Guía del profesor: Identidades de suma y diferencia

Aprende las identidades de suma y diferencia del seno, el coseno y la tangente, halla valores exactos como sen 75° y combina ángulos de cuadrantes distintos.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Identidades trigonométricas. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Enunciar las identidades de suma y diferencia del seno, el coseno y la tangente
Hallar valores exactos de ángulos como 15°, 75°, 105° y 165° a partir de ángulos notables
Calcular sen(A + B), cos(A + B) y tan(A + B) a partir de valores dados, usando los signos de los cuadrantes
Reconocer una expresión desarrollada como sen 70° cos 20° + cos 70° sen 20° y simplificarla
Deducir las identidades del ángulo doble a partir de las identidades de suma

Requisitos previos

• Valores exactos de sen, cos y tan para 30°, 45°, 60° y la circunferencia unitaria
• Identidades pitagóricas: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
• Signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes
• Identidades de cofunción e identidades pares e impares
• Simplificar fracciones con raíces cuadradas

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué sen 30° + sen 60° no puede ser el seno de ningún ángulo?
2. ¿Por qué la fórmula del coseno cambia el signo y la del seno lo conserva? Prueba con A = B = 45°.
3. 75° = 45° + 30° y 75° = 120° - 45°. ¿Dan los dos el mismo valor exacto? ¿Por qué?
4. ¿Cómo obtienes las identidades del ángulo doble a partir de las de suma en un solo paso?
5. ¿En qué situaciones reales se suman dos ángulos y dónde necesitarías estas fórmulas?

Conceptos erróneos comunes

Las funciones trigonométricas se reparten sobre una suma: $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Remediación: Prueba con $A = 30^\circ$ , $B = 60^\circ$ : el lado izquierdo vale 1 y el derecho unos 1,366. Después usa la gráfica con deslizadores: la curva roja $\sin x + \sin b$ se separa de $\sin(x + b)$ para todo $b$ salvo $0^\circ$ .

Los signos de todas las fórmulas siguen el signo entre A y B

Remediación: Pide a los alumnos que prueben $\cos(45^\circ + 45^\circ) = \cos 90^\circ = 0$ con las dos opciones de signo. Solo la versión con menos da 0. Resumen: el seno conserva, el coseno cambia, la tangente conserva arriba y cambia abajo.

Un valor obtenido con $\sqrt{1 - \sin^2 A}$ siempre es positivo

Remediación: Antes de calcular, dibujar el ángulo en su cuadrante en la circunferencia unitaria y escribir primero el signo. Comparar la respuesta final con la calculadora usando el ángulo real.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar una tarjeta de fórmulas y una tabla de valores notables, empezar solo con seno y coseno de una suma
• Practicar solo valores exactos (75°, 15°) antes de los problemas de cuadrantes
• Comprobar cada resultado exacto con la calculadora para ganar confianza

Para estudiantes de nivel:

• Hallar todos los valores exactos de 15°, 75°, 105°, 165° para seno, coseno y tangente
• Resolver problemas de cuadrantes para sen(A ± B) y cos(A ± B)
• Simplificar expresiones reconociendo una identidad desarrollada

Para estudiantes avanzados:

• Demostrar la identidad de cos(A - B) con la fórmula de la distancia en la circunferencia unitaria
• Deducir la fórmula del ángulo triple sen 3A = 3 sen A - 4 sen³A a partir de sen(2A + A)
• Escribir a cos t + b sen t como una sola onda R sen(t + φ) y hallar R y φ

Alineación con estándares

F-TF.C.9 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C.9)
Demostrar las fórmulas de suma y diferencia del seno, el coseno y la tangente y usarlas para resolver problemas
F-TF.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.A.3)
Usar triángulos especiales para determinar geométricamente el seno, el coseno y la tangente de π/3, π/4 y π/6

Recursos de la lección

visualGráfica de la identidad de suma
Deslizadores para a y b muestran que sen(a + b) es igual a sen a cos b + cos a sen b, pero no a sen a + sen b
visualDemostraciones paso a paso
Deduce sen(x + 90°) = cos x, cos(180° - x) = -cos x y tan(x + 45°) regla a regla, con comprobación numérica
activityCaza de valores exactos
Los grupos construyen 15°, 75°, 105°, 165° de dos maneras distintas a partir de ángulos notables y comparan resultados
worksheetCombinaciones de cuadrantes
Dados sen A y cos B con sus cuadrantes, hallar sen(A ± B), cos(A ± B) y el cuadrante de A + B

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Las identidades de suma y diferencia dan el seno, el coseno y la tangente de

A + B

o de

A - B

a partir solo de los valores de

A

y de

B

Seno

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Coseno

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

Tangente

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Cómo recordar los signos:

El seno conserva el signo: un $+$ en $A + B$ da un $+$ en la fórmula, y mezcla seno con coseno.
El coseno cambia el signo: $A + B$ da un menos, $A - B$ da un más, y empareja coseno con coseno, seno con seno.
Tangente: el numerador conserva el signo, el denominador lo cambia.

Importante:

\sin(A + B)

no es

\sin A + \sin B

. Por ejemplo,

\sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1

, pero

\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366

Con los ángulos notables

30^\circ

45^\circ

60^\circ

, estas fórmulas dan valores exactos para ángulos nuevos como

15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

165^\circ = 120^\circ + 45^\circ

. Si pones

B = A

, obtienes las identidades del ángulo doble.

Ejemplos resueltos

Halla el valor exacto de

\sin 75^\circ

Escribe $75^\circ$ como suma de ángulos notables

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

→

A = 45^\circ

B = 30^\circ

Aplica la identidad de suma del seno

\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ

→ Dos productos de valores conocidos

Sustituye los valores exactos

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}

→

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Comprueba con la calculadora

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2{,}4495 + 1{,}4142}{4} \approx 0{,}9659

\sin 75^\circ \approx 0{,}9659

→ Los valores coinciden

Respuesta: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$

Errores comunes

Escribir $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$

Por qué está mal: El seno no es una función lineal, así que no se puede repartir sobre una suma. Con $A = 30^\circ$ y $B = 60^\circ$ : $\sin 90^\circ = 1$ , pero $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 1{,}366$ , que ni siquiera es un valor posible del seno.

Correcto: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ . Mueve los deslizadores de la gráfica: la curva roja $\sin x + \sin b$ se separa de las otras dos.

Conservar el signo en la fórmula del coseno: $\cos(A + B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Por qué está mal: El coseno cambia el signo. Pruébalo con $A = B = 45^\circ$ : $\cos 90^\circ = 0$ , pero $\cos^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ = 1$ .

Correcto: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ y $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ .

Tomar positivo cada valor que falta, por ejemplo $\cos A = \frac{4}{5}$ cuando $\sin A = \frac{3}{5}$ y $A$ está en el cuadrante II

Por qué está mal: La identidad pitagórica solo da el valor absoluto. El cuadrante decide el signo, y un signo equivocado cambia todo el resultado.

Correcto: Usa el cuadrante: en el cuadrante II el coseno es negativo, así que $\cos A = -\frac{4}{5}$ . Recuerda: cuadrante I todo positivo, II solo el seno, III solo la tangente, IV solo el coseno.

Usar $1 + \tan A \tan B$ en el denominador de $\tan(A + B)$

Por qué está mal: En la fórmula de la tangente el numerador conserva el signo pero el denominador lo cambia, igual que en la fórmula del coseno.

Correcto: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ y $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ .

Por qué es importante

Las identidades de suma y diferencia son las fórmulas madre de casi todas las demás identidades trigonométricas:

Valores exactos: la calculadora da $\sin 75^\circ \approx 0{,}9659$ , pero la identidad da el valor exacto $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , que es lo que piden los exámenes y las demostraciones.
Más identidades: el ángulo doble, el ángulo mitad y las cofunciones salen todas de ellas (pon $B = A$ o $A = 90^\circ$ ).
Ondas y sonido: en física se reescribe $3\sin t + 4\cos t$ como una sola onda $5\sin(t + \varphi)$ para leer su amplitud.
Rotaciones: todo videojuego y todo brazo robótico gira puntos con $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ e $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ , que es justo la identidad de suma.
Ángulos entre rectas: la identidad de diferencia de la tangente da el ángulo entre dos carreteras, rampas o líneas de tejado directamente a partir de sus pendientes.

Aplicaciones del mundo real

Combinar dos ondas

En física y electrónica, una suma como $3\sin t + 4\cos t$ describe dos ondas superpuestas. La identidad de suma del seno muestra que es una sola onda $R\sin(t + \varphi)$, y $R$ es su amplitud (lo fuerte que es).

Ejemplo:

$R\sin(t + \varphi) = R\cos\varphi \sin t + R\sin\varphi \cos t$ . Al comparar con $3\sin t + 4\cos t$ se obtiene $R\cos\varphi = 3$ y $R\sin\varphi = 4$ .

1Inténtalo tú mismo

Una señal es $3\sin t + 4\cos t$ . Quieres escribirla como $R\sin(t + \varphi)$ con $R > 0$ .

¿Cuál es la amplitud $R$ ?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $R^2 = (R\cos\varphi)^2 + (R\sin\varphi)^2$ :

Girar puntos en videojuegos y robótica

Un punto a distancia $r$ y con ángulo $\alpha$ tiene coordenadas $x = r\cos\alpha$, $y = r\sin\alpha$. Girarlo $\beta$ da el ángulo $\alpha + \beta$, y las identidades de suma lo convierten en las fórmulas de rotación $x' = x\cos\beta - y\sin\beta$ e $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$.

Ejemplo:

Girar $(1, 0)$ un ángulo de $90^\circ$ : $x' = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0$ e $y' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$ , así que el punto pasa a $(0, 1)$ .

2Inténtalo tú mismo

Un brazo robótico sostiene una herramienta en $(4, 3)$ . Gira un ángulo $\beta$ con $\cos\beta = 0{,}8$ y $\sin\beta = 0{,}6$ .

¿Cuál es la nueva coordenada $y$ de la herramienta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $y' = x\sin\beta + y\cos\beta$ :

El ángulo entre dos carreteras

Una recta de pendiente $m$ forma con el eje $x$ un ángulo $\theta$ con $\tan\theta = m$. La identidad de diferencia de la tangente da el ángulo entre dos rectas directamente a partir de sus pendientes, algo que usan los urbanistas para cruces, rampas y tejados.

Ejemplo:

Rectas de pendientes $1$ y $0$ : $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$ , así que se cortan a $45^\circ$ .

3Inténtalo tú mismo

En un mapa, una carretera tiene pendiente $3$ y otra carretera tiene pendiente $\frac{1}{2}$ .

¿Qué ángulo forman las carreteras, en grados?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$ con $\tan\alpha = 3$ , $\tan\beta = \frac{1}{2}$ :

Puntos clave

1 $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ : el seno conserva el signo y mezcla seno con coseno
2 $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ : el coseno cambia el signo
3 $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ : el numerador conserva el signo, el denominador lo cambia
4Los valores exactos de $15^\circ$ , $75^\circ$ , $105^\circ$ , $165^\circ$ salen de sumas y diferencias de $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ (y $120^\circ$ , $135^\circ$ )
5Con ángulos de otros cuadrantes, halla el seno o coseno que falta con la identidad pitagórica y toma el signo del cuadrante
6 $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$ ; con $B = A$ se obtienen las identidades del ángulo doble

Preguntas frecuentes

¿Por qué no hay una regla sencilla como $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ ?

Porque el seno no es una función lineal. Duplicar un ángulo no duplica su seno:

\sin 30^\circ = 0{,}5

, pero

\sin 60^\circ \approx 0{,}866

, no

1

. La identidad de suma es la sustituta correcta de esa regla falsa.

¿Qué relación hay entre las identidades de suma y las del ángulo doble?

Pon

B = A

. Entonces

\sin(2A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A

\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A

. La fórmula de la tangente da

\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}

¿Qué par de ángulos notables debo usar?

Sirve cualquier par que dé el ángulo:

75^\circ = 45^\circ + 30^\circ

15^\circ = 45^\circ - 30^\circ

60^\circ - 45^\circ

105^\circ = 60^\circ + 45^\circ

165^\circ = 120^\circ + 45^\circ

135^\circ + 30^\circ

. Pares distintos llevan al mismo valor final.

¿Cuándo no está definida $\tan(A + B)$ ?

Cuando

1 - \tan A \tan B = 0

, es decir, cuando

\tan A \tan B = 1

. Entonces

A + B

vale

90^\circ

270^\circ

), donde la tangente no existe. Ejemplo:

\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1

30^\circ + 60^\circ = 90^\circ

Glosario

Identidad de suma: Una fórmula para una función trigonométrica de $A + B$ , por ejemplo $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
Identidad de diferencia: Una fórmula para una función trigonométrica de $A - B$ , por ejemplo $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
Valor exacto: Un valor escrito con enteros, fracciones y raíces, como $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ , en lugar de un decimal redondeado
Ángulos notables: $30^\circ$ , $45^\circ$ y $60^\circ$ (y sus parientes en la circunferencia unitaria), cuyo seno, coseno y tangente se conocen exactamente
Signo según el cuadrante: El signo de un valor trigonométrico en cada cuadrante: I todo positivo, II seno, III tangente, IV coseno

Tarjeta de fórmulas

Seno de una suma

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

Conserva el signo, mezcla seno y coseno

Seno de una diferencia

\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Menos entre los dos productos

Coseno de una suma

\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

El signo cambia a menos

Coseno de una diferencia

\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

El signo cambia a más

Tangente de una suma

\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

El numerador conserva el signo, el denominador lo cambia

Tangente de una diferencia

\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

Numerador con menos, denominador con más

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Para estudiantes con dificultades:

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Definición

Seno

Coseno

Tangente

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Combinar dos ondas

Girar puntos en videojuegos y robótica

El ángulo entre dos carreteras

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Seno de una suma

Seno de una diferencia

Coseno de una suma

Coseno de una diferencia

Tangente de una suma

Tangente de una diferencia

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