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Mathorio

Soluciones

Identidades de suma y diferencia

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

  1. 1.
    ¿Qué expresión es igual a sin⁡(A+B)\sin(A + B)?
    1. a)sin⁡Asin⁡B+cos⁡Acos⁡B\sin A \sin B + \cos A \cos B
    2. b)cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B - \sin A \sin B
    3. c)sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin A \cos B + \cos A \sin B
    4. d)sin⁡A+sin⁡B\sin A + \sin B

    Respuesta: sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin A \cos B + \cos A \sin B

    sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B. La opción sin⁡A+sin⁡B\sin A + \sin B es el error clásico, y cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B - \sin A \sin B es cos⁡(A+B)\cos(A + B).

  2. 2.
    Simplifica sin calculadora: sin⁡70∘cos⁡20∘+cos⁡70∘sin⁡20∘\sin 70^\circ \cos 20^\circ + \cos 70^\circ \sin 20^\circ

    Respuesta: 1

    Es la identidad de suma del seno al revés: sin⁡(70∘+20∘)=sin⁡90∘=1\sin(70^\circ + 20^\circ) = \sin 90^\circ = 1.

  3. 3.
    Usa la identidad de diferencia del coseno para hallar cos⁡(90∘−30∘)\cos(90^\circ - 30^\circ).

    Respuesta: 12\frac{1}{2}

    1. ¿Cuánto vale cos⁡90∘\cos 90^\circ? 0
    2. ¿Cuánto vale sin⁡90∘\sin 90^\circ? 1
    3. Calcula cos⁡90∘cos⁡30∘+sin⁡90∘sin⁡30∘\cos 90^\circ \cos 30^\circ + \sin 90^\circ \sin 30^\circ. 1/2
  4. 4.
    ¿Qué expresión es igual a cos⁡(A−B)\cos(A - B)?
    1. a)sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin A \cos B - \cos A \sin B
    2. b)cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B - \sin A \sin B
    3. c)cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B + \sin A \sin B
    4. d)cos⁡A−cos⁡B\cos A - \cos B

    Respuesta: cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos A \cos B + \sin A \sin B

    cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B. Con signo menos sería cos⁡(A+B)\cos(A + B), y sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin A \cos B - \cos A \sin B es sin⁡(A−B)\sin(A - B).

  5. 5.
    Simplifica sin calculadora: cos⁡50∘cos⁡10∘−sin⁡50∘sin⁡10∘\cos 50^\circ \cos 10^\circ - \sin 50^\circ \sin 10^\circ

    Respuesta: 1/2

    cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B=cos⁡(A+B)\cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos(A + B), así que la expresión es cos⁡(50∘+10∘)=cos⁡60∘=12\cos(50^\circ + 10^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.

  6. 6.
    Halla sin⁡105∘\sin 105^\circ con 105∘=60∘+45∘105^\circ = 60^\circ + 45^\circ.

    Respuesta: 6+24\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

    1. Calcula sin⁡60∘cos⁡45∘=32⋅22\sin 60^\circ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (exacto, como sqrt(6)/4, o con 4 decimales). 0.6124
    2. Calcula cos⁡60∘sin⁡45∘=12⋅22\cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (exacto o con 4 decimales). 0.3536
    3. Suma los productos exactos 64+24\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} y redondea solo al final (sumar los productos redondeados da 0,9660). Da sin⁡105∘\sin 105^\circ redondeado a 4 decimales. 0.9659
  7. 7.
    ¿Cuál es el valor exacto de sin⁡75∘\sin 75^\circ?
    1. a)3+14\frac{\sqrt{3} + 1}{4}
    2. b)12+22\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}
    3. c)6−24\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
    4. d)6+24\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

    Respuesta: 6+24\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

    sin⁡75∘=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘=64+24=6+24≈0,9659\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659. La opción 12+22\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} es sin⁡30∘+sin⁡45∘≈1,21\sin 30^\circ + \sin 45^\circ \approx 1{,}21, mayor que 1, así que no puede ser un seno.

  8. 8.
    Usa tan⁡(45∘−30∘)\tan(45^\circ - 30^\circ) con tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1 y tan⁡30∘=33\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} para hallar tan⁡15∘\tan 15^\circ. Redondea a 4 decimales.

    Respuesta: 0.2679

    tan⁡15∘=1−331+33=3−33+3=2−3≈0,2679\tan 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}2679.

  9. 9.
    sin⁡A=513\sin A = \frac{5}{13} con AA en el cuadrante I, y cos⁡B=−35\cos B = -\frac{3}{5} con BB en el cuadrante II. Halla sin⁡(A+B)\sin(A + B).

    Respuesta: 3365\frac{33}{65}

    1. ¿Cuánto vale cos⁡A\cos A? 12/13
    2. ¿Cuánto vale sin⁡B\sin B? 4/5
    3. Calcula sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B como fracción. 33/65
  10. 10.
    Halla cos⁡75∘\cos 75^\circ con 75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ.

    Respuesta: 6−24\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

    1. Calcula cos⁡45∘cos⁡30∘=22⋅32\cos 45^\circ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} (exacto o con 4 decimales). 0.6124
    2. Calcula sin⁡45∘sin⁡30∘=22⋅12\sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} (exacto o con 4 decimales). 0.3536
    3. Resta el segundo producto del primero. Da cos⁡75∘\cos 75^\circ redondeado a 4 decimales. 0.2588
  11. 11.
    ¿Qué valor es igual a cos⁡80∘cos⁡20∘+sin⁡80∘sin⁡20∘\cos 80^\circ \cos 20^\circ + \sin 80^\circ \sin 20^\circ?
    1. a)cos⁡60∘\cos 60^\circ
    2. b)sin⁡100∘\sin 100^\circ
    3. c)cos⁡100∘\cos 100^\circ
    4. d)sin⁡60∘\sin 60^\circ

    Respuesta: cos⁡60∘\cos 60^\circ

    cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B=cos⁡(A−B)\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B), así que la expresión es cos⁡(80∘−20∘)=cos⁡60∘\cos(80^\circ - 20^\circ) = \cos 60^\circ. Elegir cos⁡100∘\cos 100^\circ es conservar el signo por error.

  12. 12.
    sin⁡A=45\sin A = \frac{4}{5} y cos⁡B=1213\cos B = \frac{12}{13}, con AA y BB en el cuadrante I. Halla cos⁡(A+B)\cos(A + B) como fracción.

    Respuesta: 16/65

    cos⁡(A+B)=35⋅1213−45⋅513=3665−2065=1665\cos(A + B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{36}{65} - \frac{20}{65} = \frac{16}{65}.

  13. 13.
    tan⁡A=2\tan A = 2 y tan⁡B=3\tan B = 3, con AA y BB ángulos agudos. Halla tan⁡(A+B)\tan(A + B) y el ángulo A+BA + B.

    Respuesta: tan⁡(A+B)=−1\tan(A + B) = -1, A+B=135∘A + B = 135^\circ

    1. ¿Cuánto vale el numerador tan⁡A+tan⁡B\tan A + \tan B? 5
    2. ¿Cuánto vale el denominador 1−tan⁡Atan⁡B1 - \tan A \tan B? -5
    3. ¿Cuánto vale tan⁡(A+B)\tan(A + B)? -1
    4. A+BA + B está entre 0∘0^\circ y 180∘180^\circ. ¿Qué ángulo de ese intervalo tiene tangente −1-1? (en grados) 135
  14. 14.
    sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} con AA en el cuadrante I. Usa cos⁡(A+B)\cos(A + B) con B=AB = A para hallar cos⁡2A\cos 2A.

    Respuesta: 725\frac{7}{25}

    1. ¿Cuánto vale cos⁡A\cos A? 4/5
    2. ¿Cuánto vale cos⁡Acos⁡A\cos A \cos A? 16/25
    3. ¿Cuánto vale sin⁡Asin⁡A\sin A \sin A? 9/25
    4. ¿Cuánto vale cos⁡2A=cos⁡Acos⁡A−sin⁡Asin⁡A\cos 2A = \cos A \cos A - \sin A \sin A? 7/25
  15. 15.
    ¿Cuál es el valor exacto de cos⁡165∘\cos 165^\circ? (Pista: 165∘=120∘+45∘165^\circ = 120^\circ + 45^\circ)
    1. a)6−24\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
    2. b)6+24\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
    3. c)2−64\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
    4. d)−6+24-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

    Respuesta: −6+24-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

    cos⁡165∘=cos⁡120∘cos⁡45∘−sin⁡120∘sin⁡45∘=−24−64=−6+24≈−0,9659\cos 165^\circ = \cos 120^\circ \cos 45^\circ - \sin 120^\circ \sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx -0{,}9659. Debe ser negativo y cercano a −1-1, porque 165∘165^\circ está cerca de 180∘180^\circ.

  16. 16.
    cos⁡A=−35\cos A = -\frac{3}{5} con AA en el cuadrante II, y sin⁡B=−513\sin B = -\frac{5}{13} con BB en el cuadrante III. Halla sin⁡(A−B)\sin(A - B) como fracción.

    Respuesta: -63/65

    sin⁡A=45\sin A = \frac{4}{5} y cos⁡B=−1213\cos B = -\frac{12}{13}. sin⁡(A−B)=45⋅(−1213)−(−35)⋅(−513)=−4865−1565=−6365\sin(A - B) = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) - \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{48}{65} - \frac{15}{65} = -\frac{63}{65}.

  17. 17.
    cos⁡A=−45\cos A = -\frac{4}{5} con AA en el cuadrante III, y sin⁡B=1213\sin B = \frac{12}{13} con BB en el cuadrante II. Halla cos⁡(A+B)\cos(A + B).

    Respuesta: 5665\frac{56}{65}

    1. ¿Cuánto vale sin⁡A\sin A? -3/5
    2. ¿Cuánto vale cos⁡B\cos B? -5/13
    3. Calcula cos⁡(A+B)=cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B como fracción. 56/65
  18. 18.
    Halla tan⁡105∘\tan 105^\circ con 105∘=60∘+45∘105^\circ = 60^\circ + 45^\circ.

    Respuesta: −2−3-2 - \sqrt{3}

    1. ¿Cuánto vale el numerador tan⁡60∘+tan⁡45∘\tan 60^\circ + \tan 45^\circ? (exacto, como sqrt(3)+1, o con 4 decimales) 2.7321
    2. ¿Cuánto vale el denominador 1−tan⁡60∘tan⁡45∘1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ (exacto o con 4 decimales)? -0.7321
    3. Divide los valores exactos 3+11−3\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} y redondea solo al final (con los valores redondeados sale -3,7319). Da tan⁡105∘\tan 105^\circ redondeado a 4 decimales. -3.7321
Lección interactiva con soluciones paso a paso y más práctica (gratis): mathorio.com/es/learn/trigonometry/identities/sum-difference-identities
Reto de hoyUn problema, tres intentos