Identidades pitagóricas

Aprende las tres identidades pitagóricas fundamentales y cómo derivarlas y aplicarlas.

Avanzado25 minLección
Ficha imprimible

Definición

Las identidades pitagóricas son tres ecuaciones fundamentales en trigonometría que relacionan los cuadrados de las funciones trigonométricas. Se derivan del teorema de Pitágoras.

Las tres identidades pitagóricas

Identidad 1 (Fundamental):
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
Identidad 2:
1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta
Identidad 3:
1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta
Las tres identidades son verdaderas para cualquier ángulo θ\theta donde las funciones están definidas.

Pruébalo ahora

¿Cuál es la identidad pitagórica fundamental?

Ejemplos resueltos

Demuestra que sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 usando el círculo unitario.
1

Comienza con un punto en el círculo unitario

Cualquier punto en el círculo unitario tiene coordenadas (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) → (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)
2

Aplica la ecuación del círculo unitario

El círculo unitario está definido por x2+y2=1x^2 + y^2 = 1
3

Sustituye las coordenadas

Reemplaza xx con cos⁡θ\cos\theta e yy con sin⁡θ\sin\theta → (cos⁡θ)2+(sin⁡θ)2=1(\cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2 = 1
4

Escribe en forma estándar

Usa notación exponencial: sin⁡2θ+cos⁡2θ\sin^2\theta + \cos^2\theta → sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 ✓

Errores comunes

Olvidar considerar el cuadrante al sacar raíces cuadradas

Por qué está mal: La ecuación cos⁡2θ=1625\cos^2\theta = \frac{16}{25} da cos⁡θ=±45\cos\theta = \pm\frac{4}{5}. Los estudiantes a menudo olvidan determinar qué signo aplica.

Correcto: Siempre verifica en qué cuadrante está el ángulo para determinar el signo de la función trig.

Escribir sin⁡2θ\sin^2\theta como sin⁡θ2\sin\theta^2

Por qué está mal: sin⁡2θ\sin^2\theta significa (sin⁡θ)2(\sin\theta)^2, no sin⁡(θ2)\sin(\theta^2). La notación es una abreviatura para elevar al cuadrado el resultado de la función seno.

Correcto: sin⁡2θ=(sin⁡θ)2\sin^2\theta = (\sin\theta)^2, significa "encuentra el seno de theta, luego eleva al cuadrado el resultado."

Aplicar una identidad donde una función no está definida

Por qué está mal: La identidad 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta no está definida cuando cos⁡θ=0\cos\theta = 0 (en θ=90°,270°\theta = 90°, 270°, etc.).

Correcto: Verifica que las funciones en la identidad estén definidas para el ángulo dado.

Visual interactivo

Círculo unitario

Grados

0°

Radianes

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordenadas (cos, sin)

(1, 0)

Haz clic y arrastra para rotar el ángulo alrededor del círculo unitario.

Trigonometria del triangulo rectangulo

θ =30°
5°45°85°
sin(θ)
0.5
Opu / Hip
cos(θ)
√3/2
Ady / Hip
tan(θ)
√3/3
Opu / Ady

Recuerda: SOH-CAH-TOA

SOH

Sin = Opp / Hyp

CAH

Cos = Adj / Hyp

TOA

Tan = Opp / Adj

Haz clic en sin, cos o tan para resaltar los lados relevantes del triangulo.

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

Aún no hay cálculos

Problemas de práctica

15 problemas
Problema 1 de 15
Fácil
¿Cuál es la identidad pitagórica fundamental?

Por qué es importante

Las identidades pitagóricas son herramientas esenciales en trigonometría:
  • Simplificar expresiones: Convertir entre funciones trig para simplificar expresiones complejas
  • Resolver ecuaciones: Transformar ecuaciones trigonométricas en formas resolubles
  • Cálculo: Usadas extensivamente en integración y diferenciación
  • Física: Aparecen en ecuaciones de ondas, oscilaciones y teoría electromagnética
  • Verificar identidades: Sirven como bloques de construcción para probar otras identidades trig
¡Sin estas identidades, muchas técnicas matemáticas avanzadas serían imposibles!

Aplicaciones del mundo real

Procesamiento de señales

Los ingenieros usan identidades pitagóricas al analizar señales de radio y audio modeladas por ondas seno y coseno.

Ejemplo:

Al combinar dos señales Asin⁡θA\sin\theta y Acos⁡θA\cos\theta, la potencia total es A2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=A2A^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = A^2, que es constante.

1Inténtalo tú mismo

Una señal tiene componentes 3sin⁡θ3\sin\theta y 4cos⁡θ4\cos\theta.

¿Cuál es la amplitud total?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa (3)2+(4)2(3)^2 + (4)^2 para encontrar el cuadrado de la amplitud:

Física: Movimiento armónico simple

La posición y velocidad de un objeto oscilante están relacionadas por seno y coseno. Su relación energética usa la identidad pitagórica.

Ejemplo:

Si la posición es x=Acos⁡(ωt)x = A\cos(\omega t) y la velocidad es v=−Aωsin⁡(ωt)v = -A\omega\sin(\omega t), entonces x2A2+v2A2ω2=cos⁡2(ωt)+sin⁡2(ωt)=1\frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{A^2\omega^2} = \cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t) = 1.

2Inténtalo tú mismo

Un péndulo tiene posición x=0,6Ax = 0,6A en cierto instante.

Si la posición máxima es AA, ¿qué fracción de AωA\omega es la velocidad?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 con cos⁡θ=0,6\cos\theta = 0,6:

Puntos clave

  • 1La identidad pitagórica fundamental es sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
  • 2La división por cos⁡2θ\cos^2\theta da 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta
  • 3La división por sin⁡2θ\sin^2\theta da 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta
  • 4Estas identidades permiten convertir entre funciones trig y simplificar expresiones
  • 5Siempre considera el cuadrante al sacar raíces cuadradas

Preguntas frecuentes

Se derivan del teorema de Pitágoras a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2. En el círculo unitario, los catetos son cos⁡θ\cos\theta y sin⁡θ\sin\theta, y la hipotenusa es 1.
Se derivan del teorema de Pitágoras a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2. En el círculo unitario, los catetos son cos⁡θ\cos\theta y sin⁡θ\sin\theta, y la hipotenusa es 1.
La identidad fundamental sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 funciona para todos los ángulos. Las otras dos identidades funcionan excepto donde tan, cot, sec o csc no están definidas (división por cero).
Memoriza solo sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1. Deriva las otras según sea necesario dividiendo por cos⁡2θ\cos^2\theta o sin⁡2θ\sin^2\theta.

Glosario

Identidad pitagórica
Una ecuación trigonométrica derivada del teorema de Pitágoras, relacionando cuadrados de funciones trig
Círculo unitario
Un círculo con radio 1 centrado en el origen, donde cualquier punto es (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)
Secante
sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, el recíproco del coseno
Cosecante
csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, el recíproco del seno
Cotangente
cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}, el recíproco de la tangente

Tarjeta de fórmulas

Identidad fundamental

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

La suma de seno cuadrado y coseno cuadrado siempre es igual a 1

Identidad tangente-secante

1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta

Derivada dividiendo la identidad fundamental por $\cos^2\theta$

Identidad cotangente-cosecante

1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta

Derivada dividiendo la identidad fundamental por $\sin^2\theta$

Reto de hoyUn problema, tres intentos

Más sobre este tema

Identidades recíprocas

Avanzado25 min

Identidades trigonométricas pares e impares

Avanzado25 min

Identidades de cofunciones

Avanzado25 min

Identidades del ángulo doble

Avanzado30 min