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Guía del profesor: Amplitud y período

Aprende cómo la amplitud y el período transforman las ondas seno y coseno y controlan su altura y anchura.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Gráficas trigonométricas. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Definir la amplitud como el valor absoluto del coeficiente principal
  • Calcular el período usando la fórmula 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|}
  • Identificar la amplitud y el período a partir de una ecuación
  • Determinar la amplitud y el período a partir de una gráfica
  • Escribir ecuaciones dadas la amplitud, el período y el tipo de función
Requisitos previos
  • • Comprensión de las funciones seno y coseno
  • • Familiaridad con el círculo unitario
  • • Gráficas básicas de y=sin⁡(x)y = \sin(x) e y=cos⁡(x)y = \cos(x)
  • • Conocimiento de radianes
Iniciadores de discusión
  • 1. ¿Por qué crees que los músicos e ingenieros de sonido necesitan entender la amplitud y el período?
  • 2. Si duplicas la amplitud de una onda, ¿qué le pasa a su apariencia? ¿Y si duplicas B?
  • 3. ¿Cómo podrías cambiar y=sin⁡(x)y = \sin(x) para que tenga un período de π\pi? ¿De 4π4\pi?
  • 4. Al graficar y=3sin⁡(2x)y = 3\sin(2x), ¿qué transformación deberías aplicar primero: el estiramiento vertical o la compresión horizontal?
Conceptos erróneos comunes

Pensar que y=sin⁡(2x)y = \sin(2x) tiene período 2π⋅2=4π2\pi \cdot 2 = 4\pi

Remediación: Enfatiza que B comprime la onda (relación inversa). Más ciclos caben en el mismo espacio, así que período = 2π2=π\frac{2\pi}{2} = \pi, no 4π4\pi.

Creer que la amplitud afecta el estiramiento horizontal

Remediación: Usa una tabla: A afecta lo vertical (altura), B afecta lo horizontal (ancho). Haz que los estudiantes dibujen ejemplos lado a lado.

Confundir la amplitud con el valor máximo

Remediación: Muestra y=2sin⁡(x)+3y = 2\sin(x) + 3: la amplitud es 2, pero el máximo es 5. La amplitud es la distancia desde la línea media, no el valor máximo.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Comienza solo con valores enteros para A y B
  • • Proporciona gráficas preparadas y pide a los estudiantes que lean la amplitud/período
  • • Usa demostraciones físicas: ondas con cuerda, muelles

Para estudiantes de nivel:

  • • Calcula la amplitud y el período de ecuaciones con fracciones
  • • Escribe ecuaciones dada una amplitud y período específicos
  • • Empareja ecuaciones con sus gráficas

Para estudiantes avanzados:

  • • Explora el desfase y el desplazamiento vertical además de la amplitud/período
  • • Investiga valores negativos de A y su efecto
  • • Modela fenómenos del mundo real (latidos del corazón, mareas) con funciones trigonométricas
Alineación con estándares
  • HSF-TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)

    Elegir funciones trigonométricas para modelar fenómenos periódicos con amplitud, frecuencia y línea media especificadas

  • HSF-IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)

    Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, mostrando intersecciones y comportamiento final, y funciones trigonométricas, mostrando período, línea media y amplitud

Recursos de la lección
  • visualExplorador interactivo de ondas

    Ajusta los controles deslizantes para ver cómo A y B afectan la gráfica

  • activityLaboratorio de ondas sonoras

    Conectar la amplitud con el volumen y el período con el tono

  • worksheetPráctica de amplitud y período

    20 problemas para identificar y calcular estas propiedades

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La amplitud y el período son dos propiedades fundamentales que describen cómo se comporta una función trigonométrica.

Amplitud

La amplitud es la distancia desde la línea media hasta el máximo (o mínimo) de la onda. Para la forma general:
y=Asin⁡(Bx)oy=Acos⁡(Bx)y = A \sin(Bx) \quad \text{o} \quad y = A \cos(Bx)
La amplitud es ∣A∣|A| (el valor absoluto de AA).
  • Cuando ∣A∣>1|A| > 1: La onda se estira verticalmente (más alta)
  • Cuando 0<∣A∣<10 < |A| < 1: La onda se comprime verticalmente (más baja)
  • Cuando A<0A < 0: La onda se refleja respecto al eje x

Período

El período es la longitud horizontal de un ciclo completo. Para la forma general:
y=Asin⁡(Bx)oy=Acos⁡(Bx)y = A \sin(Bx) \quad \text{o} \quad y = A \cos(Bx)
El período es 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|}.
  • Cuando ∣B∣>1|B| > 1: La onda se comprime horizontalmente (más ciclos en el mismo espacio)
  • Cuando 0<∣B∣<10 < |B| < 1: La onda se estira horizontalmente (menos ciclos)

Ejemplos resueltos

Encuentra la amplitud de y=3sin⁡(x)y = 3\sin(x)
1

Identifica el coeficiente A

Comparando y=3sin⁡(x)y = 3\sin(x) con y=Asin⁡(Bx)y = A\sin(Bx) → A=3A = 3
2

Calcula la amplitud

Amplitud =∣A∣=∣3∣= |A| = |3| → Amplitud=3\text{Amplitud} = 3
3

Interpreta el resultado

La onda alcanza 3 unidades por encima y por debajo de la línea media → Máximo: 3, Mínimo: −3-3

Errores comunes

Pensar que la amplitud puede ser negativa

Por qué está mal: La amplitud siempre es positiva porque representa una distancia. Cuando ves y=−3sin⁡(x)y = -3\sin(x), la amplitud sigue siendo 3.

Correcto: Amplitud =∣A∣= |A|. Un AA negativo causa una reflexión, no una amplitud negativa.

Confundir BB con el período

Por qué está mal: Los estudiantes a menudo piensan que BB es el período. En realidad, BB afecta cuán comprimida está la onda.

Correcto: Período =2π∣B∣= \frac{2\pi}{|B|}. Cuando BB aumenta, el período disminuye (relación inversa).

Olvidar el 2π2\pi en la fórmula del período

Por qué está mal: La onda seno/coseno estándar tiene período 2π2\pi, no 1. Todos los cálculos de período se basan en esto.

Correcto: Período =2π∣B∣= \frac{2\pi}{|B|}, no 1B\frac{1}{B}. El 2π2\pi viene del período natural del seno y coseno.

Calcular el período de sin⁡(x/2)\sin(x/2) como 2π1/2=π\frac{2\pi}{1/2} = \pi

Por qué está mal: La división por una fracción requiere invertir y multiplicar.

Correcto: 2π1/2=2π×2=4π\frac{2\pi}{1/2} = 2\pi \times 2 = 4\pi. Cuando B<1B < 1, el período es MÁS LARGO que 2π2\pi.

Por qué es importante

La amplitud y el período aparecen en todas partes donde existen ondas:
  • Ondas sonoras: La amplitud determina el volumen (más fuerte = mayor amplitud), el período determina el tono (tono más alto = período más corto)
  • Olas del océano: La amplitud es la altura de las olas, el período es el tiempo entre olas
  • Electricidad: La corriente alterna tiene amplitud (voltaje) y período (50 Hz en España = período de 150\frac{1}{50} segundo)
  • Música: Cada nota musical es una onda con amplitud y período específicos
  • Luz: Los diferentes colores tienen diferentes períodos (longitudes de onda)
¡Los ingenieros, músicos y científicos usan estos conceptos diariamente para diseñar todo, desde altavoces hasta puentes y máquinas de resonancia magnética!

Aplicaciones del mundo real

Ingeniería de sonido

Los ingenieros de sonido ajustan la amplitud (volumen) y el período (tono) para mezclar música y diseñar altavoces.

Ejemplo:

Un bombo produce ondas con período largo (baja frecuencia ~60 Hz), mientras que un platillo tiene período corto (alta frecuencia ~10.000 Hz).

1Inténtalo tú mismo

Un altavoz produce un tono modelado por y=Asin⁡(440⋅2πt)y = A\sin(440 \cdot 2\pi t) donde tt está en segundos. Esta es la nota La4 (440 Hz).

¿Cuál es el período de esta onda en segundos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa la fórmula del período con B=440⋅2πB = 440 \cdot 2\pi:

Electricidad y corriente

La corriente alterna (CA) sigue un patrón de onda sinusoidal. En España, el estándar es 230V a 50 Hz.

Ejemplo:

El voltaje puede modelarse como V(t)=325sin⁡(100πt)V(t) = 325\sin(100\pi t). La amplitud es 325V (voltaje pico), y el período es 150\frac{1}{50} segundo.

2Inténtalo tú mismo

La electricidad estadounidense usa 60 Hz en lugar de 50 Hz.

¿Cuál es el período de la corriente alterna estadounidense?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula 1frecuencia\frac{1}{\text{frecuencia}}:

Puntos clave

  • 1La amplitud =∣A∣= |A| determina la altura de la onda (distancia desde la línea media hasta el pico)
  • 2El período =2π∣B∣= \frac{2\pi}{|B|} determina el ancho de un ciclo completo
  • 3Mayor ∣A∣|A| hace la onda más alta; menor ∣A∣|A| la hace más baja
  • 4Mayor ∣B∣|B| comprime la onda horizontalmente; menor ∣B∣|B| la estira
  • 5Para y=Asin⁡(Bx)y = A\sin(Bx) o y=Acos⁡(Bx)y = A\cos(Bx): identifica AA y BB, luego aplica las fórmulas

Preguntas frecuentes

¿Qué pasa cuando la amplitud es 0?

Si A=0A = 0, la función se convierte en y=0y = 0 (una línea horizontal plana). No hay onda en absoluto.

¿Puede el período ser negativo?

No. El período es una distancia (longitud de un ciclo), por lo que siempre es positivo. Por eso usamos ∣B∣|B| en la fórmula.

¿Cuál es el período de y=sin⁡(x)y = \sin(x)?

Como B=1B = 1, el período es 2π1=2π\frac{2\pi}{1} = 2\pi. Este es el período 'estándar' para seno y coseno.

¿Cómo encuentro la amplitud a partir de una gráfica?

Encuentra el valor máximo y el valor mínimo, luego: Amplitud =maˊx−mıˊn2= \frac{\text{máx} - \text{mín}}{2}

Glosario

Amplitud
El desplazamiento máximo desde la línea media de una onda; es igual a ∣A∣|A| en y=Asin⁡(Bx)y = A\sin(Bx)
Período
La longitud horizontal de un ciclo completo; es igual a 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|} en y=Asin⁡(Bx)y = A\sin(Bx)
Frecuencia
El número de ciclos por unidad; frecuencia =1perıˊodo= \frac{1}{\text{período}}
Línea media
La línea horizontal a mitad de camino entre los valores máximo y mínimo de una onda
Ciclo
Una repetición completa del patrón de una función periódica

Tarjeta de fórmulas

Forma general

y=Asin⁡(Bx)y = A\sin(Bx) o y=Acos⁡(Bx)y = A\cos(Bx)

Forma estándar del seno y coseno con amplitud A y frecuencia B

Amplitud

∣A∣|A|

Altura de la onda desde la línea media hasta el pico

Período

2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|}

Longitud horizontal de un ciclo completo

Frecuencia

∣B∣2π\frac{|B|}{2\pi}

Número de ciclos por unidad

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