Recta de mejor ajuste

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué descripción corresponde a una buena recta de mejor ajuste trazada a ojo?
1. a)Más o menos la mitad de los puntos está por encima y la mitad por debajo, y sigue la tendencia
2. b)Une el primer y el último punto de datos
3. c)Pasa por la mayor cantidad posible de puntos
4. d)Todos los puntos están por debajo
Respuesta: Más o menos la mitad de los puntos está por encima y la mitad por debajo, y sigue la tendencia
Una buena recta de mejor ajuste tiene más o menos la mitad de los puntos por encima y la mitad por debajo, y sigue la dirección de los datos. No tiene que pasar por ningún punto.
2.
Una recta de mejor ajuste pasa por los puntos $(0, 4)$ y $(5, 14)$ . ¿Cuál es su pendiente?
Respuesta: 2
$m = \frac{14 - 4}{5 - 0} = \frac{10}{5} = 2$ .
3.
Una recta de mejor ajuste pasa por $(0, 2)$ y $(4, 10)$ . Halla su ecuación $y = mx + b$ .
Respuesta: y = 2x + 2
1. ¿Cuál es el cambio en y, $10 - 2$ ? 8
2. ¿Cuál es el cambio en x, $4 - 0$ ? 4
3. ¿Cuál es la pendiente $m$ ? 2
4. ¿Cuál es la ordenada en el origen $b$ ? 2
4.
La recta de mejor ajuste de Mia es $y = 2x + 3$ , donde $x$ es el número de semanas de entrenamiento e $y$ el número de flexiones en un minuto. ¿Qué significa la pendiente $2$ ?
1. a)Cada semana de entrenamiento suma unas 2 flexiones
2. b)Mia hacía 2 flexiones al principio
3. c)Mia entrenó durante 2 semanas
4. d)Mia hace una flexión más cada 2 semanas
Respuesta: Cada semana de entrenamiento suma unas 2 flexiones
La pendiente es el cambio de $y$ por cada unidad de $x$ : cada semana más de entrenamiento suma unas 2 flexiones. El $3$ es la ordenada en el origen, el valor inicial.
5.
Una recta de mejor ajuste trazada a ojo pasa por $(0, 12)$ y $(4, 4)$ . ¿Cuál es su ordenada en el origen $b$ ?
Respuesta: 12
La ordenada en el origen es el valor de $y$ cuando $x = 0$ . El punto $(0, 12)$ está en la recta, así que $b = 12$ .
6.
¿Es la recta $y = x + 1$ una buena recta de mejor ajuste para los puntos $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(3, 5)$ , $(4, 4)$ , $(5, 7)$ , $(6, 6)$ ? Cuenta los puntos por encima y por debajo.
Respuesta: 1
1. ¿Cuántos puntos están por encima de la recta? 3
2. ¿Cuántos puntos están por debajo de la recta? 3
3. ¿Se ajusta bien la recta? Escribe 1 para sí o 0 para no. 1
7.
Un estudiante traza una recta en un diagrama de dispersión de 8 puntos. 7 puntos están por encima de la recta y 1 por debajo, repartidos de forma regular de izquierda a derecha. ¿Cómo debe corregir la recta?
1. a)Hacer la recta más inclinada sin moverla
2. b)Nada, la recta está bien
3. c)Subir la recta
4. d)Bajar la recta
Respuesta: Subir la recta
Con 7 puntos por encima y solo 1 por debajo, la recta está demasiado baja. Como los puntos están repartidos de forma regular, la dirección es correcta: sube la recta hasta que haya unos 4 puntos a cada lado.
8.
Una línea de tendencia pasa por $(2, 9)$ y $(6, 21)$ . ¿Cuál es su pendiente?
Respuesta: 3
$m = \frac{21 - 9}{6 - 2} = \frac{12}{4} = 3$ .
9.
Una recta de mejor ajuste pasa por $(10, 80)$ y $(30, 40)$ . Halla su ecuación $y = mx + b$ .
Respuesta: y = -2x + 100
1. ¿Cuál es el cambio en y, $40 - 80$ ? -40
2. ¿Cuál es el cambio en x, $30 - 10$ ? 20
3. ¿Cuál es la pendiente $m$ ? -2
4. ¿Cuánto vale $b = 80 - (-2)(10)$ ? 100
10.
El centro de gravedad de un conjunto de datos es $(4, 10)$ . ¿Cuál de estas rectas pasa por él?
1. a) $y = 2x + 3$
2. b) $y = x + 5$
3. c) $y = 2x + 1$
4. d) $y = 3x - 2$
Respuesta: $y = 3x - 2$
Para $x = 4$ : $2(4) + 1 = 9$ , $4 + 5 = 9$ , $2(4) + 3 = 11$ , $3(4) - 2 = 10$ . Solo $y = 3x - 2$ da $10$ .
11.
Un diagrama de dispersión tiene los puntos $(2, 5)$ , $(4, 9)$ , $(6, 10)$ , $(8, 16)$ . ¿Cuánto vale $\bar{y}$ , la coordenada y del centro de gravedad?
Respuesta: 10
$\bar{y} = \frac{5 + 9 + 10 + 16}{4} = \frac{40}{4} = 10$ . (Y $\bar{x} = 5$ , así que el centro de gravedad es $(5, 10)$ .)
12.
Datos: $(1, 3)$ , $(2, 6)$ , $(3, 6)$ , $(4, 9)$ , $(5, 11)$ . Una recta de mejor ajuste con pendiente $2$ debe pasar por el centro de gravedad. Halla su ordenada en el origen $b$ .
Respuesta: 1
1. ¿Cuánto vale $\bar{x}$ ? 3
2. ¿Cuánto vale $\bar{y}$ ? 7
3. ¿Cuánto vale $b = \bar{y} - 2\bar{x}$ ? 1
13.
La recta de mejor ajuste del nivel de batería $y$ (%) de un móvil después de $x$ horas de uso es $y = -12x + 100$ . Interprétala.
Respuesta: 5
1. ¿Cuántos puntos porcentuales cambia el nivel de batería por hora? (Usa un número negativo para una bajada.) -12
2. ¿Qué nivel de batería da la recta a las 0 horas? 100
3. ¿Después de cuántas horas llega la recta al 40 %? 5
14.
Para estudiantes de entre 150 cm y 190 cm de estatura, la recta de mejor ajuste entre la estatura $x$ (cm) y la envergadura de brazos $y$ (cm) es $y = 1{,}1x - 18$ . ¿Qué te dice la ordenada en el origen $-18$ ?
1. a)No tiene sentido real: una estatura de 0 cm está muy lejos de los datos
2. b)La envergadura de todos es 18 cm menor que su estatura
3. c)Una persona de 0 cm tiene una envergadura de -18 cm, una predicción real
4. d)La envergadura crece 18 cm por cada cm de estatura
Respuesta: No tiene sentido real: una estatura de 0 cm está muy lejos de los datos
La ordenada en el origen es la envergadura prevista para una estatura de $0$ cm. Ningún estudiante mide 0 cm y los datos solo van de 150 a 190 cm, así que la ordenada en el origen no tiene sentido real. Solo sirve para colocar bien la recta.
15.
Una recta de mejor ajuste tiene pendiente $-4$ y pasa por el centro de gravedad $(5, 30)$ . ¿Cuál es su ordenada en el origen $b$ ?
Respuesta: 50
$b = 30 - (-4)(5) = 30 + 20 = 50$ , así que la recta es $y = -4x + 50$ . Comprobación: $-4 \times 5 + 50 = 30$ .
16.
En un diagrama de dispersión se traza una recta de mejor ajuste por los puntos $(1, 7)$ y $(9, 3)$ de la recta. Halla su pendiente y su ordenada en el origen, y luego el valor de la recta en $x = 5$ .
Respuesta: 5
1. ¿Cuál es la pendiente $m = \frac{3 - 7}{9 - 1}$ ? Escríbela como número decimal. -0.5
2. ¿Cuánto vale $b = 7 - m \times 1$ ? 7.5
3. ¿Qué valor da la recta en $x = 5$ ? 5
17.
El centro de gravedad de un conjunto de datos es $(6, 20)$ . La recta de mejor ajuste de un estudiante pasa por $(0, 5)$ y $(10, 30)$ . ¿Pasa por el centro de gravedad?
Respuesta: 1
1. ¿Cuál es la pendiente de la recta? 2.5
2. ¿Cuál es la ordenada en el origen $b$ ? 5
3. ¿Qué valor da la recta en $x = 6$ ? 20
4. ¿Pasa la recta por el centro de gravedad? Escribe 1 para sí o 0 para no. 1
18.
La recta de mejor ajuste de una cafetería para el precio $x$ (en dólares) y las porciones de pastel vendidas al día $y$ pasa por el centro de gravedad $(4, 18)$ y por $(8, 10)$ . Halla su ecuación y el número de porciones que predice para un precio de 6 dólares.
Respuesta: 14
1. ¿Cuál es la pendiente $m = \frac{10 - 18}{8 - 4}$ ? -2
2. ¿Cuánto vale $b = 18 - m \times 4$ ? 26
3. ¿Cuántas porciones predice la recta en $x = 6$ ? 14