Puntuaciones z (tipificación)

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
Unas notas tienen media $\mu = 50$ y desviación estándar $\sigma = 5$ . ¿Cuál es la puntuación z de una nota de $60$ ?
1. a)-2
2. b)10
3. c)2
4. d)0,5
Respuesta: 2
$z = \frac{60 - 50}{5} = \frac{10}{5} = 2$ . La nota está 2 desviaciones estándar por encima de la media. $10$ es solo la distancia en puntos.
2.
Una distribución tiene $\mu = 40$ y $\sigma = 4$ . Halla la puntuación z de $x = 46$ .
Respuesta: 1.5
$z = \frac{46 - 40}{4} = \frac{6}{4} = 1{,}5$ : el valor está 1,5 desviaciones estándar por encima de la media.
3.
Un valor $x = 18$ viene de una distribución con $\mu = 12$ y $\sigma = 3$ . Halla su puntuación z.
Respuesta: 2
1. ¿Cuánto es $x - \mu = 18 - 12$ ? 6
2. Divide entre $\sigma = 3$ . ¿Cuánto vale z? 2
4.
Un valor tiene una puntuación z de $z = -1{,}5$ . ¿Qué significa?
1. a)Está 1,5 desviaciones estándar por debajo de la media
2. b)Está un 15 % por debajo de la media
3. c)Está 1,5 puntos por debajo de la media
4. d)Está 1,5 desviaciones estándar por encima de la media
Respuesta: Está 1,5 desviaciones estándar por debajo de la media
Una puntuación z cuenta desviaciones estándar, no puntos ni porcentajes. El signo menos significa por debajo de la media, así que $z = -1{,}5$ está 1,5 desviaciones estándar por debajo de la media.
5.
En un grupo de adultos, el peso tiene $\mu = 65$ kg y $\sigma = 10$ kg. ¿Cuál es la puntuación z de una persona que pesa $47$ kg?
Respuesta: -1.8
$z = \frac{47 - 65}{10} = \frac{-18}{10} = -1{,}8$ : 1,8 desviaciones estándar por debajo de la media.
6.
Una distribución tiene $\mu = 60$ y $\sigma = 5$ . ¿Qué valor corresponde a $z = -2$ ?
Respuesta: 50
1. ¿Cuánto es $z\sigma = (-2) \times 5$ ? -10
2. ¿Cuánto es $x = \mu + z\sigma = 60 + (-10)$ ? 50
7.
Cuatro alumnos hicieron exámenes distintos. ¿Quién lo hizo mejor en comparación con los demás que hicieron el mismo examen?
1. a)Ben: 85 puntos (μ = 75, σ = 10)
2. b)Ana: 78 puntos (μ = 70, σ = 4)
3. c)Cleo: 90 puntos (μ = 84, σ = 6)
4. d)Dan: 66 puntos (μ = 60, σ = 5)
Respuesta: Ana: 78 puntos (μ = 70, σ = 4)
Ana: $\frac{78 - 70}{4} = 2$ . Ben: $\frac{85 - 75}{10} = 1$ . Cleo: $\frac{90 - 84}{6} = 1$ . Dan: $\frac{66 - 60}{5} = 1{,}2$ . Ana tiene la mayor puntuación z, aunque Cleo tiene más puntos.
8.
Las puntuaciones de una prueba nacional tienen $\mu = 500$ y $\sigma = 100$ . ¿Qué puntuación corresponde a $z = -1{,}2$ ?
Respuesta: 380
$x = 500 + (-1{,}2) \cdot 100 = 500 - 120 = 380$ .
9.
Nora corre 5 km en $24$ min (su club: $\mu = 27$ min, $\sigma = 2$ min) y nada 100 m en $75$ s (su club: $\mu = 80$ s, $\sigma = 4$ s). Los tiempos más bajos son mejores. ¿En qué deporte es relativamente mejor? Da la puntuación z de ese deporte.
Respuesta: -1.5
1. ¿Cuál es su puntuación z en carrera, $\frac{24 - 27}{2}$ ? -1.5
2. ¿Cuál es su puntuación z en natación, $\frac{75 - 80}{4}$ ? -1.25
3. Menos es mejor, así que gana el z más pequeño. Escribe la puntuación z más pequeña. -1.5
10.
Las puntuaciones de CI tienen $\mu = 100$ y $\sigma = 15$ . ¿Qué puntuación es inusual ( $|z| > 2$ )?
1. a)75
2. b)85
3. c)134
4. d)120
Respuesta: 134
$z(120) \approx 1{,}33$ , $z(134) = \frac{34}{15} \approx 2{,}27$ , $z(85) = -1$ , $z(75) \approx -1{,}67$ . Solo 134 tiene $|z| > 2$ ; el intervalo habitual va de 70 a 130.
11.
En la carrera de 100 m de un instituto, los tiempos tienen $\mu = 13{,}5$ s y $\sigma = 0{,}6$ s. Halla la puntuación z de un tiempo de $12{,}6$ s.
Respuesta: -1.5
$z = \frac{12{,}6 - 13{,}5}{0{,}6} = \frac{-0{,}9}{0{,}6} = -1{,}5$ . En una carrera es un buen resultado: 1,5 desviaciones estándar más rápido que la media.
12.
La batería de un móvil dura de media $\mu = 40$ horas con $\sigma = 3$ horas. Una batería dura solo $33{,}4$ horas. ¿Es inusual?
Respuesta: -2.2
1. ¿Cuánto es $33{,}4 - 40$ ? -6.6
2. Divide entre $\sigma = 3$ . ¿Cuánto vale z? -2.2
3. ¿Es $|z| > 2$ , es decir, la duración es inusual? Sí
13.
La frecuencia cardiaca en reposo de los adolescentes tiene $\mu = 72$ latidos por minuto y $\sigma = 8$ . Halla el intervalo de valores habituales, de $z = -2$ a $z = 2$ .
Respuesta: [56, 88]
1. ¿Cuánto es $2\sigma = 2 \cdot 8$ ? 16
2. Extremo inferior: ¿ $72 - 16$ ? 56
3. Extremo superior: ¿ $72 + 16$ ? 88
14.
Una profesora suma 5 puntos extra a la nota de cada alumno. ¿Qué pasa con la puntuación z de cada alumno?
1. a)Disminuye en 5
2. b)Aumenta en 5/σ
3. c)Aumenta en 5
4. d)Se queda igual
Respuesta: Se queda igual
Cada nota y la media suben 5, así que $x - \mu$ no cambia. La dispersión tampoco cambia, así que $\sigma$ es la misma. Por tanto $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ se queda igual.
15.
Un examen tiene media $\mu = 80$ . Una nota de $92$ tiene puntuación z $z = 1{,}5$ . ¿Cuál es la desviación estándar $\sigma$ ?
Respuesta: 8
$1{,}5 = \frac{92 - 80}{\sigma} = \frac{12}{\sigma}$ , así que $\sigma = \frac{12}{1{,}5} = 8$ .
16.
Las puntuaciones de una prueba de acceso tienen $\mu = 1050$ y $\sigma = 200$ . Una beca exige una puntuación z de al menos $1{,}75$ . ¿Cuál es la puntuación mínima que sirve?
Respuesta: 1400
1. ¿Cuánto es $z\sigma = 1{,}75 \cdot 200$ ? 350
2. ¿Cuánto es $x = 1050 + 350$ ? 1400
17.
En una clase, una nota de $78$ tiene puntuación z $z = 1{,}5$ y la desviación estándar es $\sigma = 6$ . ¿Cuál es la media $\mu$ de la clase?
Respuesta: 69
1. ¿Cuántos puntos por encima de la media está 78? Calcula $z\sigma = 1{,}5 \cdot 6$ . 9
2. ¿Cuánto es $\mu = 78 - 9$ ? 69
18.
En un examen, una nota de $70$ tiene $z = -1$ y una nota de $94$ tiene $z = 2$ . Halla la desviación estándar $\sigma$ y la media $\mu$ . Da $\mu$ como respuesta final.
Respuesta: 78
1. ¿A cuántas desviaciones estándar están las dos notas? ( $2 - (-1)$ ) 3
2. ¿A cuántos puntos están? ( $94 - 70$ ) 24
3. Entonces $3\sigma = 24$ . ¿Cuánto es $\sigma$ ? 8
4. 70 está una desviación estándar por debajo de la media. ¿Cuánto es $\mu = 70 + 8$ ? 78