Identidades recíprocas

Aprende las funciones trigonométricas recíprocas (cosecante, secante, cotangente) y sus relaciones con seno, coseno y tangente.

Avanzado25 minLección
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Definición

Las identidades recíprocas definen tres funciones trigonométricas adicionales en términos de seno, coseno y tangente.

Las funciones recíprocas

csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

¿Por qué recíproco?

Un recíproco es aquello por lo que multiplicas un número para obtener 1. El recíproco de xx es 1x\frac{1}{x}.
Como sin⁡θ⋅csc⁡θ=1\sin\theta \cdot \csc\theta = 1, la cosecante es el recíproco del seno.

En un triángulo rectángulo

Si sin⁡θ=opuestohipotenusa\sin\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}, entonces:
csc⁡θ=hipotenusaopuesto\csc\theta = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{opuesto}}
De manera similar:
  • sec⁡θ=hipotenusaadyacente\sec\theta = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{adyacente}}
  • cot⁡θ=adyacenteopuesto\cot\theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{opuesto}}

Pruébalo ahora

¿Cuál es la identidad recíproca para la cosecante?

Ejemplos resueltos

Encuentra csc⁡30°\csc 30° y sec⁡60°\sec 60°
1

Recuerda sin⁡30°\sin 30°

sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2}
2

Aplica la identidad recíproca

csc⁡30°=1sin⁡30°=112\csc 30° = \frac{1}{\sin 30°} = \frac{1}{\frac{1}{2}} → csc⁡30°=2\csc 30° = 2
3

Recuerda cos⁡60°\cos 60°

cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}
4

Aplica la identidad recíproca

sec⁡60°=1cos⁡60°=112\sec 60° = \frac{1}{\cos 60°} = \frac{1}{\frac{1}{2}} → sec⁡60°=2\sec 60° = 2

Errores comunes

Confundir csc⁡θ\csc\theta con cos⁡θ\cos\theta

Por qué está mal: Las abreviaturas se parecen, pero son funciones completamente diferentes. La cosecante es el recíproco del seno, no está directamente relacionada con el coseno.

Correcto: Recuerda: csc⁡\csc (co-secante) se relaciona con sin⁡\sin (su co-función). Piensa: csc = 1/sin

Pensar que cot⁡θ=1cos⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\cos\theta}

Por qué está mal: El prefijo co no significa relacionado con el coseno para todas las funciones. La cotangente es específicamente el recíproco de la tangente.

Correcto: cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Olvidar que las funciones recíprocas son indefinidas cuando sus contrapartes son cero

Por qué está mal: La división entre cero es indefinida. Cuando sin⁡θ=0\sin\theta = 0, csc⁡θ\csc\theta no existe.

Correcto: csc⁡θ\csc\theta es indefinida en θ=0°,180°,360°,...\theta = 0°, 180°, 360°, ... (donde sin⁡θ=0\sin\theta = 0)

Visual interactivo

Gráfica de la función

-300-200-1000100200300-4-2024xyx = -360x = -180x = 0x = 180x = 360x = -270x = -90x = 90x = 270x = -270x = -90x = 90x = 270x = -360x = -180x = 0x = 180x = 360

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

  • sin(a) · csc(a) = 1
  • cos(a) · sec(a) = 1
  • tan(a) · cot(a) = 1
  • csc(a) = 2
  • sec(a) = 1,15
  • cot(a) = 1,73

Toca un nombre para mostrar u ocultar su gráfica.

Asíntota

Círculo unitario

Grados

0°

Radianes

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordenadas (cos, sin)

(1, 0)

Haz clic y arrastra para rotar el ángulo alrededor del círculo unitario.

Sandbox interactivo

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Cuál es la identidad recíproca para la cosecante?

Por qué es importante

Las identidades recíprocas son esenciales para:
  • Simplificar expresiones: Muchas expresiones trigonométricas complejas se simplifican al reescribirlas usando recíprocos
  • Resolver ecuaciones: Algunas ecuaciones trigonométricas son más fáciles de resolver en forma recíproca
  • Cálculo: Las derivadas e integrales de las funciones recíprocas aparecen frecuentemente
  • Física e ingeniería: El movimiento ondulatorio, las oscilaciones y el procesamiento de señales usan estas funciones
  • Verificar identidades: Demostrar identidades trigonométricas a menudo requiere convertir entre formas

Aplicaciones del mundo real

Ingeniería eléctrica

Las funciones trigonométricas recíprocas aparecen en el análisis de circuitos de corriente alterna, particularmente al calcular impedancia y ángulos de fase en circuitos RLC.

Ejemplo:

En el análisis de circuitos, la función cotangente describe la relación de fase entre voltaje y corriente en ciertos circuitos reactivos.

Física - Movimiento de proyectiles

Al analizar el alcance y la trayectoria de proyectiles, la secante y la cosecante aparecen en fórmulas que involucran ángulos de lanzamiento.

Ejemplo:

La altura máxima de un proyectil puede involucrar csc⁡2θ\csc^2\theta al derivar ciertas relaciones.

Navegación y topografía

Los topógrafos y navegantes usan funciones recíprocas al calcular distancias y ángulos que son más fáciles de medir indirectamente.

Ejemplo:

Al medir la altura de un edificio alto, csc⁡θ\csc\theta puede aparecer al trabajar con el ángulo medido desde una distancia conocida.

Puntos clave

  • 1csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} (la cosecante es el recíproco del seno)
  • 2sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} (la secante es el recíproco del coseno)
  • 3cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} (la cotangente es el recíproco de la tangente)
  • 4Las funciones recíprocas son indefinidas cuando sus contrapartes son iguales a cero
  • 5Memoriza: sin-csc, cos-sec, tan-cot son pares recíprocos

Preguntas frecuentes

Las funciones recíprocas simplifican muchos cálculos. Escribir csc⁡θ\csc\theta es más limpio que 1sin⁡θ\frac{1}{\sin\theta}, y muchas fórmulas se vuelven más elegantes. En cálculo, las derivadas de estas funciones tienen patrones distintos que vale la pena conocer.
Las funciones recíprocas simplifican muchos cálculos. Escribir csc⁡θ\csc\theta es más limpio que 1sin⁡θ\frac{1}{\sin\theta}, y muchas fórmulas se vuelven más elegantes. En cálculo, las derivadas de estas funciones tienen patrones distintos que vale la pena conocer.
Observa que las funciones sin co se emparejan con funciones que tienen co: seno se empareja con co-secante, y co-seno se empareja con secante. Tangente se empareja con co-tangente.
sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} es indefinida cuando cos⁡θ=0\cos\theta = 0, lo que ocurre en θ=90°,270°\theta = 90°, 270° (o π2,3π2\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} radianes).

Glosario

Recíproco
El inverso multiplicativo de un número; para xx, el recíproco es 1x\frac{1}{x}
Cosecante (csc⁡\csc)
El recíproco del seno: csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
Secante (sec⁡\sec)
El recíproco del coseno: sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
Cotangente (cot⁡\cot)
El recíproco de la tangente: cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}
Identidad
Una ecuación que es verdadera para todos los valores válidos de la variable

Tarjeta de fórmulas

Cosecante

csc⁡θ=1sin⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}

El recíproco del seno

Secante

sec⁡θ=1cos⁡θ\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}

El recíproco del coseno

Cotangente

cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

El recíproco de la tangente

Cotangente (alt)

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Expresada como una razón

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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