Résoudre et représenter des inégalités

Apprends à résoudre des inégalités à une et deux étapes et à représenter les solutions sur une droite numérique.

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Définition

Une inégalité est un énoncé mathématique qui compare deux expressions à l'aide de symboles d'inégalité :
SymboleSignificationExemple
<<Inférieur àx<5x < 5
>>Supérieur àx>3x > 3
≤\leqInférieur ou égal àx≤7x \leq 7
≥\geqSupérieur ou égal àx≥−2x \geq -2
Contrairement aux équations (qui ont une seule solution), les inégalités ont une infinité de solutions.
Par exemple, x>3x > 3 signifie que xx peut être 4, 5, 10, 3,5 ou n'importe quel nombre supérieur à 3.
Règle importante : Quand tu multiplies ou divises les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif, tu dois inverser le sens de l'inégalité.
−2x>6  ⟹  x<−3-2x > 6 \implies x < -3

Essaie tout de suite

Quel symbole signifie 'supérieur ou égal à' ?

Exemples résolus

Résous x+5>12x + 5 > 12 et représente la solution.
1

Identifie l'opération

5 est ajouté à xx → Il faut soustraire 5
2

Soustrais 5 des deux membres

x+5−5>12−5x + 5 - 5 > 12 - 5 → x>7x > 7
3

Représente sur la droite numérique

Cercle ouvert en 7, hachurer vers la droite → Tous les nombres supérieurs à 7

Erreurs courantes

Oublier d'inverser le signe en divisant par un nombre négatif

Pourquoi c'est faux: L'erreur la plus courante ! En divisant (ou multipliant) par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.

Correct: −2x>8-2x > 8 devient x<−4x < -4 (pas x>−4x > -4). Le signe DOIT être inversé.

Utiliser un cercle plein pour les inégalités strictes (<< ou >>)

Pourquoi c'est faux: Les inégalités strictes (<<, >>) N'incluent PAS la valeur limite.

Correct: x>5x > 5 : Cercle ouvert en 5 (5 n'est pas inclus). x≥5x \geq 5 : Cercle plein en 5 (5 est inclus).

Hachurer dans la mauvaise direction

Pourquoi c'est faux: Les élèves hachurent parfois selon le signe sans vérifier la position de la variable.

Correct: Teste toujours une valeur : Pour x>3x > 3, teste x=5x = 5. Comme 5>35 > 3 est vrai, hachure la région contenant 5.

Inverser le signe en soustrayant des nombres négatifs

Pourquoi c'est faux: La règle d'inversion s'applique UNIQUEMENT à la multiplication et la division par des nombres négatifs, pas à l'addition/soustraction.

Correct: x−(−5)>2x - (-5) > 2 devient x+5>2x + 5 > 2, puis x>−3x > -3. Pas d'inversion nécessaire pour la soustraction.

Visuel interactif

à

x ≥ 4·[4, ∞)

Clique sur les nombres pour les sélectionner. Ajuste la plage pour explorer différentes valeurs.

à

x < -5·(−∞, -5)

Clique sur les nombres pour les sélectionner. Ajuste la plage pour explorer différentes valeurs.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Quel symbole signifie 'supérieur ou égal à' ?

Pourquoi c'est important

Les inégalités décrivent des situations réelles avec des plages et des limites :
  • Conditions d'âge : Tu dois avoir au moins 18 ans pour voter (aˆge≥18\text{âge} \geq 18)
  • Limites de vitesse : Ne roule pas à plus de 50 km/h (vitesse≤50\text{vitesse} \leq 50)
  • Contraintes budgétaires : Dépense moins de 100€ (couˆt<100\text{coût} < 100)
  • Plages de température : L'eau reste liquide entre 0 et 100 degrés Celsius
  • Notes : Tu as besoin d'au moins 10 sur 20 pour réussir (note≥10\text{note} \geq 10)
Les inégalités nous aident à exprimer des conditions, des contraintes et des plages qui apparaissent partout dans la vie quotidienne !

Applications dans le monde réel

Planification budgétaire

Détermine combien d'articles tu peux acheter en restant dans ton budget.

Exemple:

Les billets de concert coûtent 25€ chacun, plus 15€ de frais de service. Si tu as 90€, combien de billets peux-tu acheter ? 25t+15≤9025t + 15 \leq 90

1Essaie par toi-même

Un service de streaming coûte 12€ par mois. Tu veux dépenser moins de 150€ par an en streaming.

Pendant combien de mois peux-tu t'abonner ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous 12m<15012m < 150. Quel est le plus grand nombre entier de mois ?

Vitesse et distance

Calcule des vitesses de conduite sûres pour arriver à temps.

Exemple:

Tu dois parcourir au moins 200 km en 4 heures. Quelle vitesse moyenne est requise ? 4s≥2004s \geq 200, donc s≥50s \geq 50 km/h.

2Essaie par toi-même

Un camion de livraison doit parcourir 300 km. Pour éviter une amende, le chauffeur doit rouler en moyenne à 80 km/h maximum.

Quel est le temps minimum pour le trajet ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Si vitesse=distancetemps\text{vitesse} = \frac{\text{distance}}{\text{temps}}, alors 300t≤80\frac{300}{t} \leq 80. Trouve le plus petit tt (en heures).

Points clés

  • 1Les inégalités comparent des expressions avec <<, >>, ≤\leq, ≥\geq
  • 2Résous les inégalités comme les équations : ajoute, soustrais, multiplie, divise des deux côtés
  • 3Règle essentielle : Inverse le sens de l'inégalité en multipliant ou divisant par un nombre négatif
  • 4Représente les solutions : cercle ouvert pour << et >>, cercle plein pour ≤\leq et ≥\geq
  • 5Hachure la droite numérique dans la direction de l'ensemble solution

Questions fréquentes

Seulement en multipliant ou divisant les deux membres par un nombre négatif. Ajouter ou soustraire (même des nombres négatifs) ne nécessite pas d'inversion.
Seulement en multipliant ou divisant les deux membres par un nombre négatif. Ajouter ou soustraire (même des nombres négatifs) ne nécessite pas d'inversion.
<< signifie strictement inférieur à (pas égal), représenté par un cercle ouvert. ≤\leq signifie inférieur à OU égal à, représenté par un cercle plein.
Choisis une valeur de ton ensemble solution et substitue-la dans l'inégalité originale. Si elle rend l'inégalité vraie, ta réponse est probablement correcte.

Glossaire

Inégalité
Un énoncé mathématique comparant deux expressions avec <<, >>, ≤\leq ou ≥\geq
Ensemble solution
Toutes les valeurs qui rendent une inégalité vraie
Cercle ouvert
Utilisé sur une droite numérique pour montrer qu'une valeur N'est PAS incluse (<< ou >>)
Cercle plein
Utilisé sur une droite numérique pour montrer qu'une valeur EST incluse (≤\leq ou ≥\geq)
Valeur limite
La valeur où l'inégalité passe de vraie à fausse
Défi du jourUn problème, trois essais

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