Guía del profesor: Distribución normal estándar

Aprende la distribución normal estándar N(0, 1), cómo tipificar cualquier variable normal y cómo leer la tabla de la normal para áreas a la izquierda, a la derecha y entre dos valores.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Distribuciones de probabilidad. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Describir la distribución normal estándar N(0, 1) y su variable Z
Tipificar un valor de cualquier variable normal con z = (x - μ) / σ
Leer áreas acumuladas a la izquierda en la tabla z mediante fila y columna
Hallar áreas a la derecha y entre dos valores con 1 - Φ(z) y Φ(b) - Φ(a)
Usar la simetría para z negativos y comprobar los resultados con la regla 68-95-99,7

Requisitos previos

• Introducción a la distribución normal: la curva de campana, la media, la desviación estándar y la regla 68-95-99,7
• Puntuaciones z: calcular a cuántas desviaciones estándar está un valor de la media
• Números decimales y restar decimales de 1
• La probabilidad como número entre 0 y 1

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué es útil que cualquier distribución normal se pueda convertir en la misma curva?
2. La tabla da 0,9332 para z = 1,5. Sin calcular, ¿qué área queda más o menos a la derecha y por qué?
3. ¿Por qué Φ(0) tiene que valer exactamente 0,5?
4. ¿Cómo puede la regla 68-95-99,7 decirte que un resultado de la tabla está mal?

Conceptos erróneos comunes

El valor de la tabla es la probabilidad pedida, sea cual sea la región

Remediación: Pide que dibujen la curva y sombreen la región antes de cada lectura. Pregunta: ¿mi región está a la izquierda de z? Si no, ¿qué regla convierte el área a la izquierda en lo que necesito?

Una puntuación z negativa da una probabilidad negativa

Remediación: Muestra en la curva interactiva que al llevar z por debajo de 0 el área sombreada sigue siendo positiva, solo menor que la mitad. Relaciónalo con la simetría: la cola izquierda en -z es el reflejo de la cola derecha en z.

El área entre a y b es Φ(b - a)

Remediación: Compara P(1 < Z < 2) con Φ(1): una es una franja estrecha (0,1359), la otra casi toda la curva (0,8413). Sombrear las dos deja clara la diferencia.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con z positivos y áreas a la izquierda, y después añadir áreas a la derecha
• Dibujar y sombrear siempre antes de leer la tabla
• Dar una tabla reducida con solo las filas de 0,0 a 2,0

Para estudiantes de nivel:

• Mezclar áreas a la izquierda, a la derecha, entre dos valores y z negativos
• Tipificar primero valores originales sencillos y luego usar la tabla
• Comprobar cada resultado con la regla 68-95-99,7

Para estudiantes avanzados:

• Trabajar al revés: hallar z para un área a la izquierda dada (por ejemplo 0,975 da 1,96)
• Hallar el área exterior P(|Z| > z) y compararla con la regla 68-95-99,7
• Explicar por qué 1,96 y 2,58 aparecen tan a menudo en estadística

Alineación con estándares

HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Usar la media y la desviación estándar de un conjunto de datos para ajustarlo a una distribución normal y estimar porcentajes de la población; usar calculadoras, hojas de cálculo y tablas para estimar áreas bajo la curva normal
HSS-IC.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.B.4)
Usar datos de una encuesta por muestreo para estimar una media o proporción de la población; desarrollar un margen de error mediante simulaciones de muestreo aleatorio

Recursos de la lección

visualTabla z interactiva
Mover z sobre la curva y ver cómo se iluminan la fila y la columna correspondientes de la tabla
activitySombrear el área
Los alumnos dibujan áreas a la izquierda, a la derecha y entre dos valores antes de leer la tabla, y luego comparan con la curva interactiva
worksheetPráctica con la tabla z
Problemas de áreas a la izquierda, a la derecha, entre dos valores y con z negativo, cada uno con la comprobación 68-95-99,7

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La distribución normal estándar (o normal tipificada) es la distribución normal con media

\mu = 0

y desviación estándar (o desviación típica)

\sigma = 1

. Se escribe

N(0, 1)

y su variable se llama

Z

Tipificar

Toda variable normal

X

con media

\mu

y desviación estándar

\sigma

se convierte en la normal estándar cuando la tipificas:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

Por eso basta una sola tabla para todas las distribuciones normales: primero calculas

z

y luego lees el área.

La tabla z

La tabla de la normal (tabla z) da el área acumulada a la izquierda de

z

\Phi(z) = P(Z \le z)

La fila da

z

con un decimal (por ejemplo

1{,}2

) y la columna da el segundo decimal (por ejemplo

0{,}03

). Donde se cruzan lees

\Phi(1{,}23) = 0{,}8907

Tres reglas para cualquier área

**A la izquierda de $z$ **: se lee directamente, $P(Z < z) = \Phi(z)$
**A la derecha de $z$ **: el área total es 1, así que $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$
**Entre $a$ y $b$ **: $P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$

La curva es simétrica respecto a 0, por tanto

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

. En una variable continua,

P(Z < z)

P(Z \le z)

son el mismo número.

Ejemplos resueltos

Halla

P(Z \le 1{,}23)

para la variable normal estándar

Z

Divide $z$ en fila y columna

1{,}23 = 1{,}2 + 0{,}03

→ Fila

1{,}2

, columna

0{,}03

Lee el valor donde se cruzan la fila y la columna

Fila

1{,}2

, columna

0{,}03

0{,}8907

→

\Phi(1{,}23) = 0{,}8907

Comprueba que tiene sentido

z = 1{,}23

es un poco mayor que 1, y

\Phi(1) = 0{,}8413

→ Un valor algo mayor que

0{,}8413

es razonable

Respuesta: $P(Z \le 1{,}23) = 0{,}8907$ , es decir, cerca del 89,07 % del área está a la izquierda de $z = 1{,}23$ .

Errores comunes

Usar el valor de la tabla como área a la derecha: decir $P(Z > 1{,}5) = 0{,}9332$

Por qué está mal: La tabla z siempre da el área a la IZQUIERDA de $z$ . Un área de $0{,}9332$ a la derecha de un $z$ positivo es imposible, porque más de la mitad de la curva quedaría a su derecha.

Correcto: Para un área a la derecha resta de 1: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ .

Pensar que un $z$ negativo da un área negativa o la misma área: $\Phi(-0{,}75) = -0{,}7734$ o $0{,}7734$

Por qué está mal: Las áreas nunca son negativas. Un $z$ negativo está a la izquierda de la media, así que el área a su izquierda es menor que $0{,}5$ .

Correcto: Usa la simetría: $\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266$ .

Restar los valores de z en lugar de las áreas: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2 - (-1)) = \Phi(3)$

Por qué está mal: La tabla convierte valores de z en áreas. El área entre dos puntos es la diferencia de las dos áreas a la izquierda, no el área de la diferencia.

Correcto: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ .

Buscar el valor original en la tabla z: leer $P(X < 60)$ en la fila 60

Por qué está mal: La tabla solo sirve para $Z$ , con media 0 y desviación estándar 1. Un valor original hay que tipificarlo primero.

Correcto: Calcula primero $z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25$ y luego lee $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$ .

Por qué es importante

La normal estándar es la única curva a la que se reduce cualquier problema de la distribución normal:

Una tabla para todo: estaturas, notas de exámenes, tiempos de reacción y errores de medida tienen medias y dispersiones distintas, pero una vez tipificadas usan todas la misma tabla
Valores exactos en lugar de estimaciones: la regla 68-95-99,7 solo sirve para desviaciones estándar enteras; la tabla da el área para cualquier $z$ , como $z = 1{,}23$
Estadística y ciencia: los intervalos de confianza, los contrastes de hipótesis y los límites de tolerancia (como $\pm 1{,}96$ o $\pm 3$ ) se leen todos de la normal estándar
Una comprobación incorporada: si un resultado de la tabla está lejos de 68 %, 95 % o 99,7 % cuando debería estar cerca, sabes que algún paso está mal

En cuanto sepas leer la tabla z y usar las tres reglas de áreas, cualquier problema de la normal se vuelve una rutina corta.

Aplicaciones del mundo real

Control de calidad

Las fábricas tipifican cada medida y descartan las piezas que quedan demasiado lejos del valor objetivo, por ejemplo a más de 2 desviaciones estándar.

Ejemplo:

Una pieza con $z = -2{,}3$ está 2,3 desviaciones estándar por debajo de la longitud objetivo, así que se descarta.

1Inténtalo tú mismo

Los errores de una máquina, una vez tipificados, siguen la distribución normal estándar. Una pieza se descarta si $Z < -2$ o $Z > 2$ . Tabla: $\Phi(2) = 0{,}9772$ .

¿Qué proporción de piezas se descarta? Da un número decimal.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Dos colas iguales: $2 \times (1 - 0{,}9772)$

Notas de exámenes estandarizados

Algunos exámenes dan los resultados directamente como puntuaciones z, para que cada estudiante vea enseguida cuánto se aleja de la media.

Ejemplo:

Una puntuación de $z = 0$ es justo la media; $z = 1$ está una desviación estándar por encima de la media.

2Inténtalo tú mismo

Los resultados de un examen se dan como puntuaciones z y siguen la distribución normal estándar. Tabla: $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ .

¿Qué proporción de estudiantes tiene una puntuación z mayor que $0{,}5$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Área a la derecha: $1 - \Phi(0{,}5)$

Errores de la previsión del tiempo

Los meteorólogos comprueban cuánto fallan sus previsiones de temperatura. En una previsión bien calibrada, el error en °C puede seguir la distribución normal estándar: media 0, desviación estándar 1.

Ejemplo:

Un error de $-1{,}2$ °C significa que la temperatura real fue 1,2 grados más baja de lo previsto.

3Inténtalo tú mismo

Los errores de la previsión para el día siguiente (en °C) siguen la distribución normal estándar. Tabla: $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$ .

¿Cuál es la probabilidad de que una previsión falle por menos de 1,5 °C, es decir, $-1{,}5 < Z < 1{,}5$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Entre: $\Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5)$

Puntos clave

1La distribución normal estándar $N(0, 1)$ tiene media 0 y desviación estándar 1; su variable se llama $Z$
2Tipifica cualquier valor normal con $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ y usa después la única tabla z
3La tabla z da el área a la IZQUIERDA: $\Phi(z) = P(Z \le z)$ ; fila = primer decimal, columna = segundo decimal
4Área a la derecha: $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$ ; entre: $P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)$
5Simetría: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ y $\Phi(0) = 0{,}5$
6Comprueba cada resultado con la regla 68-95-99,7: por ejemplo $\Phi(1) - \Phi(-1) = 0{,}6826 \approx 68\,\%$

Preguntas frecuentes

¿Por qué una sola tabla sirve para todas las distribuciones normales?

Al tipificar, la media se desplaza a 0 y la dispersión se reescala a 1. La forma no cambia, así que el área a la izquierda de

x

en una distribución normal con media

\mu

y desviación estándar

\sigma

es igual al área a la izquierda de

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

N(0, 1)

Mi tabla no tiene valores de z negativos. ¿Qué hago?

Usa la simetría:

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

. Por ejemplo,

\Phi(-1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151

. Muchos libros imprimen una segunda tabla para

z

negativos; las dos dan los mismos números.

¿Hay diferencia entre $P(Z < z)$ y $P(Z \le z)$ ?

No.

Z

es continua, así que la probabilidad de caer justo en un valor es 0. Las dos se leen en la misma casilla de la tabla.

¿Y si mi $z$ es mayor que lo que trae la tabla, como $z = 4$ ?

La mayoría de las tablas terminan cerca de

3{,}49

, donde

\Phi

ya vale

0{,}9998

. Más allá, el área a la izquierda es prácticamente 1 y la cola derecha prácticamente 0.

Glosario

Distribución normal estándar: La distribución normal con media 0 y desviación estándar 1, escrita $N(0, 1)$ ; también se llama normal tipificada
Tipificar: Convertir un valor $x$ en $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ , el número de desviaciones estándar desde la media
Tabla z: Tabla de la normal con las áreas acumuladas $\Phi(z) = P(Z \le z)$ a la izquierda de cada $z$
Área acumulada $\Phi(z)$: El área bajo la curva normal estándar a la izquierda de $z$ ; es igual a la probabilidad $P(Z \le z)$
Cola: El área en un extremo de la curva, por ejemplo a la derecha de $z = 2$

Tarjeta de fórmulas

Tipificar

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Convierte cualquier valor normal en un valor de $Z$

Área a la izquierda

P(Z < z) = \Phi(z)

Se lee directamente en la tabla z

Área a la derecha

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

El área total bajo la curva es 1

Entre dos valores

P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)

Área izquierda mayor menos área izquierda menor

Simetría

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

Para valores de z negativos

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Tipificar

La tabla z

Tres reglas para cualquier área

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Control de calidad

Notas de exámenes estandarizados

Errores de la previsión del tiempo

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Tipificar

Área a la izquierda

Área a la derecha

Entre dos valores

Simetría

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