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Guía del profesor: Recta de mejor ajuste

Aprende a trazar a ojo una recta de mejor ajuste en un diagrama de dispersión, a hallar su ecuación a partir de dos puntos y a interpretar su pendiente y su ordenada en el origen.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Regresión. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Trazar a ojo una recta de mejor ajuste con más o menos la mitad de los puntos por encima y la mitad por debajo
  • Juzgar si una recta dada se ajusta a los datos y decir cómo mejorarla
  • Escribir la ecuación de una recta de mejor ajuste a partir de dos puntos de la recta
  • Interpretar la pendiente y la ordenada en el origen de una recta de mejor ajuste en su contexto, con unidades
  • Usar el centro de gravedad para comprobar y ajustar una recta de mejor ajuste
Requisitos previos
  • • Diagramas de dispersión: leer puntos y describir una tendencia
  • • Pendiente y forma pendiente-ordenada y=mx+by = mx + b
  • • Calcular la media de una lista de números
  • • Introducción a la regresión y Regresión lineal (útil, no obligatorio)
Iniciadores de discusión
  • 1. Dos compañeros trazaron rectas de mejor ajuste distintas para los mismos datos. ¿Pueden tener razón los dos?
  • 2. ¿Por qué una recta que pasa por el primer y el último punto suele ser una mala elección?
  • 3. ¿Qué te dice una pendiente negativa sobre la situación?
  • 4. ¿Se te ocurre una recta de mejor ajuste cuya ordenada en el origen no tenga sentido en la vida real?
  • 5. ¿Por qué ayuda marcar el centro de gravedad antes de trazar la recta?
Conceptos erróneos comunes

La recta tiene que pasar por la mayor cantidad posible de puntos de datos

Remediación: Muestra una recta que toca 3 puntos pero deja 5 a un solo lado. Luego muestra una que no toca ninguno pero equilibra los puntos. Pregunta cuál describe mejor la tendencia.

Hay exactamente una recta de mejor ajuste correcta trazada a ojo

Remediación: Pide a varios grupos que tracen rectas para los mismos datos y comparen las ecuaciones. Pendientes como 1,9 y 2,1 valen las dos; comentad qué hace que una recta esté claramente mal.

La ordenada en el origen siempre tiene un sentido real

Remediación: Usa la estatura y la envergadura de brazos, o la temperatura y las ventas de limonada. Muestra que x=0x = 0 puede estar muy lejos de los datos, así que la ordenada en el origen solo es una parte de la ecuación.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Empezar con datos que tengan una tendencia muy clara y pocos puntos
  • • Dar dos rectas posibles y preguntar solo cuál se ajusta mejor
  • • Proponer rectas que corten el eje y en un punto de la cuadrícula para leer b directamente

Para estudiantes de nivel:

  • • Trazar rectas a ojo y escribir sus ecuaciones a partir de dos puntos de la cuadrícula
  • • Interpretar la pendiente y la ordenada en el origen con unidades en varios contextos
  • • Comparar las rectas de la clase con el centro de gravedad de los datos

Para estudiantes avanzados:

  • • Comparar una recta trazada a ojo con la recta de mínimos cuadrados de una calculadora o un programa
  • • Buscar conjuntos de datos en los que la ordenada en el origen no tenga sentido y explicar por qué
  • • Investigar cómo un solo valor atípico mueve la recta de mejor ajuste
Alineación con estándares
  • 8.SP.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.2)

    Saber que las rectas se usan mucho para modelar relaciones entre dos variables cuantitativas; ajustar una recta de forma informal y valorar el ajuste según lo cerca que estén los puntos de la recta

  • 8.SP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.SP.A.3)

    Usar la ecuación de un modelo lineal para resolver problemas con datos de dos variables, interpretando la pendiente y la ordenada en el origen

  • HSS.ID.B.6.C (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.B.6.C)

    Ajustar una función lineal a un diagrama de dispersión que sugiere una relación lineal

  • HSS.ID.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.C.7)

    Interpretar la pendiente (tasa de cambio) y la ordenada en el origen (término constante) de un modelo lineal en el contexto de los datos

Recursos de la lección
  • visualColoca tu propia recta

    Los estudiantes tocan dos puntos de la cuadrícula en el diagrama de dispersión y ven al instante la ecuación de su recta

  • activityRecta de espagueti

    Los estudiantes ponen un espagueti crudo sobre un diagrama de dispersión impreso para buscar la mejor posición y luego comparan las ecuaciones

  • worksheetPráctica de rectas de mejor ajuste

    Juzgar rectas dadas, trazar las propias y escribir sus ecuaciones

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Una recta de mejor ajuste (también llamada línea de tendencia) es una recta trazada en un diagrama de dispersión que muestra la tendencia general de los datos. No tiene que pasar por ninguno de los puntos.
Una buena recta de mejor ajuste trazada a ojo:
  • tiene más o menos la mitad de los puntos por encima y la mitad por debajo
  • sigue la dirección de los puntos (sube, baja, cuánta inclinación)
  • tiene los puntos repartidos a lo largo de toda su longitud, no todos por encima en un extremo y todos por debajo en el otro
Cuando la recta está trazada, elige dos puntos de la recta (no puntos de datos), alejados y en cruces de la cuadrícula, y halla su ecuación y=mx+by = mx + b:
m=y2−y1x2−x1,b=y1−mx1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad b = y_1 - m x_1
El centro de gravedad (o punto de las medias) (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}) es una buena guía: la recta de regresión por mínimos cuadrados siempre pasa por él, así que una buena recta trazada a ojo debe pasar por él o muy cerca.

Ejemplos resueltos

Mia cuenta sus flexiones en un minuto después de cada semana de entrenamiento. Semanas 1 a 8: 6,6,9,12,12,16,16,196, 6, 9, 12, 12, 16, 16, 19. Tres estudiantes trazan una recta a ojo: - Recta A: y=2x+3y = 2x + 3 - Recta B: y=2x+7y = 2x + 7 - Recta C: y=0,5x+9y = 0{,}5x + 9 ¿Cuál es la mejor recta de mejor ajuste?
1

Comprueba la recta B

La recta B da 9,11,13,15,17,19,21,239, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 para las semanas 1 a 8. Cada punto de datos está más abajo. → Los 8 puntos están por debajo de la recta B: está demasiado alta
2

Comprueba la recta C

La recta C da 9,5;10;10,5;11;11,5;12;12,5;139{,}5; 10; 10{,}5; 11; 11{,}5; 12; 12{,}5; 13. Las semanas 1 a 3 quedan por debajo y las semanas 4 a 8 por encima. → Puntos por debajo a la izquierda y por encima a la derecha: la recta C es demasiado plana
3

Comprueba la recta A

La recta A da 5,7,9,11,13,15,17,195, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Por encima: semanas 1, 4, 6. Por debajo: semanas 2, 5, 7. Sobre la recta: semanas 3, 8. → 3 por encima, 3 por debajo, repartidos a lo largo de toda la recta
4

Decide

Solo la recta A tiene los puntos equilibrados a ambos lados en toda su longitud y sigue la tendencia creciente. → La recta A es la que mejor se ajusta

Errores comunes

Trazar la recta desde el primer punto de datos hasta el último

Por qué está mal: El primer y el último punto pueden ser poco habituales. Una recta que pasa por ellos suele dejar la mayoría de los puntos a un solo lado.

Correcto: No te fijes en puntos sueltos, sino en toda la nube: más o menos la mitad de los puntos por encima y la mitad por debajo. La recta puede no pasar por ningún punto.

Equilibrar el número de puntos sin seguir la tendencia

Por qué está mal: Una recta demasiado plana puede tener 4 puntos por encima y 4 por debajo, pero todos los bajos están a la izquierda y todos los altos a la derecha.

Correcto: Revisa los dos extremos: cerca de cada extremo de la recta debe haber puntos por encima y por debajo.

Calcular la pendiente con dos puntos de datos en lugar de dos puntos de la recta

Por qué está mal: Los puntos de datos casi nunca están sobre la recta, así que su pendiente no es la pendiente de tu recta.

Correcto: Lee dos puntos que estén sobre la recta que trazaste, alejados y en cruces de la cuadrícula, y luego usa m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

Leer la pendiente como un valor de y en lugar de un cambio

Por qué está mal: En y=2x+3y = 2x + 3 para semanas y flexiones, 22 no significa "2 flexiones". Es el cambio por semana.

Correcto: Di la pendiente con las dos unidades: unas 2 flexiones más por cada semana de entrenamiento.

Por qué es importante

Los datos reales nunca están exactamente en una recta, pero a menudo siguen una tendencia clara:
  • Deporte: una entrenadora ve cuánto mejora una atleta por cada semana de entrenamiento
  • Comercio: una cafetería ve cuántas bebidas calientes menos vende cada día más caluroso
  • Ciencias: un estudiante descubre, a partir de medidas dispersas, cuánto crece una planta por día
  • Dinero: un comprador ve cuánto valor pierde una bicicleta usada cada año
Una recta de mejor ajuste convierte una nube de puntos en una regla sencilla y=mx+by = mx + b. La pendiente dice cuánto cambia yy por cada unidad de xx; la ordenada en el origen dice dónde empieza la tendencia. Es el primer paso antes de hacer predicciones, estudiar residuos y medir lo bien que se ajusta una recta.

Aplicaciones del mundo real

Entrenar para una carrera

Los entrenadores trazan una línea de tendencia sobre los tiempos de una atleta para ver cuánto más rápida es cada semana.

Ejemplo:

Los tiempos de una corredora en 5 km bajan de unos 30 minutos a unos 22 minutos en pocas semanas. La línea de tendencia muestra la mejora constante, incluso en los días malos.

1Inténtalo tú mismo

La recta de mejor ajuste del tiempo yy (minutos) de una corredora en 5 km después de xx semanas pasa por (2,30)(2, 30) y (6,22)(6, 22).

¿Cuál es la pendiente de la recta, en minutos por semana?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Pendiente = cambio en y dividido entre cambio en x:

Puesto de limonada

Los pequeños vendedores representan la temperatura frente a las ventas para planificar cuánto preparar.

Ejemplo:

En los días de calor, un puesto vende muchos más vasos. Una línea de tendencia sobre los datos de un verano muestra cuántos vasos extra trae cada grado, más o menos.

2Inténtalo tú mismo

La recta de mejor ajuste de un puesto de limonada para la temperatura xx (°C) y los vasos vendidos yy pasa por (20,30)(20, 30) y (30,50)(30, 50).

¿Cuál es la ordenada en el origen bb de esta recta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Halla la pendiente y luego usa b=y1−mx1b = y_1 - m x_1:

Experimento de crecimiento de una planta

En clase de ciencias, los estudiantes miden una planta cada pocos días y describen su ritmo de crecimiento con una línea de tendencia.

Ejemplo:

Las medidas nunca son perfectas, así que las alturas se dispersan un poco. La recta de mejor ajuste da un único ritmo de crecimiento en centímetros por día.

3Inténtalo tú mismo

Se mide una planta los días 2,4,6,82, 4, 6, 8, con alturas de 3,6,8,113, 6, 8, 11 cm. La recta de mejor ajuste tiene pendiente 1,31{,}3 y pasa por el centro de gravedad.

¿Cuál es la ordenada en el origen bb de la recta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa el centro de gravedad en b=yˉ−mxˉb = \bar{y} - m\bar{x}:

Puntos clave

  • 1Una recta de mejor ajuste es una recta que muestra la tendencia general de los puntos de un diagrama de dispersión
  • 2Trázala a ojo de modo que más o menos la mitad de los puntos quede por encima y la mitad por debajo, a lo largo de toda su longitud
  • 3La recta sigue la dirección de los datos y puede no pasar por ningún punto de datos
  • 4Halla su ecuación con dos puntos de la recta: m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} y después b=y1−mx1b = y_1 - m x_1
  • 5La pendiente es el cambio de yy por cada unidad de xx; la ordenada en el origen es el valor previsto de yy para x=0x = 0, que puede no tener sentido real
  • 6La recta de mínimos cuadrados siempre pasa por el centro de gravedad (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}), así que una buena recta trazada a ojo pasa cerca de él

Preguntas frecuentes

¿Hay una sola recta de mejor ajuste correcta?

A ojo, no. Dos estudiantes pueden trazar rectas un poco distintas y ambas ser buenas. Sus pendientes y ordenadas en el origen serán parecidas. Solo la recta de mínimos cuadrados, de la lección Regresión lineal, es una única recta exacta.

¿La recta tiene que pasar por el origen?

No. La recta va hacia donde apuntan los datos. Solo oblígala a pasar por (0,0)(0, 0) si la situación de verdad empieza en cero y los datos lo confirman.

¿Cuento los puntos que están justo sobre la recta?

Los puntos sobre la recta no cuentan para ningún lado. Equilibra los puntos de arriba con los de abajo.

¿Cuándo no debo trazar una recta de mejor ajuste?

Cuando el diagrama de dispersión no muestra ninguna tendencia o cuando los puntos siguen una curva clara. Una recta solo tiene sentido para un patrón lineal.

Glosario

Recta de mejor ajuste
Una recta trazada en un diagrama de dispersión que muestra la tendencia general de los datos (también llamada línea de tendencia)
Pendiente
El cambio de yy cuando xx aumenta 1; a lo largo de la recta, m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Ordenada en el origen
El valor de yy donde la recta corta el eje y, es decir, para x=0x = 0
Centro de gravedad
El punto (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y}) formado por la media de todos los valores de x y la media de todos los valores de y (también llamado punto de las medias)
Recta de regresión
La recta de mejor ajuste exacta que se obtiene por mínimos cuadrados; siempre pasa por el centro de gravedad

Tarjeta de fórmulas

Pendiente con dos puntos

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Usa dos puntos de la recta trazada, no puntos de datos

Ordenada en el origen

b=y1−mx1b = y_1 - m x_1

Sustituye un punto de la recta y la pendiente en $y = mx + b$

Recta de mejor ajuste

y=mx+by = mx + b

La ecuación de la línea de tendencia

Centro de gravedad

yˉ=mxˉ+b\bar{y} = m\bar{x} + b

La recta de mínimos cuadrados pasa por $(\bar{x}, \bar{y})$

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