Traslación vertical

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuál es la línea media de $y = 4\sin(x) - 3$ ?
1. a) $y = 4$
2. b) $y = -3$
3. c) $y = 0$
4. d) $y = 3$
Respuesta: $y = -3$
En $y = 4\sin(x) - 3$ tenemos $D = -3$ , así que la línea media es $y = -3$ . El 4 es la amplitud, no la traslación.
2.
¿Qué ecuación traslada $y = \cos(x)$ 5 unidades hacia arriba?
1. a) $y = \cos(x) + 5$
2. b) $y = 5\cos(x)$
3. c) $y = \cos(x + 5)$
4. d) $y = \cos(x) - 5$
Respuesta: $y = \cos(x) + 5$
Sumar 5 fuera del coseno sube cada salida 5 unidades: $y = \cos(x) + 5$ . $\cos(x + 5)$ se mueve hacia un lado, $5\cos(x)$ cambia la amplitud y $\cos(x) - 5$ baja.
3.
¿Cuál es el valor máximo de $y = 2\sin(x) + 5$ ?
Respuesta: 7
$D = 5$ y $|A| = 2$ , así que el máximo es $5 + 2 = 7$ .
4.
La línea media de $y = \cos(x) - 6$ es $y = \square$ . ¿Qué número va en la casilla?
Respuesta: -6
$y = \cos(x) - 6 = \cos(x) + (-6)$ , así que $D = -6$ y la línea media es $y = -6$ .
5.
¿Cuál es el recorrido de $y = 2\cos(x) + 3$ ?
1. a) $[3, 5]$
2. b) $[-1, 5]$
3. c) $[-2, 2]$
4. d) $[1, 5]$
Respuesta: $[1, 5]$
$D = 3$ y $|A| = 2$ : mínimo $3 - 2 = 1$ , máximo $3 + 2 = 5$ , así que el recorrido es $[1, 5]$ .
6.
Para $y = 3\cos(x) + 1$ , halla el valor de la línea media, la amplitud, el máximo y el mínimo.
Respuesta: D = 1, |A| = 3, max = 4, min = -2
1. ¿Cuánto vale D (la línea media es $y = D$ )? 1
2. ¿Cuál es la amplitud $|A|$ ? 3
3. ¿Cuál es el máximo $D + |A|$ ? 4
4. ¿Cuál es el mínimo $D - |A|$ ? -2
7.
La gráfica de $y = \sin(x)$ se traslada 3 unidades hacia abajo. Halla la nueva línea media, el nuevo máximo y el nuevo mínimo.
Respuesta: D = -3, max = -2, min = -4
1. La nueva función es $y = \sin(x) + D$ . ¿Cuánto vale D? -3
2. ¿Cuál es el nuevo máximo? -2
3. ¿Cuál es el nuevo mínimo? -4
8.
¿Cuál es el valor mínimo de $y = -4\cos(x) + 1$ ?
Respuesta: -3
$|A| = |-4| = 4$ y $D = 1$ , así que el mínimo es $1 - 4 = -3$ . Se alcanza en $x = 0$ : $-4\cos(0) + 1 = -3$ .
9.
¿Cuál es el valor máximo de $y = -3\sin(x) + 1$ ?
1. a) $-4$
2. b) $1$
3. c) $4$
4. d) $-2$
Respuesta: $4$
$|A| = 3$ y $D = 1$ , así que el máximo es $1 + 3 = 4$ . Se alcanza en $x = \frac{3\pi}{2}$ : $-3\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 1 = -3 \cdot (-1) + 1 = 4$ .
10.
Una onda seno tiene un máximo de $8$ y un mínimo de $-2$ . Halla D y la amplitud $|A|$ .
Respuesta: D = 3, |A| = 5
1. ¿Cuánto es máximo + mínimo? 6
2. ¿Cuánto vale $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ ? 3
3. ¿Cuánto es máximo - mínimo? 10
4. ¿Cuánto vale $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ ? 5
11.
Una onda oscila entre un máximo de $10$ y un mínimo de $2$ . Su línea media es $y = \square$ . ¿Qué número va en la casilla?
Respuesta: 6
$D = \frac{10 + 2}{2} = 6$ , así que la línea media es $y = 6$ .
12.
Halla el recorrido de $y = -2\sin(x) - 1$ .
Respuesta: [-3, 1]
1. ¿Cuánto vale D? -1
2. ¿Cuál es la amplitud $|A|$ ? 2
3. ¿Cuál es el máximo? 1
4. ¿Cuál es el mínimo? -3
13.
La temperatura de un pueblo se modela con $T(t) = 5\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 15$ en °C. Halla la temperatura media, la más alta y la más baja, y la diferencia entre ellas.
Respuesta: 15, 20, 10, 10
1. ¿Cuál es la temperatura media (el valor de la línea media D)? 15
2. ¿Cuál es la temperatura más alta? 20
3. ¿Cuál es la temperatura más baja? 10
4. ¿Cuántos grados hay entre la temperatura más alta y la más baja? 10
14.
Una onda tiene un máximo de $7$ y un mínimo de $-1$ . ¿Qué ecuación puede describirla?
1. a) $y = 4\sin(x) - 3$
2. b) $y = 8\sin(x) + 3$
3. c) $y = 4\sin(x) + 3$
4. d) $y = 3\sin(x) + 4$
Respuesta: $y = 4\sin(x) + 3$
$D = \frac{7 + (-1)}{2} = 3$ y $|A| = \frac{7 - (-1)}{2} = 4$ , así que $y = 4\sin(x) + 3$ . Las otras tienen recorridos $[1, 7]$ , $[-5, 11]$ y $[-7, 1]$ .
15.
Una sinusoide tiene línea media $y = -2$ y un máximo de $3$ . ¿Cuál es su mínimo?
Respuesta: -7
$|A| = 3 - (-2) = 5$ , así que el mínimo es $-2 - 5 = -7$ .
16.
Una noria tiene un diámetro de 30 m y su centro está a 18 m sobre el suelo. Una cabina empieza abajo y una vuelta dura 12 minutos, así que $h(t) = -15\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 18$ . Analiza el modelo.
Respuesta: |A| = 15, D = 18, max = 33, min = 3, h(6) = 33
1. ¿Cuál es la amplitud $|A|$ , en metros? 15
2. ¿Cuánto vale D, en metros? 18
3. ¿Cuál es la altura máxima, en metros? 33
4. ¿Cuál es la altura mínima, en metros? 3
5. ¿Cuál es la altura a los 6 minutos, $h(6)$ , en metros? 33
17.
En un puerto, la marea alta es de 9{,}4 m y la marea baja de 1{,}6 m. Halla la línea media D y la amplitud $|A|$ de un modelo de marea.
Respuesta: D = 5.5, |A| = 3.9
1. ¿Cuánto es marea alta + marea baja, en metros? 11
2. ¿Cuánto vale la línea media $D$ ? 5.5
3. ¿Cuánto es marea alta - marea baja, en metros? 7.8
4. ¿Cuál es la amplitud $|A|$ ? 3.9
18.
La función $y = A\sin(x) + D$ con $A > 0$ tiene recorrido $[-6, 2]$ . Halla $D$ y $A$ , y luego el valor de $y$ en $x = \frac{7\pi}{6}$ .
Respuesta: y = 4sin(x) - 2, y = -4
1. ¿Cuánto vale $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ ? -2
2. ¿Cuánto vale $A = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ ? 4
3. ¿Cuánto vale $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ ? -0.5
4. ¿Cuánto vale $y = 4\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) - 2$ ? -4