Guía del profesor: Puntuaciones z (tipificación)

Aprende qué indica una puntuación z, cómo calcularla, cómo volver al valor original y cómo comparar resultados de exámenes distintos.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Distribuciones de probabilidad. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Calcular una puntuación z con $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
Interpretar el signo y el tamaño de una puntuación z en un contexto
Hallar un valor a partir de una puntuación z dada con $x = \mu + z\sigma$
Comparar valores de distribuciones distintas usando puntuaciones z
Identificar valores inusuales con la regla $|z| > 2$

Requisitos previos

• Introducción a la distribución normal (media, desviación estándar, regla 68-95-99,7)
• Calcular la media y la desviación estándar de unos datos
• Resolver ecuaciones lineales sencillas
• Operar con números negativos y decimales

Iniciadores de discusión

1. Sacaste 70 puntos en un examen. Sin saber nada más, ¿puedes decir si es una buena nota? ¿Qué más querrías saber?
2. Dos alumnos están 8 puntos por encima de la media de su clase. ¿Cómo puede uno de ellos haberlo hecho relativamente mejor?
3. En una carrera, ¿una puntuación z de $-2$ es buena o mala? ¿Y en un examen?
4. ¿Por qué una puntuación z no tiene unidad, y por qué es eso útil?

Conceptos erróneos comunes

Una nota bruta más alta es siempre el mejor resultado

Remediación: Usa el ejemplo de Mia y Leo: Leo tiene más puntos pero una puntuación z menor. Pide a los alumnos que expliquen con sus palabras por qué importa la dispersión.

Una puntuación z negativa es un mal resultado

Remediación: Muestra un contexto en el que menos es mejor (tiempos de carrera, precios, errores) y deja que los alumnos decidan cuándo un z negativo es bueno.

Una puntuación z es un porcentaje o una probabilidad

Remediación: Insiste en que z cuenta desviaciones estándar. Relaciona $z = 1$ con la regla 68-95-99,7 de la lección anterior para mostrar que el porcentaje es un paso aparte.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con puntuaciones z enteras (valores a exactamente 1 o 2 desviaciones estándar)
• Dibujar una recta numérica con la media y pasos de una desviación estándar
• Hacer los dos pasos por separado: primero la distancia a la media y luego la división

Para estudiantes de nivel:

• Calcular e interpretar puntuaciones z decimales en contextos distintos
• Hallar valores a partir de puntuaciones z con $x = \mu + z\sigma$
• Comparar resultados de dos o tres distribuciones distintas

Para estudiantes avanzados:

• Hallar $\sigma$ o $\mu$ cuando se conocen un valor y su puntuación z
• Hallar $\mu$ y $\sigma$ a partir de dos valores y sus puntuaciones z
• Explicar por qué sumar el mismo número a todos los valores no cambia las puntuaciones z

Alineación con estándares

HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Usar la media y la desviación estándar de unos datos para ajustarlos a una distribución normal y estimar porcentajes de la población
HSS-ID.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.2)
Usar estadísticos adecuados a la forma de la distribución para comparar el centro y la dispersión de dos o más conjuntos de datos

Recursos de la lección

visualExplorador de puntuaciones z
Arrastrar una nota a lo largo de la curva normal y ver cómo cambia su puntuación z en el eje z alineado
activity¿Quién lo hizo mejor?
Los alumnos comparan resultados de dos clases con medias y dispersiones distintas, primero por puntos y luego por puntuaciones z
worksheetPuntuaciones z en contexto
Calcular, interpretar y despejar puntuaciones z para notas, estaturas, tiempos de carrera y datos de una fábrica

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una puntuación z (también puntuación tipificada o valor tipificado) indica a cuántas desviaciones estándar (desviaciones típicas) está un valor por encima o por debajo de la media.

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

$x$ es el valor que estudias
$\mu$ (mu) es la media de la distribución
$\sigma$ (sigma) es la desviación estándar

Cómo se lee:

$z > 0$ : el valor está por encima de la media
$z < 0$ : el valor está por debajo de la media
$z = 0$ : el valor es exactamente la media
$|z|$ dice a qué distancia está, medida en desviaciones estándar

Ejemplo: en un examen de matemáticas con

\mu = 74

\sigma = 6

, una nota de

82

tiene

z = \frac{82 - 74}{6} = \frac{8}{6} \approx 1{,}33

. La nota está

1{,}33

desviaciones estándar por encima de la media.

Volver de z a x: despeja

x

en la fórmula:

x = \mu + z\sigma

Como las unidades se cancelan (puntos entre puntos), una puntuación z no tiene unidad. Eso es justo lo que la hace tan útil: puedes comparar una nota, una estatura y un tiempo de carrera en una misma escala. A un valor con

|z| > 2

se le suele llamar inusual, porque está a más de 2 desviaciones estándar de la media.

Ejemplos resueltos

En un examen de matemáticas, las notas tienen media

\mu = 74

puntos y desviación estándar

\sigma = 6

puntos. Mia sacó

82

. ¿Cuál es su puntuación z?

Escribe la fórmula

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

→

x = 82

\mu = 74

\sigma = 6

Resta la media (distancia a la media)

82 - 74 = 8

→ Mia está 8 puntos por encima de la media

Divide entre la desviación estándar

z = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33

→

z \approx 1{,}33

Respuesta: $z \approx 1{,}33$ : Mia está unas 1,33 desviaciones estándar por encima de la media de la clase.

Errores comunes

Restar en el orden equivocado: $\frac{\mu - x}{\sigma}$

Por qué está mal: Así se invierte el signo. Un valor por encima de la media tendría una puntuación z negativa, que dice lo contrario de la realidad.

Correcto: Siempre valor menos media: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ . Para $x = 82$ , $\mu = 74$ , $\sigma = 6$ : $z = \frac{8}{6} \approx 1{,}33$ , no $-1{,}33$ .

Olvidar los paréntesis: escribir $82 - 74 / 6$ en la calculadora

Por qué está mal: La calculadora divide primero y obtiene $82 - 12{,}33 = 69{,}67$ , que no es una puntuación z en absoluto.

Correcto: Primero resta, después divide: $(82 - 74) / 6 \approx 1{,}33$ .

Comparar directamente notas de exámenes distintos

Por qué está mal: 88 puntos en un examen con $\mu = 80$ , $\sigma = 8$ no son automáticamente mejores que 82 puntos en un examen con $\mu = 74$ , $\sigma = 6$ . Los exámenes tienen medias y dispersiones distintas.

Correcto: Convierte primero cada valor en puntuación z y luego compara: $1$ frente a $1{,}33$ , así que el 82 es relativamente mejor.

Pensar que una puntuación z negativa es un mal resultado

Por qué está mal: El signo solo dice si el valor está por debajo o por encima de la media. Que eso sea bueno depende del contexto.

Correcto: En tiempos de carrera o precios, menos es mejor, así que $z = -2$ puede ser un resultado excelente. En las notas, más es mejor.

Por qué es importante

Un número suelto muchas veces no dice mucho. ¿Sacar 82 puntos es una buena nota? Depende de cómo les fue a los demás. La puntuación z responde a esa pregunta con un solo número.

Instituto y exámenes: comparar resultados de clases, asignaturas o años distintos, aunque los exámenes tuvieran dificultad diferente
Medicina: las curvas de crecimiento de los niños y la densidad ósea se expresan en puntuaciones z, a un niño con $z = -2{,}5$ en estatura lo revisa un médico
Deporte: comparar atletas de pruebas distintas, como un velocista y un saltador de longitud
Control de calidad: las fábricas marcan los productos cuyas medidas tienen $|z| > 2$ o $|z| > 3$
Economía y ciencia: detectar valores inusuales (valores atípicos) en los datos

En las próximas lecciones usarás las puntuaciones z para hallar áreas y probabilidades bajo la curva normal, así que este es el paso clave.

Aplicaciones del mundo real

Deporte: comparar tiempos de velocidad

Los entrenadores comparan atletas con puntuaciones z. En una carrera un tiempo menor es mejor, así que una puntuación z negativa significa más rápido que la media.

Ejemplo:

En una carrera regional de 100 m, los tiempos tienen $\mu = 11{,}0$ s y $\sigma = 0{,}2$ s. Un tiempo de $11{,}3$ s tiene $z = \frac{0{,}3}{0{,}2} = 1{,}5$ : más lento que la media.

1Inténtalo tú mismo

En la misma carrera ( $\mu = 11{,}0$ s, $\sigma = 0{,}2$ s), Sara corre en $10{,}6$ s.

¿Cuál es la puntuación z de Sara?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\frac{10{,}6 - 11{,}0}{0{,}2}$ :

Medicina: curvas de crecimiento

Los pediatras expresan la estatura o el peso de un niño como puntuación z respecto a los niños de su misma edad. Los valores por debajo de $z = -2$ se revisan con más atención.

Ejemplo:

Un niño con una puntuación z de estatura $z = 0$ está justo en la media de su edad; con $z = 1$ mide una desviación estándar más que la media.

2Inténtalo tú mismo

En los niños de 8 años, la estatura tiene $\mu = 128$ cm y $\sigma = 5{,}5$ cm. Una médica revisa a todo niño con $z < -2$ .

¿Por debajo de qué estatura (en cm) se revisa a un niño?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $x = \mu + z\sigma$ con $z = -2$ :

Control de calidad: cajas de cereales

Una fábrica llena cajas de cereales. Las cajas cuyo peso tiene $|z| > 2$ se retiran de la cadena y se revisan.

Ejemplo:

La máquina de llenado da $\mu = 500$ g y $\sigma = 4$ g. Una caja de $504$ g tiene $z = 1$ : totalmente normal.

3Inténtalo tú mismo

Una caja de la cadena pesa $489$ g ( $\mu = 500$ g, $\sigma = 4$ g).

¿Cuál es la puntuación z de esta caja?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula $\frac{489 - 500}{4}$ :

Puntos clave

1Una puntuación z indica a cuántas desviaciones estándar está un valor de la media: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
2z positivo: por encima de la media, z negativo: por debajo de la media, $z = 0$ : exactamente la media
3Para volver de z a un valor, usa $x = \mu + z\sigma$
4Una puntuación z no tiene unidad, así que se pueden comparar valores de distribuciones distintas: el z mayor está relativamente más alto
5Un valor con $|z| > 2$ se suele considerar inusual, está a más de 2 desviaciones estándar de la media
6Siempre resta primero y después divide: $(x - \mu) / \sigma$

Preguntas frecuentes

¿Una puntuación z puede ser decimal o mayor que 3?

Sí. La mayoría de las puntuaciones z son decimales, como

1{,}33

-0{,}75

. Los valores por encima de

3

o por debajo de

-3

son posibles, pero muy raros en una distribución normal.

¿Hacen falta datos normales para calcular una puntuación z?

Puedes calcular una puntuación z para cualquier conjunto de datos con media y desviación estándar. Convertirla en un porcentaje (como con la regla 68-95-99,7) solo funciona bien si los datos son aproximadamente normales.

¿Por qué la puntuación z de la media siempre es 0?

Porque

x - \mu = 0

cuando

x = \mu

, y

0

entre

\sigma

0

. La media está a cero desviaciones estándar de sí misma.

¿Qué diferencia hay entre una puntuación z y un percentil?

Una puntuación z mide una distancia en desviaciones estándar; un percentil dice qué porcentaje de los valores queda por debajo. Están relacionados (con datos normales,

z = 1

es aproximadamente el percentil 84), y en las próximas lecciones aprenderás a pasar de uno a otro.

Glosario

Puntuación z (puntuación tipificada, valor tipificado): El número de desviaciones estándar que un valor está por encima (positivo) o por debajo (negativo) de la media
Media (μ): El centro de la distribución, el valor promedio
Desviación estándar (σ): Una medida de cuánto se dispersan los valores alrededor de la media (también se llama desviación típica)
Tipificar: Convertir un valor $x$ en su puntuación z con $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
Valor inusual: Un valor a más de 2 desviaciones estándar de la media, es decir, $|z| > 2$

Tarjeta de fórmulas

Puntuación z

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

A cuántas desviaciones estándar está x de la media

Valor a partir de una puntuación z

x = \mu + z\sigma

Volver de una puntuación z a las unidades originales

Valores inusuales

|z| > 2

A más de 2 desviaciones estándar de la media

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

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Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Deporte: comparar tiempos de velocidad

Medicina: curvas de crecimiento

Control de calidad: cajas de cereales

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Puntuación z

Valor a partir de una puntuación z

Valores inusuales

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