Retour à la leçon

Guide de l'enseignant: Équations avec des fractions

Apprends à résoudre des équations contenant des fractions en éliminant les dénominateurs et en utilisant les opérations inverses.

Présenter la leçonPartager dans ClassroomVoir la page élève

Utiliser cette leçon en classe

Gratuit, sans compte élève.

Partager avec les élèves

Les élèves ouvrent la leçon et s'entraînent avec une correction immédiate.

Fiche d'exercices à imprimer

Tous les exercices sur papier, avec un corrigé séparé.

Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Équations. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Résoudre des équations où la variable apparaît au numérateur d'une fraction
  • Utiliser la méthode du PPCM pour éliminer les dénominateurs des équations
  • Appliquer la méthode de l'inverse pour les coefficients fractionnaires
  • Résoudre des équations avec des fractions des deux membres
  • Vérifier les solutions par substitution
Prérequis
  • • Compréhension des fractions et des opérations sur les fractions
  • • Résolution d'équations à une et deux étapes
  • • Trouver le plus petit commun multiple
  • • Propriété distributive
Amorces de discussion
  • 1. Pourquoi penses-tu que l'élimination des dénominateurs rend les équations plus faciles à résoudre ?
  • 2. Quand choisirais-tu la méthode de l'inverse plutôt que la méthode du PPCM ?
  • 3. Peux-tu penser à une situation où tu as dû résoudre une équation avec des fractions dans la vie quotidienne ?
  • 4. Que se passerait-il si on multipliait par un nombre qui n'est pas un multiple commun des dénominateurs ?
Idées reçues courantes

Penser qu'on multiplie seulement les termes fractionnaires par le PPCM

Remédiation: Montre avec la visualisation de la balance : si tu ajoutes du poids d'un côté, tu dois ajouter la même chose de l'autre. De même, multiplier un terme par le PPCM signifie que TOUS les termes sont multipliés.

Confondre 'multiplier par l'inverse' avec 'retourner l'équation'

Remédiation: Souligne qu'on multiplie les DEUX membres par l'inverse. Utilise l'équation 23x=6\frac{2}{3}x = 6 : multiplie les deux membres par 32\frac{3}{2} pour obtenir x=9x = 9.

Penser que le PPCM doit être le produit de tous les dénominateurs

Remédiation: Montre des exemples où le PPCM est plus petit : le PPCM de 4 et 6 est 12, pas 24. Utilise la décomposition en facteurs premiers ou liste les multiples pour trouver le PLUS PETIT commun multiple.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Commence avec des équations où une seule fraction apparaît
  • • Utilise des barres de fractions visuelles pour montrer les fractions équivalentes
  • • Fournis des tableaux de référence du PPCM pour les dénominateurs courants
  • • Pratique l'élimination des dénominateurs sans résoudre d'abord

Pour les élèves au niveau:

  • • Résous des équations avec des fractions des deux membres
  • • Mélange des problèmes nécessitant les méthodes du PPCM et de l'inverse
  • • Inclus des problèmes concrets avec des équations fractionnaires

Pour les élèves avancés:

  • • Équations avec des variables aux dénominateurs
  • • Équations à plusieurs étapes combinant fractions et développement
  • • Établir des formules à partir de problèmes concrets impliquant des taux
Alignement aux standards
  • 7.EE.B.4a (CCSS.MATH.CONTENT.7.EE.B.4.A)

    Résoudre des problèmes concrets menant à des équations de la forme px + q = r et p(x + q) = r

  • 8.EE.C.7b (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.C.7.B)

    Résoudre des équations linéaires avec des coefficients rationnels

Ressources de la leçon
  • visualOutil de recherche du PPCM

    Outil interactif pour trouver le PPCM de plusieurs dénominateurs

  • activityAssocier les équations fractionnaires

    Associe les équations à leurs solutions

  • worksheetExercices d'adaptation de recettes

    Problèmes concrets impliquant des équations fractionnaires

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une équation avec des fractions contient une ou plusieurs fractions avec des variables. Pour résoudre ces équations, on élimine les dénominateurs en multipliant chaque terme par le Plus Petit Commun Multiple (PPCM).
Stratégie générale :
  1. 1.Trouve le PPCM de tous les dénominateurs
  2. 2.Multiplie chaque terme par le PPCM
  3. 3.Simplifie (les fractions disparaissent !)
  4. 4.Résous l'équation obtenue
  5. 5.Vérifie ta réponse
Exemple :
x2+13=56\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}
Le PPCM de 2, 3 et 6 est 6. Multiplie chaque terme par 6 :
6⋅x2+6⋅13=6⋅566 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{1}{3} = 6 \cdot \frac{5}{6}
3x+2=53x + 2 = 5
3x=33x = 3
x=1x = 1

Exemples résolus

Résous : x4=3\frac{x}{4} = 3
1

Identifie l'opération appliquée à x

xx est divisé par 4 → Division par 4
2

Applique l'opération inverse

Multiplie les deux membres par 4 → 4⋅x4=4⋅34 \cdot \frac{x}{4} = 4 \cdot 3
3

Simplifie

x=12x = 12
4

Vérifie

124=3\frac{12}{4} = 3 ✓ → Solution vérifiée

Erreurs courantes

Multiplier seulement certains termes par le PPCM

Pourquoi c'est faux: Lors de l'élimination des dénominateurs, tu dois multiplier CHAQUE terme (y compris les nombres entiers) par le PPCM pour garder l'équation équilibrée.

Correct: Dans x2+x3=5\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5, multiplie TOUS les termes par 6, y compris le 5 : 6⋅x2+6⋅x3=6⋅56 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot 5 donne 3x+2x=303x + 2x = 30, pas 3x+2x=53x + 2x = 5

Oublier de développer après avoir éliminé les fractions

Pourquoi c'est faux: Quand tu multiplies x+14\frac{x + 1}{4} par 12, tu obtiens 3(x+1)3(x + 1) : le 3 multiplie tout le numérateur, donc xx et 11.

Correct: 12⋅x+14=3(x+1)=3x+312 \cdot \frac{x + 1}{4} = 3(x + 1) = 3x + 3, pas 3x+13x + 1

Utiliser un mauvais PPCM

Pourquoi c'est faux: Un multiple commun plus grand (comme 24 pour 4 et 6) fonctionne aussi mais donne de plus grands nombres ; un nombre qui n'est pas un multiple commun laisse des fractions dans l'équation.

Correct: Le PPCM de 4 et 6 est 12, pas 24. Trouve le PLUS PETIT commun multiple, pas n'importe quel multiple commun.

Ne pas vérifier la réponse

Pourquoi c'est faux: Éliminer les fractions demande plusieurs multiplications, une erreur arrive vite. Quand une variable est au dénominateur, une valeur peut même rendre un dénominateur nul (solution parasite).

Correct: Remplace toujours x par ta réponse dans l'équation d'origine pour vérifier qu'elle fonctionne.

Pourquoi c'est important

Les équations avec des fractions apparaissent constamment dans la vie réelle :
  • Cuisine : Adapter une recette de 6 personnes à 4 personnes, c'est prendre 23\frac{2}{3} de chaque quantité. Si la petite version demande 2 tasses de farine, l'équation 23x=2\frac{2}{3}x = 2 donne la quantité d'origine : x=3x = 3 tasses
  • Finances : Calculer combien de temps épargner quand tu mets 14\frac{1}{4} de ton revenu de côté chaque mois
  • Sciences : Problèmes de vitesse comme dt=r\frac{d}{t} = r (distance, temps, vitesse)
  • Construction : Échelles de plans où 150\frac{1}{50} signifie résoudre x50=12\frac{x}{50} = 12
Maîtriser cette compétence ouvre des portes pour résoudre des proportions, des équations rationnelles et des problèmes concrets !

Applications dans le monde réel

Adapter les recettes

Les cuisiniers doivent souvent ajuster les recettes quand ils cuisinent pour différents nombres de personnes.

Exemple:

Une recette utilise 34\frac{3}{4} tasse de farine pour 12 biscuits. Combien de farine pour 20 biscuits ? Résous 3/412=x20\frac{3/4}{12} = \frac{x}{20}.

1Essaie par toi-même

Une recette de smoothie demande 23\frac{2}{3} tasse de baies pour 2 portions. Tu veux faire 5 portions.

De combien de tasses de baies as-tu besoin ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Établis la proportion : 2/32=x5\frac{2/3}{2} = \frac{x}{5}

Problèmes de travail partagé

Quand deux personnes travaillent ensemble, leur taux de travail combiné détermine la vitesse à laquelle elles terminent.

Exemple:

Si Marie peut peindre une pièce en 4 heures et Jean en 6 heures, ensemble ils complètent 14+16\frac{1}{4} + \frac{1}{6} de la pièce par heure.

2Essaie par toi-même

Le tuyau A remplit un réservoir en 3 heures. Le tuyau B le remplit en 6 heures. Avec les deux tuyaux ouverts, quelle fraction du réservoir se remplit en 1 heure ?

Quelle fraction du réservoir est remplie par heure ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Additionne les débits : 13+16\frac{1}{3} + \frac{1}{6}

Vitesse et distance

La formule $d = rt$ (distance = vitesse fois temps) implique souvent des fractions quand les temps ne sont pas des nombres entiers.

Exemple:

Si tu voyages 34\frac{3}{4} d'heure à 60 km/h, tu parcours 60×34=4560 \times \frac{3}{4} = 45 km.

3Essaie par toi-même

Un cycliste parcourt 15 km en 23\frac{2}{3} d'heure.

Quelle est la vitesse moyenne du cycliste en km/h ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise r=dtr = \frac{d}{t} : r=152/3r = \frac{15}{2/3}

Points clés

  • 1Pour résoudre des équations avec fractions, trouve le PPCM et multiplie chaque terme pour éliminer les dénominateurs
  • 2La méthode de l'inverse fonctionne bien quand une fraction multiplie la variable : multiplie les deux membres par l'inverse
  • 3Développe toujours soigneusement lors de l'élimination de fractions avec expressions au numérateur
  • 4Vérifie ta réponse en la substituant dans l'équation d'origine

Questions fréquentes

Pourquoi multiplions-nous par le PPCM ?

Multiplier par le PPCM élimine tous les dénominateurs d'un coup, transformant l'équation fractionnaire en une équation plus simple avec des nombres entiers. Cela rend la résolution beaucoup plus facile.

Puis-je utiliser le produit en croix à la place ?

Le produit en croix fonctionne quand tu as une proportion (une fraction égale à une autre fraction). Pour les équations avec plus de termes, utilise la méthode du PPCM.

Et si ma réponse est une fraction ?

C'est parfaitement normal ! Beaucoup d'équations avec fractions ont des solutions fractionnaires. Vérifie simplement en substituant la fraction dans l'équation d'origine.

Glossaire

PPCM (Plus Petit Commun Multiple)
Le plus petit nombre qui est un multiple de tous les dénominateurs d'une équation
Inverse
Le retournement d'une fraction ; l'inverse de ab\frac{a}{b} est ba\frac{b}{a}
Éliminer les dénominateurs
Multiplier chaque terme par le PPCM pour supprimer toutes les fractions
Solution parasite
Une solution qui émerge de la résolution mais ne satisfait pas l'équation d'origine

Carte des formules

Méthode du PPCM

Multiplier tous les termes par le PPCM

Élimine toutes les fractions d'un coup

Méthode de l'inverse

Si abx=c\frac{a}{b}x = c, alors x=c⋅bax = c \cdot \frac{b}{a}

Multiplie par l'inverse du coefficient

Produit en croix

Si ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, alors ad=bcad = bc

Uniquement pour les proportions

Plus sur ce sujet

Résoudre des équations à une étape

Intermédiaire25 min

Équations littérales

Avancé25 min

Résoudre des équations à deux étapes

Intermédiaire30 min

Résoudre des équations à plusieurs étapes

Intermédiaire25 min