánto vale $\Phi(0{,}25)$ ? 0.5987
2. ¿Cuánto es $1 - 0{,}5987$ ? 0.4013
9.
La tabla da $\Phi(1{,}75) = 0{,}9599$ . Halla $P(Z < -1{,}75)$ .
Respuesta: 0.0401
$\Phi(-1{,}75) = 1 - \Phi(1{,}75) = 1 - 0{,}9599 = 0{,}0401$ .
10.
Halla $P(0{,}5 < Z < 1{,}5)$ . Tabla: $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ , $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$ .
Respuesta: 0.2417
1. ¿Cuál es el área a la izquierda hasta el límite superior, $\Phi(1{,}5)$ ? 0.9332
2. ¿Cuál es el área a la izquierda hasta el límite inferior, $\Phi(0{,}5)$ ? 0.6915
3. ¿Cuánto es $0{,}9332 - 0{,}6915$ ? 0.2417
11.
Un compañero calculó $P(-2 < Z < 2)$ con la tabla z. ¿Qué resultado supera la comprobación 68-95-99,7?
1. a) $0{,}4772$
2. b) $0{,}9974$
3. c) $0{,}9544$
4. d) $0{,}6826$
Respuesta: $0{,}9544$
Dentro de $\pm 2$ desviaciones estándar queda cerca del 95 %. La tabla da $\Phi(2) - \Phi(-2) = 0{,}9772 - 0{,}0228 = 0{,}9544$ . $0{,}6826$ corresponde a $\pm 1$ , $0{,}9974$ a $\pm 3$ , y $0{,}4772$ es solo la mitad de 0 a 2.
12.
Halla $P(-1 < Z < 1)$ con el valor de la tabla $\Phi(1) = 0{,}8413$ y compáralo con la regla 68-95-99,7.
Respuesta: 0.6826
1. ¿Cuánto vale $\Phi(-1) = 1 - 0{,}8413$ ? 0.1587
2. ¿Cuánto es $0{,}8413 - 0{,}1587$ ? 0.6826
3. Redondea tu resultado a un porcentaje entero. ¿Qué porcentaje es? 68
13.
$X$ es normal con $\mu = 40$ y $\sigma = 4$ . Tipifica $x = 47$ : ¿cuánto vale $z$ ?
Respuesta: 1.75
$z = \frac{47 - 40}{4} = \frac{7}{4} = 1{,}75$ . El valor 47 está 1,75 desviaciones estándar por encima de la media.
14.
$X$ es normal con $\mu = 100$ y $\sigma = 15$ . Halla $P(X < 118)$ . Tabla: $\Phi(1{,}2) = 0{,}8849$ , $\Phi(1{,}8) = 0{,}9641$ .
Respuesta: 0.8849
1. ¿Cuánto es $x - \mu = 118 - 100$ ? 18
2. ¿Cuánto vale $z = 18 / 15$ ? 1.2
3. ¿Cuánto vale $P(Z < 1{,}2)$ ? 0.8849
15.
$X$ es normal con $\mu = 70$ y $\sigma = 5$ . La tabla da $\Phi(1{,}6) = 0{,}9452$ . ¿Qué línea es correcta para $P(X > 78)$ ?
1. a) $z = 8$ , área $0$
2. b) $z = -1{,}6$ , área $0{,}0548$
3. c) $z = 1{,}6$ , área $0{,}0548$
4. d) $z = 1{,}6$ , área $0{,}9452$
Respuesta: $z = 1{,}6$ , área $0{,}0548$
$z = \frac{78 - 70}{5} = 1{,}6$ . Se pide un área a la derecha: $1 - 0{,}9452 = 0{,}0548$ . $0{,}9452$ es el área a la izquierda, $z = -1{,}6$ tiene el signo equivocado y $z = 8$ olvida dividir entre $\sigma$ .
16.
$X$ es normal con $\mu = 20$ y $\sigma = 2$ . Halla $P(19 < X < 24)$ . Tabla: $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ , $\Phi(2) = 0{,}9772$ .
Respuesta: 0.6687
1. Tipifica el límite inferior: ¿ $z_1 = (19 - 20) / 2$ ? -0.5
2. Tipifica el límite superior: ¿ $z_2 = (24 - 20) / 2$ ? 2
3. ¿Cuánto vale $\Phi(-0{,}5) = 1 - 0{,}6915$ ? 0.3085
4. ¿Cuánto es $0{,}9772 - 0{,}3085$ ? 0.6687
17.
La tabla da $\Phi(1{,}96) = 0{,}975$ . Halla $P(-1{,}96 < Z < 1{,}96)$ .
Respuesta: 0.95
$\Phi(-1{,}96) = 1 - 0{,}975 = 0{,}025$ , así que $P(-1{,}96 < Z < 1{,}96) = 0{,}975 - 0{,}025 = 0{,}95$ . Por eso $\pm 1{,}96$ aparece en los intervalos de confianza del 95 %.
18.
Halla el área fuera de $\pm 1{,}1$ : $P(Z < -1{,}1 \text{ o } Z > 1{,}1)$ . Tabla: $\Phi(1{,}1) = 0{,}8643$ .
Respuesta: 0.2714
1. ¿Cuánto vale la cola derecha $P(Z > 1{,}1) = 1 - 0{,}8643$ ? 0.1357
2. Por simetría, ¿cuánto vale la cola izquierda $P(Z < -1{,}1)$ ? 0.1357
3. ¿Cuánto vale el área exterior total? 0.2714