Retour à la leçon

Guide de l'enseignant: Inéquations à une étape

Apprends à résoudre des inéquations qui ne nécessitent qu'une seule opération, et comprends pourquoi le signe de l'inégalité s'inverse lors d'une multiplication ou division par un nombre négatif.

Présenter la leçonPartager dans ClassroomVoir la page élève

Utiliser cette leçon en classe

Gratuit, sans compte élève.

Partager avec les élèves

Les élèves ouvrent la leçon et s'entraînent avec une correction immédiate.

Fiche d'exercices à imprimer

Tous les exercices sur papier, avec un corrigé séparé.

Fiche d'exercices Corrigé

Quiz de classe

10 questions sur Inéquations. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Résoudre des inéquations à une étape impliquant addition et soustraction
  • Résoudre des inéquations à une étape impliquant multiplication et division
  • Comprendre et appliquer la règle d'inversion du signe de l'inégalité
  • Vérifier les solutions en substituant des valeurs dans l'inéquation originale
  • Traduire des problèmes réels en inéquations à une étape et les résoudre
Prérequis
  • • Compréhension des symboles d'inégalité (<<, >>, ≤\leq, ≥\geq)
  • • Résolution d'équations à une étape
  • • Opérations avec des nombres positifs et négatifs
  • • Compréhension des opérations inverses
Amorces de discussion
  • 1. Pourquoi penses-tu que le signe de l'inégalité s'inverse quand on multiplie par un négatif ?
  • 2. Peux-tu penser à une situation de la vie réelle où tu dois connaître une valeur minimale ou maximale ?
  • 3. Quelle est la différence entre résoudre 2x=102x = 10 et 2x>102x > 10 ?
  • 4. Si x>5x > 5 et y<5y < 5, que peux-tu dire sur xx et yy ?
Idées reçues courantes

Le signe s'inverse toujours quand il y a un nombre négatif quelque part

Remédiation: Insiste : inverse SEULEMENT quand tu MULTIPLIES ou DIVISES par un négatif. Travaille des exemples comme x−5>3x - 5 > 3 (pas d'inversion) vs −x>3-x > 3 (inversion).

Penser que x>−5x > -5 signifie que xx est négatif

Remédiation: Utilise la droite numérique : x>−5x > -5 inclut 0, 1, 2, etc. Montre que les nombres positifs SONT supérieurs à −5-5.

Oublier que les inéquations ont une infinité de solutions

Remédiation: Contrairement aux équations avec une réponse, x>3x > 3 a une infinité de solutions : 4, 5, 100, 3,5, etc. Utilise la visualisation sur droite numérique.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Commence uniquement avec des coefficients positifs avant d'introduire la multiplication négative
  • • Utilise des manipulatifs physiques de balance
  • • Crée une 'Liste de vérification Inversion' : Est-ce multiplier/diviser ? Est-ce par un négatif ? Si les DEUX oui, inverse !
  • • Pratique la vérification immédiate des réponses après résolution

Pour les élèves au niveau:

  • • Résous tous les types d'inéquations à une étape
  • • Pratique l'identification du moment d'inverser le signe sans indice
  • • Traduis des problèmes écrits en inéquations

Pour les élèves avancés:

  • • Défi avec des variables du côté droit
  • • Introduction aux inéquations composées (aperçu)
  • • Prouve pourquoi le signe s'inverse en utilisant le raisonnement sur droite numérique
  • • Crée leurs propres problèmes d'inéquations de la vie réelle
Alignement aux standards
  • 7.EE.B.4b (CCSS.MATH.CONTENT.7.EE.B.4.B)

    Résoudre des problèmes menant à des inéquations et représenter graphiquement l'ensemble solution

  • 6.EE.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.6.EE.B.8)

    Écrire une inéquation pour représenter une contrainte ou condition dans un problème réel

  • 6.EE.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.6.EE.B.5)

    Comprendre la résolution d'une inéquation comme trouver des valeurs qui la rendent vraie

Ressources de la leçon
  • visualBalance interactive

    Vois comment les opérations affectent les deux côtés d'une inéquation

  • activityJeu Inverser ou pas

    Pratique pour identifier quand inverser le signe de l'inégalité

  • worksheetProblèmes d'inéquations du quotidien

    Traduis des situations en inéquations et résous-les

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une inéquation à une étape est une inéquation qui peut être résolue avec une seule opération (addition, soustraction, multiplication ou division).
Principe clé : Résous les inéquations de la même façon que les équations - effectue la même opération des deux côtés !
x+5>8⇒x>3x + 5 > 8 \quad \Rightarrow \quad x > 3
RÈGLE CRITIQUE : Lorsque tu multiplies ou divises les deux membres par un nombre négatif, tu dois INVERSER le signe de l'inégalité !
−2x>6⇒x<−3-2x > 6 \quad \Rightarrow \quad x < -3
OriginalAprès × ou ÷ par négatif
<<>>
>><<
≤\leq≥\geq
≥\geq≤\leq

Exemples résolus

Résous : x+7>12x + 7 > 12
1

Identifie l'opération

7 est ajouté à xx → Opération : addition
2

Utilise l'opération inverse

Soustrais 7 des deux côtés : x+7−7>12−7x + 7 - 7 > 12 - 7 → x>5x > 5
3

Vérifie avec une valeur

Essaie x=6x = 6 : 6+7=136 + 7 = 13, et 13>1213 > 12 ✓ → Solution vérifiée

Erreurs courantes

Oublier d'inverser le signe en divisant par un négatif

Pourquoi c'est faux: C'est l'erreur la plus courante ! Les élèves appliquent correctement les opérations inverses mais oublient cette règle spéciale.

Correct: TOUJOURS vérifier : Est-ce que je multiplie ou divise par un NÉGATIF ? Si oui, INVERSE le signe de l'inégalité !

Inverser le signe pour toute opération avec des nombres négatifs

Pourquoi c'est faux: Les élèves sur-appliquent la règle, inversant aussi lors de l'addition ou soustraction de nombres négatifs.

Correct: Inverse UNIQUEMENT lors de la MULTIPLICATION ou DIVISION par un négatif. x+(−5)>3x + (-5) > 3 ne nécessite PAS d'inversion !

Faire des opérations différentes de chaque côté

Pourquoi c'est faux: Contrairement aux équations, la différence visuelle dans les inéquations peut confondre les élèves.

Correct: Comme pour les équations : ce que tu fais à gauche, tu DOIS le faire à droite aussi.

Écrire la réponse dans le mauvais sens

Pourquoi c'est faux: Après résolution, les élèves écrivent 5>x5 > x au lieu de x<5x < 5.

Correct: La convention est d'écrire la variable à gauche : x<5x < 5 est plus clair que 5>x5 > x.

Pourquoi c'est important

Les inéquations à une étape sont la base pour résoudre des inéquations plus complexes et apparaissent partout dans la vie réelle :
  • Budget : Si tu as 50 euros et veux économiser au moins 20, combien peux-tu dépenser ? (50−x≥2050 - x \geq 20)
  • Gestion du temps : Si tu as besoin d'au moins 8 heures de sommeil et te réveilles à 7h, à quelle heure dois-tu dormir ? (7−t≥87 - t \geq 8)
  • Sport : De combien de points une équipe a-t-elle besoin pour gagner ? (score+x>adversaire\text{score} + x > \text{adversaire})
  • Cuisine : Si une recette est pour 4 personnes et tu dois nourrir au moins 12 personnes, combien de portions ? (4n≥124n \geq 12)
Maîtriser les inéquations à une étape te prépare aux inéquations à plusieurs étapes et à la résolution de problèmes réels !

Applications dans le monde réel

Budget et épargne

Quand tu dois économiser un montant minimum, les inéquations aident à déterminer combien tu peux dépenser.

Exemple:

Tu as 75 euros et veux garder au moins 30 euros pour les urgences. Combien peux-tu dépenser ? 75−x≥3075 - x \geq 30, donc x≤45x \leq 45.

1Essaie par toi-même

Tu gagnes 12 euros de l'heure dans ton travail à temps partiel. Tu veux gagner au moins 60 euros cette semaine.

Combien d'heures dois-tu travailler ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Quelle inéquation convient pour les heures hh ?

Limites de température

Les expériences scientifiques nécessitent souvent des températures dans certaines plages.

Exemple:

Une réaction chimique nécessite que la température reste sous 100°C. Si la pièce est à 25°C et la chaleur augmente de 15° par minute : 25+15t<10025 + 15t < 100.

2Essaie par toi-même

Un congélateur doit maintenir les aliments à −18°C-18°C ou moins. La température actuelle est −10°C-10°C, et elle baisse de 2°C2°C par heure.

Après combien d'heures le congélateur atteindra-t-il la température requise ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Après hh heures, la température est −10−2h-10 - 2h. Quelle inéquation convient ?

Sports et jeux

Déterminer quels scores sont nécessaires pour gagner ou se qualifier.

Exemple:

Ton équipe a 48 points. Chaque panier vaut 2 points. Combien de paniers encore pour atteindre 60 ? 48+2b≥6048 + 2b \geq 60, donc b≥6b \geq 6.

3Essaie par toi-même

Une plongeuse a besoin d'au moins 50 points pour se qualifier. Chaque plongeon est noté sur 10, et elle a réalisé 4 plongeons avec une moyenne de 8,5.

Quelle moyenne doit-elle obtenir sur ses 2 plongeons restants ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Si son total sur 4 plongeons est 4×8,5=344 \times 8{,}5 = 34, quelle inéquation convient ?

Points clés

  • 1Résous les inéquations à une étape en utilisant les opérations inverses, comme pour les équations
  • 2Addition et soustraction : applique simplement l'opération inverse
  • 3Multiplication et division par des nombres POSITIFS : applique l'opération inverse normalement
  • 4CRITIQUE : Lors de la multiplication ou division par un nombre NÉGATIF, INVERSE le signe de l'inégalité
  • 5Vérifie toujours ta réponse en substituant une valeur de l'ensemble solution

Questions fréquentes

Pourquoi inverse-t-on l'inégalité en multipliant par un négatif ?

Quand tu multiplies des nombres par −1-1, leur ordre s'inverse. Par exemple, 3>23 > 2 mais −3<−2-3 < -2. L'inversion garde l'inégalité VRAIE après l'opération.

Est-ce que j'inverse pour additionner ou soustraire des nombres négatifs ?

Non ! Inverse UNIQUEMENT lors de la MULTIPLICATION ou DIVISION par un négatif. Ajouter −5-5 aux deux côtés n'inverse rien.

Comment vérifier ma réponse ?

Choisis n'importe quel nombre de ton ensemble solution et remplace-le dans l'inéquation originale. Si ça marche, c'est correct ! Essaie aussi un nombre qui N'EST PAS dans l'ensemble solution pour confirmer qu'il échoue.

Et si la variable est du côté droit ?

Tu peux résoudre normalement, puis réécrire avec la variable à gauche. Rappelle-toi : 5>x5 > x est identique à x<5x < 5.

Glossaire

Inéquation à une étape
Une inéquation qui peut être résolue avec une seule opération (addition, soustraction, multiplication ou division)
Opération inverse
L'opération qui en annule une autre : l'addition annule la soustraction, la multiplication annule la division
Ensemble solution
Toutes les valeurs qui rendent l'inéquation vraie
Inverser le signe
Changer la direction d'une inégalité (par ex., >> devient <<) lors de la multiplication ou division par un négatif

Carte des formules

Règle Addition/Soustraction

x+a>b⇒x>b−ax + a > b \Rightarrow x > b - a

Soustrais $a$ des deux côtés (pas d'inversion)

Multiplication positive

ax>b⇒x>baax > b \Rightarrow x > \frac{b}{a} (quand a>0a > 0)

Divise les deux côtés par $a$ (pas d'inversion)

Multiplication négative

ax>b⇒x<baax > b \Rightarrow x < \frac{b}{a} (quand a<0a < 0)

Divise par $a$ ET INVERSE le signe !

Règle d'inversion

−x>c⇒x<−c-x > c \Rightarrow x < -c

Multiplie par $-1$ et inverse l'inégalité

Plus sur ce sujet

Introduction aux inégalités

Intermédiaire20 min

Résoudre et représenter des inégalités

Intermédiaire25 min

Représenter les inégalités sur une droite numérique

Intermédiaire25 min

Inéquations à deux étapes

Intermédiaire30 min