Guía del profesor: Traslación vertical

Aprende cómo la constante D en y = A sen(x) + D desplaza una onda seno o coseno hacia arriba o hacia abajo, fija su línea media y determina su máximo, su mínimo y su recorrido.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Gráficas trigonométricas. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Describir cómo la constante D en $y = A\sin(x) + D$ y $y = A\cos(x) + D$ desplaza la gráfica
Identificar la línea media $y = D$ a partir de una ecuación o de una gráfica
Hallar el máximo, el mínimo y el recorrido de una función seno o coseno trasladada
Calcular D y |A| a partir de un máximo y un mínimo dados
Construir modelos sinusoidales sencillos para mareas, norias y la temperatura del día

Requisitos previos

• Graficar $y = \sin(x)$ (lección Graficar la función seno)
• Graficar $y = \cos(x)$ (lección Graficando la función coseno)
• Amplitud $|A|$ y período $\frac{2\pi}{|B|}$ (lección Amplitud y período)
• Valor absoluto y notación de intervalos

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué la línea media de la función altura de una noria es la altura de su centro?
2. Si solo conoces la temperatura más alta y la más baja de un día, ¿qué sabes del modelo y qué falta todavía?
3. ¿Qué cambia más el recorrido: duplicar A o sumar 2 a D? Explícalo con un ejemplo.
4. ¿Pueden dos ecuaciones distintas de la forma $y = A\sin(x) + D$ tener el mismo recorrido? ¿Qué tienen en común?

Conceptos erróneos comunes

La amplitud es el valor máximo (en $y = 2\sin(x) + 5$ la amplitud sería 7)

Remediación: Dibujar primero la línea media y medir la amplitud desde ella con una regla. Comparar $y = 2\sin(x)$ y $y = 2\sin(x) + 5$ : misma altura de onda, distinta posición.

Un A negativo hace que el máximo sea $D + A$

Remediación: Graficar $y = -3\sin(x) + 1$ junto a $y = 3\sin(x) + 1$ y pedir que lean los dos máximos en el dibujo. Son iguales, así que la fórmula debe usar $|A|$ .

$\sin(x + 2)$ y $\sin(x) + 2$ son la misma traslación

Remediación: Hacer una tabla de valores de ambas en $x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$ . Solo $\sin(x) + 2$ suma 2 a cada salida; la otra mueve la onda hacia un lado.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar con $A = 1$ y cambiar solo D, usando el modo de curva objetivo para ver deslizarse toda la onda
• Dibujar siempre la línea media discontinua antes de marcar el máximo y el mínimo
• Usar una tabla de dos filas: línea media, y después línea media más y menos la amplitud

Para estudiantes de nivel:

• Hallar A y D a partir del máximo y el mínimo, y comprobarlo con la gráfica
• Modelar una noria con un diámetro y una altura de plataforma dados
• Escribir el recorrido de funciones trasladadas en notación de intervalos

Para estudiantes avanzados:

• Construir un modelo completo $y = A\sin(Bt) + D$ a partir de una tabla de mareas real, incluido el período
• Hallar todos los valores de D para los que $y = 3\sin(x) + D$ nunca toca el eje x
• Comparar un modelo seno y un modelo coseno para la misma noria

Alineación con estándares

HSF.TF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5)
Elegir funciones trigonométricas para modelar fenómenos periódicos con amplitud, frecuencia y línea media dadas
HSF.BF.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.3)
Identificar el efecto en la gráfica de sustituir f(x) por f(x) + k para valores concretos de k
HSF.IF.C.7e (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.C.7e)
Graficar funciones trigonométricas mostrando el período, la línea media y la amplitud

Recursos de la lección

visualAlcanza la onda objetivo
Los alumnos mueven los deslizadores A y D hasta que su curva seno cubre una curva objetivo discontinua
activityDetectives de la tabla de mareas
Los alumnos leen la pleamar y la bajamar en una tabla de mareas real y construyen un modelo con A y D
worksheetLínea media, máximo, mínimo
Doce ecuaciones: hallar la línea media, los extremos y el recorrido, y luego esbozar la gráfica

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Si sumas una constante

D

a una función seno o coseno, toda la onda se desplaza hacia arriba o hacia abajo. Esto se llama traslación vertical:

y = A\sin(x) + D \qquad y = A\cos(x) + D

Si $D > 0$ , la gráfica se desplaza $D$ unidades hacia arriba.
Si $D < 0$ , la gráfica se desplaza $|D|$ unidades hacia abajo.
La forma, la amplitud y el período no cambian.

La línea media

La línea media es la recta horizontal alrededor de la cual oscila la onda. Para

y = \sin(x)

es el eje x (

y = 0

). Después de la traslación es

\text{línea media: } y = D

Máximo, mínimo y recorrido

La onda llega

|A|

unidades por encima y por debajo de la línea media:

Elemento	Fórmula
Línea media	$y = D$
Valor máximo	$D +	A
Valor mínimo	$D -	A
Recorrido (imagen o rango)	$[D -	A	,\ D +	A	]$

Al revés: A y D a partir de datos

Si conoces el valor más alto y el más bajo, la línea media está justo en el punto medio y la amplitud es la mitad de la diferencia:

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2} \qquad |A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

En la forma general

y = A\sin(B(x - C)) + D

, la traslación vertical es siempre la última letra,

D

. En esta lección

B = 1

C = 0

, salvo que una situación real necesite otro período.

Ejemplos resueltos

Para

y = 3\sin(x) + 2

, halla la línea media, el máximo, el mínimo y el recorrido.

Identificar A y D

Compara con

y = A\sin(x) + D

→

A = 3

D = 2

Escribir la línea media

La línea media es

y = D

→

y = 2

Hallar el máximo y el mínimo

D + |A| = 2 + 3

D - |A| = 2 - 3

→ Máximo

5

, mínimo

-1

Escribir el recorrido

Todos los valores de y desde el mínimo hasta el máximo →

[-1, 5]

Respuesta: Línea media $y = 2$ , máximo $5$ , mínimo $-1$ , recorrido $[-1, 5]$ .

Errores comunes

Escribir que el máximo de $y = -3\sin(x) + 1$ es $1 + (-3) = -2$

Por qué está mal: La onda llega una amplitud por encima y por debajo de la línea media, y la amplitud siempre es positiva. El signo de $A$ solo refleja la onda.

Correcto: Máximo $= D + |A| = 1 + 3 = 4$ , mínimo $= D - |A| = 1 - 3 = -2$ .

Leer $y = \sin(x) - 2$ como una traslación de 2 hacia arriba

Por qué está mal: En $y = A\sin(x) + D$ la traslación es $D$ con su signo. Aquí $D = -2$ .

Correcto: $y = \sin(x) - 2$ desplaza la onda 2 unidades hacia abajo, la línea media es $y = -2$ .

Confundir el máximo con la amplitud: en $y = 2\sin(x) + 5$ la amplitud sería 7

Por qué está mal: La amplitud se mide desde la línea media, no desde el eje x. La traslación sube la onda, pero no la hace más alta.

Correcto: La amplitud es $|A| = 2$ . El máximo es $5 + 2 = 7$ .

Olvidar dividir entre 2: amplitud $= \text{max} - \text{min}$

Por qué está mal: $\text{max} - \text{min}$ es la altura completa del punto más bajo al más alto, es decir, dos amplitudes.

Correcto: $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$ y $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ . Para máximo 9 y mínimo 3: $|A| = 3$ , $D = 6$ .

Por qué es importante

La mayoría de las ondas reales no oscilan alrededor de cero. Oscilan alrededor de un nivel típico, y ese nivel es la traslación vertical:

Mareas: el agua de un puerto sube y baja alrededor de una profundidad media, por ejemplo entre 1 m y 5 m alrededor de una línea media de 3 m.
Norias: una cabina sube y baja alrededor de la altura del centro de la noria, sin bajar nunca de la plataforma de subida.
Temperatura del día: la temperatura oscila alrededor de la media del día, por ejemplo entre 12°C y 24°C alrededor de 18°C.
Presión arterial y latidos: la presión pulsa entre unos 80 y 120 alrededor de una línea media de 100.
Horas de luz: la duración del día varía a lo largo del año alrededor de unas 12 horas.

Con la fórmula

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

conviertes dos mediciones en un modelo útil, y con el recorrido compruebas de un vistazo si el modelo tiene sentido.

Aplicaciones del mundo real

Norias

La altura de una cabina de noria sube y baja como una onda coseno. La línea media es la altura del centro de la noria.

Ejemplo:

Una noria de 40 m de diámetro cuya cabina más baja está a 2 m del suelo se modela con $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right) + 22$ (t en minutos): amplitud 20, línea media 22, recorrido $[2, 42]$ .

1Inténtalo tú mismo

Una noria tiene un diámetro de 40 m. Su punto más bajo está a 2 m sobre el suelo.

¿A qué altura está la línea media de la función altura (el centro de la noria), en metros?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula la media entre la altura máxima y la mínima:

Mareas

Los capitanes de puerto y los navegantes modelan el nivel del agua con una onda seno o coseno cuya línea media es el nivel medio del mar.

Ejemplo:

Si la marea alta es de 5{,}2 m y la marea baja de 0{,}8 m, el nivel medio es $\frac{5{,}2 + 0{,}8}{2} = 3$ m, así que el modelo tiene $D = 3$ .

2Inténtalo tú mismo

En un puerto, la marea alta es de 5{,}2 m y la marea baja de 0{,}8 m.

¿Cuál es la amplitud del modelo de marea, en metros?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Toma la mitad de la diferencia entre marea alta y marea baja:

La temperatura a lo largo del día

Los meteorólogos modelan la temperatura durante 24 horas con una onda coseno alrededor de la temperatura media del día.

Ejemplo:

El modelo $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$ , con t en horas desde las 3:00, es mínimo a las 3:00 y máximo 12 horas después.

3Inténtalo tú mismo

La temperatura de una ciudad se modela con $T(t) = -6\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right) + 18$ en °C.

¿Cuál es la temperatura más alta del día, en °C?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Suma la amplitud a la línea media:

Puntos clave

1En $y = A\sin(x) + D$ y $y = A\cos(x) + D$ , la constante $D$ sube la onda ( $D > 0$ ) o la baja ( $D < 0$ )
2La línea media es la recta horizontal $y = D$ , justo a mitad de camino entre el máximo y el mínimo
3Máximo $= D + |A|$ y mínimo $= D - |A|$ , siempre con el valor absoluto de $A$
4El recorrido es $[D - |A|,\ D + |A|]$
5A partir de datos: $D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}$ y $|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}$
6Una traslación vertical no cambia ni la amplitud ni el período, solo la posición de toda la onda

Preguntas frecuentes

¿La traslación vertical cambia el período o la amplitud?

No.

D

mueve cada punto de la gráfica la misma cantidad hacia arriba o hacia abajo, así que la onda conserva su altura y su anchura. Solo cambian la línea media, el máximo, el mínimo y el recorrido.

¿La traslación vertical es lo mismo que la línea media?

Salen del mismo número. La traslación es el movimiento (por ejemplo, 3 unidades hacia arriba) y la línea media es la recta donde queda el centro de la onda (

y = 3

¿Por qué $\sin(x) + 2$ sube, pero $\sin(x + 2)$ no?

Un número sumado fuera de la función cambia la salida, así que la gráfica se mueve en vertical. Un número sumado dentro, a

x

, cambia la entrada, así que la gráfica se mueve hacia un lado. Ese movimiento lateral es el desfase, que se trata en la lección Desfase.

¿Puede una onda seno trasladada quedar entera por encima del eje x?

Sí, cuando

D > |A|

. Entonces el mínimo

D - |A|

es positivo. Por ejemplo,

y = 2\sin(x) + 5

nunca baja de

3

. Las alturas de una noria y las profundidades de la marea se comportan así.

Glosario

Traslación vertical: Mover toda la gráfica hacia arriba o hacia abajo sumando una constante $D$ a la función
Línea media: La recta horizontal $y = D$ a mitad de camino entre los valores máximo y mínimo de una onda
Valor máximo: El valor de y más alto de la onda, $D + |A|$
Valor mínimo: El valor de y más bajo de la onda, $D - |A|$
Recorrido: Todos los valores de y que toma la función: $[D - |A|,\ D + |A|]$ para un seno o coseno trasladado (también llamado imagen o rango)
Modelo sinusoidal: Una función seno o coseno que describe una situación real que se repite, como las mareas o la temperatura

Tarjeta de fórmulas

Seno y coseno trasladados

y = A\sin(x) + D

y = A\cos(x) + D

D sube la onda (D > 0) o la baja (D < 0)

Línea media

y = D

La recta alrededor de la cual oscila la onda

Máximo y mínimo

D + |A|

D - |A|

Valores más alto y más bajo de la onda

Recorrido

[D - |A|,\ D + |A|]

Todos los valores de salida

A partir de datos

D = \frac{\text{max} + \text{min}}{2}

|A| = \frac{\text{max} - \text{min}}{2}

Línea media y amplitud a partir del valor más alto y el más bajo

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Guía del profesor: Traslación vertical

Usa esta lección con tu clase

Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

La línea media

Máximo, mínimo y recorrido

Al revés: A y D a partir de datos

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Norias

Mareas

La temperatura a lo largo del día

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Seno y coseno trasladados

Línea media

Máximo y mínimo

Recorrido

A partir de datos

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