Introduction aux équations du second degré

Apprends ce que sont les équations du second degré, leur forme standard et comment identifier leurs caractéristiques clés.

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Définition

Une équation du second degré est une équation polynomiale de degré 2. La forme standard est :
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
où :
  • aa, bb et cc sont des constantes (nombres)
  • a≠0a \neq 0 (si a=0a = 0, cela devient une équation linéaire)
  • xx est la variable
Le graphique d'une fonction quadratique f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c s'appelle une parabole - une courbe en forme de U qui s'ouvre vers le haut quand a>0a > 0 ou vers le bas quand a<0a < 0.

Essaie tout de suite

Laquelle des suivantes est une équation du second degré ?

Exemples résolus

L'équation 3x2−7x+2=03x^2 - 7x + 2 = 0 est-elle une équation du second degré ? Si oui, identifie aa, bb et cc.
1

Vérifier le degré

La plus haute puissance de xx est 2 (de 3x23x^2) → Degré = 2
2

Vérifier que a≠0a \neq 0

Le coefficient de x2x^2 est 3, qui n'est pas zéro → a=3≠0a = 3 \neq 0 ✓
3

Identifier les coefficients

Comparer avec ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 → a=3a = 3, b=−7b = -7, c=2c = 2

Erreurs courantes

Oublier que aa ne peut pas être égal à zéro

Pourquoi c'est faux: Si a=0a = 0, l'équation devient bx+c=0bx + c = 0, qui est linéaire, pas quadratique.

Correct: Vérifie toujours que le coefficient de x2x^2 est non nul avant de l'appeler quadratique.

Erreurs de signe lors de l'identification de bb

Pourquoi c'est faux: Dans x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0, les élèves disent souvent b=5b = 5 au lieu de b=−5b = -5.

Correct: Le coefficient inclut son signe ! Écris : x2+(−5)x+3=0x^2 + (-5)x + 3 = 0, donc b=−5b = -5.

Confondre la formule du sommet

Pourquoi c'est faux: Les élèves utilisent parfois x=b2ax = \frac{b}{2a} au lieu de x=−b2ax = -\frac{b}{2a}.

Correct: Rappelle-toi : x=−b2ax = -\frac{b}{2a} (signe négatif devant !)

Penser que toutes les paraboles s'ouvrent vers le haut

Pourquoi c'est faux: La direction dépend du signe de aa, pas des autres coefficients.

Correct: Si a>0a > 0 : s'ouvre vers le haut (∪). Si a<0a < 0 : s'ouvre vers le bas (∩).

Visuel interactif

Explorateur quadratique

y = x² - 4x + 3

Contrôle la largeur et la direction

Déplace la parabole

Ordonnée à l'origine

xy

Sommet

(2, -1)

Axe de symétrie

x = 2

Racines (abscisses à l'origine)

x = 3, x = 1

Ordonnée à l'origine

(0, 3)

Direction

Ouvre vers le haut

Discriminant

b² - 4ac = 4

Table de valeurs

x-3-2-10123
y2415830-10
SommetRacinesOrdonnée à l'origineAxe de symétrie

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = x^2 - 4x + 3

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Laquelle des suivantes est une équation du second degré ?

Pourquoi c'est important

Les équations du second degré apparaissent partout dans la vie quotidienne :
  • Physique : La trajectoire d'une balle lancée suit une parabole. L'équation h=−4,9t2+v0t+h0h = -4,9t^2 + v_0t + h_0 modélise le mouvement projectile.
  • Architecture : Les arches paraboliques sont utilisées dans les ponts et bâtiments car elles distribuent le poids efficacement.
  • Commerce : Les fonctions de profit sont souvent quadratiques - il existe un prix optimal qui maximise les revenus.
  • Sport : La trajectoire d'un tir de basket, d'un coup de pied au football ou d'un swing de golf suivent des trajectoires quadratiques.
Comprendre les équations quadratiques nous aide à modéliser et prédire le comportement réel !

Applications dans le monde réel

Mouvement projectile

Quand tu lances une balle, sa hauteur dans le temps suit une équation du second degré.

Exemple:

Une balle lancée vers le haut a une hauteur h=−5t2+20t+1,5h = -5t^2 + 20t + 1,5 mètres après tt secondes. Le sommet nous donne la hauteur maximale.

1Essaie par toi-même

Un joueur de basket tire le ballon. La hauteur est modélisée par h=−4,9t2+9,8t+2h = -4,9t^2 + 9,8t + 2 mètres.

Quand le ballon atteint-il sa hauteur maximale ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise t=−b2at = -\frac{b}{2a} avec a=−4,9a = -4,9 et b=9,8b = 9,8 :

Profit d'entreprise

Les entreprises utilisent des modèles quadratiques pour trouver le prix qui maximise le profit.

Exemple:

Si le profit est P=−2x2+200x−3000P = -2x^2 + 200x - 3000 où xx est le nombre d'articles vendus, le sommet donne la quantité optimale.

2Essaie par toi-même

Le profit hebdomadaire d'une entreprise est P=−x2+80x−1200P = -x^2 + 80x - 1200 euros, où xx est le nombre d'unités vendues.

Combien d'unités doivent-ils vendre pour maximiser le profit ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve l'abscisse du sommet :

Points clés

  • 1Une équation du second degré a la forme ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 où a≠0a \neq 0
  • 2Le graphique d'une fonction quadratique est une parabole
  • 3Quand a>0a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut (∪) ; quand a<0a < 0, vers le bas (∩)
  • 4Le sommet est en x=−b2ax = -\frac{b}{2a}, et représente le point minimum ou maximum
  • 5Les équations quadratiques modélisent des situations réelles comme le mouvement projectile et l'optimisation du profit

Questions fréquentes

Une équation du second degré est égale à zéro (ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0) et nous résolvons pour des valeurs spécifiques de xx. Une fonction quadratique s'écrit f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c et décrit une relation pour toutes les valeurs de xx.
Une équation du second degré est égale à zéro (ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0) et nous résolvons pour des valeurs spécifiques de xx. Une fonction quadratique s'écrit f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c et décrit une relation pour toutes les valeurs de xx.
Le mot vient du grec 'parabole' signifiant 'comparaison' ou 'application'. Mathématiquement, une parabole est définie comme tous les points équidistants d'un point fixe (foyer) et d'une ligne fixe (directrice).
Une équation du second degré a toujours des solutions, mais elles peuvent être des nombres complexes (imaginaires). Si la parabole ne coupe pas l'axe des x, les solutions ne sont pas des nombres réels.

Glossaire

Équation du second degré
Une équation polynomiale de degré 2 de la forme ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 où a≠0a \neq 0
Parabole
La courbe en forme de U qui est le graphique d'une fonction quadratique
Sommet
Le point le plus haut ou le plus bas d'une parabole ; se trouve en x=−b2ax = -\frac{b}{2a}
Coefficient
Un nombre multiplié par une variable ; dans 3x23x^2, le coefficient est 3
Forme standard
L'arrangement ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 où les termes sont ordonnés par puissances décroissantes de xx
Axe de symétrie
La ligne verticale x=−b2ax = -\frac{b}{2a} qui divise la parabole en deux images miroir

Carte des formules

Forme standard

ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

La forme standard d'une équation du second degré où $a \neq 0$

Abscisse du sommet

x=−b2ax = -\frac{b}{2a}

Formule pour trouver l'abscisse du sommet

Direction de la parabole

a>0⇒a > 0 \Rightarrow haut, a<0⇒a < 0 \Rightarrow bas

Le signe de $a$ détermine si la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas

Défi du jourUn problème, trois essais

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