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Guide de l'enseignant: Résoudre et représenter des inégalités

Apprends à résoudre des inégalités à une et deux étapes et à représenter les solutions sur une droite numérique.

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Quiz de classe

10 questions sur Inéquations. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage
  • Interpréter les symboles d'inégalité (<<, >>, ≤\leq, ≥\geq) et leurs significations
  • Résoudre des inégalités à une étape en utilisant les opérations inverses
  • Résoudre des inégalités à deux étapes de façon systématique
  • Appliquer la règle d'inversion du sens de l'inégalité lors de la multiplication ou division par des nombres négatifs
  • Représenter les solutions d'inégalités sur une droite numérique avec des cercles ouverts et pleins
Prérequis
  • • Résoudre des équations à une et deux étapes
  • • Compréhension des nombres positifs et négatifs
  • • Familiarité avec la droite numérique
  • • Opérations inverses (addition/soustraction, multiplication/division)
Amorces de discussion
  • 1. Pourquoi penses-tu qu'il faut inverser le sens de l'inégalité en divisant par un nombre négatif ?
  • 2. Peux-tu penser à une situation réelle qui utilise 'au moins' ou 'au plus' ?
  • 3. En quoi résoudre une inégalité ressemble à résoudre une équation ? En quoi est-ce différent ?
  • 4. Si x>5x > 5, quelle est la plus petite valeur entière de xx ?
Idées reçues courantes

Inverser le signe chaque fois qu'il y a un nombre négatif

Remédiation: Insiste sur le fait que l'inversion N'a lieu QU'en multipliant ou divisant par un nombre négatif. Utilise des exemples : x+(−3)>5x + (-3) > 5 N'inverse PAS, mais −3x>6-3x > 6 inverse.

Penser que les inégalités ont une seule solution comme les équations

Remédiation: Montre que x>3x > 3 est satisfait par 4, 5, 100, 3,001, etc. Utilise la visualisation sur la droite numérique pour montrer une infinité de solutions.

Confondre cercles ouverts et pleins

Remédiation: Utilise le moyen mnémotechnique : 'Le signe égal remplit le cercle' - s'il y a une composante égalité (≤\leq, ≥\geq), le cercle est rempli/plein.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

  • • Commence par la visualisation sur la droite numérique avant la manipulation symbolique
  • • Utilise d'abord uniquement des coefficients positifs
  • • Fournis des modèles étape par étape avec des blancs à remplir
  • • Colore en rouge les étapes de la règle d'inversion pour les mettre en évidence

Pour les élèves au niveau:

  • • Résous des inégalités à deux étapes avec des coefficients positifs et négatifs
  • • Traduis des problèmes en inégalités
  • • Compare plusieurs inégalités graphiquement

Pour les élèves avancés:

  • • Résous des inégalités composées (3<x+2≤73 < x + 2 \leq 7)
  • • Explore les inégalités avec valeur absolue
  • • Écris des inégalités pour décrire des contraintes géométriques
Alignement aux standards
  • 7.EE.B.4b (CCSS.MATH.CONTENT.7.EE.B.4.B)

    Résous des problèmes menant à des inégalités de la forme px + q > r ou px + q < r, où p, q et r sont des nombres rationnels spécifiques

  • 6.EE.B.8 (CCSS.MATH.CONTENT.6.EE.B.8)

    Écris une inégalité de la forme x > c ou x < c pour représenter une contrainte ou condition dans un problème réel ou mathématique

Ressources de la leçon
  • visualDroite numérique interactive

    Représente les solutions d'inégalités avec des cercles glisser-déposer

  • activityTri de cartes d'inégalités

    Associe les inégalités à leurs graphiques

  • worksheetInégalités du quotidien

    Écris et résous des inégalités à partir de problèmes

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une inégalité est un énoncé mathématique qui compare deux expressions à l'aide de symboles d'inégalité :
SymboleSignificationExemple
<<Inférieur àx<5x < 5
>>Supérieur àx>3x > 3
≤\leqInférieur ou égal àx≤7x \leq 7
≥\geqSupérieur ou égal àx≥−2x \geq -2
Contrairement aux équations (qui ont une seule solution), les inégalités ont une infinité de solutions.
Par exemple, x>3x > 3 signifie que xx peut être 4, 5, 10, 3,5 ou n'importe quel nombre supérieur à 3.
Règle importante : Quand tu multiplies ou divises les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif, tu dois inverser le sens de l'inégalité.
−2x>6  ⟹  x<−3-2x > 6 \implies x < -3

Exemples résolus

Résous x+5>12x + 5 > 12 et représente la solution.
1

Identifie l'opération

5 est ajouté à xx → Il faut soustraire 5
2

Soustrais 5 des deux membres

x+5−5>12−5x + 5 - 5 > 12 - 5 → x>7x > 7
3

Représente sur la droite numérique

Cercle ouvert en 7, hachurer vers la droite → Tous les nombres supérieurs à 7

Erreurs courantes

Oublier d'inverser le signe en divisant par un nombre négatif

Pourquoi c'est faux: L'erreur la plus courante ! En divisant (ou multipliant) par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.

Correct: −2x>8-2x > 8 devient x<−4x < -4 (pas x>−4x > -4). Le signe DOIT être inversé.

Utiliser un cercle plein pour les inégalités strictes (<< ou >>)

Pourquoi c'est faux: Les inégalités strictes (<<, >>) N'incluent PAS la valeur limite.

Correct: x>5x > 5 : Cercle ouvert en 5 (5 n'est pas inclus). x≥5x \geq 5 : Cercle plein en 5 (5 est inclus).

Hachurer dans la mauvaise direction

Pourquoi c'est faux: Les élèves hachurent parfois selon le signe sans vérifier la position de la variable.

Correct: Teste toujours une valeur : Pour x>3x > 3, teste x=5x = 5. Comme 5>35 > 3 est vrai, hachure la région contenant 5.

Inverser le signe en soustrayant des nombres négatifs

Pourquoi c'est faux: La règle d'inversion s'applique UNIQUEMENT à la multiplication et la division par des nombres négatifs, pas à l'addition/soustraction.

Correct: x−(−5)>2x - (-5) > 2 devient x+5>2x + 5 > 2, puis x>−3x > -3. Pas d'inversion nécessaire pour la soustraction.

Pourquoi c'est important

Les inégalités décrivent des situations réelles avec des plages et des limites :
  • Conditions d'âge : Tu dois avoir au moins 18 ans pour voter (aˆge≥18\text{âge} \geq 18)
  • Limites de vitesse : Ne roule pas à plus de 50 km/h (vitesse≤50\text{vitesse} \leq 50)
  • Contraintes budgétaires : Dépense moins de 100€ (couˆt<100\text{coût} < 100)
  • Plages de température : L'eau reste liquide entre 0 et 100 degrés Celsius
  • Notes : Tu as besoin d'au moins 10 sur 20 pour réussir (note≥10\text{note} \geq 10)
Les inégalités nous aident à exprimer des conditions, des contraintes et des plages qui apparaissent partout dans la vie quotidienne !

Applications dans le monde réel

Planification budgétaire

Détermine combien d'articles tu peux acheter en restant dans ton budget.

Exemple:

Les billets de concert coûtent 25€ chacun, plus 15€ de frais de service. Si tu as 90€, combien de billets peux-tu acheter ? 25t+15≤9025t + 15 \leq 90

1Essaie par toi-même

Un service de streaming coûte 12€ par mois. Tu veux dépenser moins de 150€ par an en streaming.

Pendant combien de mois peux-tu t'abonner ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous 12m<15012m < 150. Quel est le plus grand nombre entier de mois ?

Vitesse et distance

Calcule des vitesses de conduite sûres pour arriver à temps.

Exemple:

Tu dois parcourir au moins 200 km en 4 heures. Quelle vitesse moyenne est requise ? 4s≥2004s \geq 200, donc s≥50s \geq 50 km/h.

2Essaie par toi-même

Un camion de livraison doit parcourir 300 km. Pour éviter une amende, le chauffeur doit rouler en moyenne à 80 km/h maximum.

Quel est le temps minimum pour le trajet ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Si vitesse=distancetemps\text{vitesse} = \frac{\text{distance}}{\text{temps}}, alors 300t≤80\frac{300}{t} \leq 80. Trouve le plus petit tt (en heures).

Points clés

  • 1Les inégalités comparent des expressions avec <<, >>, ≤\leq, ≥\geq
  • 2Résous les inégalités comme les équations : ajoute, soustrais, multiplie, divise des deux côtés
  • 3Règle essentielle : Inverse le sens de l'inégalité en multipliant ou divisant par un nombre négatif
  • 4Représente les solutions : cercle ouvert pour << et >>, cercle plein pour ≤\leq et ≥\geq
  • 5Hachure la droite numérique dans la direction de l'ensemble solution

Questions fréquentes

Quand dois-je inverser le sens de l'inégalité ?

Seulement en multipliant ou divisant les deux membres par un nombre négatif. Ajouter ou soustraire (même des nombres négatifs) ne nécessite pas d'inversion.

Quelle est la différence entre < et \leq ?

<< signifie strictement inférieur à (pas égal), représenté par un cercle ouvert. ≤\leq signifie inférieur à OU égal à, représenté par un cercle plein.

Comment vérifier ma réponse ?

Choisis une valeur de ton ensemble solution et substitue-la dans l'inégalité originale. Si elle rend l'inégalité vraie, ta réponse est probablement correcte.

Glossaire

Inégalité
Un énoncé mathématique comparant deux expressions avec <<, >>, ≤\leq ou ≥\geq
Ensemble solution
Toutes les valeurs qui rendent une inégalité vraie
Cercle ouvert
Utilisé sur une droite numérique pour montrer qu'une valeur N'est PAS incluse (<< ou >>)
Cercle plein
Utilisé sur une droite numérique pour montrer qu'une valeur EST incluse (≤\leq ou ≥\geq)
Valeur limite
La valeur où l'inégalité passe de vraie à fausse

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