Résoudre des équations quadratiques par les racines carrées

Apprends à résoudre des équations quadratiques en prenant la racine carrée des deux côtés.

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Définition

Quand une équation quadratique est sous la forme , on peut la résoudre en prenant la racine carrée des deux côtés.
Concept clé : Tout nombre positif a DEUX racines carrées :
  • Une racine positive :
  • Une racine négative :
Par exemple, si :
Cela signifie OU (car et ).

Essaie tout de suite

Combien de solutions a ?

Exemples résolus

Résous :

1

Identifie la forme de l'équation

L'équation est déjà sous la forme où → Prêt pour la racine carrée

2

Prends la racine carrée des deux côtés

→

3

Simplifie la racine carrée

→

4

Écris les deux solutions

ou → Deux solutions

Erreurs courantes

Oublier la solution négative

Pourquoi c'est faux: Les élèves écrivent souvent seulement la racine carrée positive, oubliant que également.

Correct: Écris toujours pour indiquer les deux solutions. Pour , écris , pas juste .

Prendre la racine carrée avant d'isoler

Pourquoi c'est faux: Dans des équations comme , les élèves essaient parfois de calculer directement.

Correct: Divise d'abord par 2 pour obtenir , puis prends la racine carrée : .

Penser que

Pourquoi c'est faux: C'est vrai seulement pour positif. Pour négatif, .

Correct: Écris ou plus précisément , ce qui donne les possibilités positive et négative.

Essayer de résoudre (négatif) comme un nombre réel

Pourquoi c'est faux: Les élèves peuvent essayer d'écrire , qui n'est pas un nombre réel.

Correct: Reconnais que si , l'équation n'a pas de solution réelle.

Visuel interactif

Balance

x + 3=7
x
3
7
Appliquer aux deux côtés:

Solution: x = 4

à

Clique sur les nombres pour les sélectionner. Ajuste la plage pour explorer différentes valeurs.

Bac à sable interactif

Calculateur d'expressions

Essayez ceux-ci:

Historique

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Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile

Combien de solutions a ?

Pourquoi c'est important

La méthode des racines carrées est l'une des façons les plus rapides de résoudre certaines équations quadratiques :
  • Physique : Trouver la vitesse ou la distance dans des équations comme
  • Géométrie : Calculer les longueurs de côtés à partir de l'aire ()
  • Ingénierie : Déterminer les dimensions quand l'aire est connue
  • Finance : Résoudre les taux dans les formules d'intérêts composés
Cette technique est souvent plus rapide que la factorisation ou l'utilisation de la formule quadratique, ce qui en fait un outil essentiel en algèbre !

Applications dans le monde réel

Calculer des distances

En physique, la relation entre distance, accélération et temps implique des termes au carré.

Exemple:

Une balle tombe selon (en mètres). Combien de temps faut-il pour tomber de 80 mètres ? Résous , donc , ce qui donne secondes (on utilise seulement la valeur positive car le temps ne peut pas être négatif).

1Essayez vous-même

Une pierre est lâchée d'un pont. La distance de chute est mètres.

Combien de temps faut-il pour tomber de 45 mètres ?

Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique

Pose l'équation :

Trouver les longueurs de côtés à partir de l'aire

Quand tu connais l'aire d'un carré, tu peux trouver la longueur du côté avec les racines carrées.

Exemple:

Un jardin carré a une aire de 144 mètres carrés. La longueur du côté est où , donc mètres.

2Essayez vous-même

Une pièce carrée a une aire de 81 mètres carrés.

Quelle est la longueur de chaque mur ?

Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique

Si la longueur du côté est , alors

Mouvement de projectile

La hauteur d'une balle lancée implique des équations quadratiques.

Exemple:

Une balle lancée vers le haut atteint la hauteur pieds. Quand la balle est-elle à 48 pieds ? Résous , ce qui donne , donc et seconde.

3Essayez vous-même

Une fontaine projette de l'eau à la hauteur (en cm, en secondes).

À quel moment l'eau est-elle à 36 cm de hauteur ?

Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique

Résous :

Points clés

  • 1Pour les équations de la forme , prends la racine carrée des deux côtés :
  • 2Inclus TOUJOURS les solutions positive ET négative ()
  • 3Isole d'abord avant de prendre la racine carrée
  • 4Si , il n'y a pas de solution réelle
  • 5Cette méthode fonctionne aussi pour — résous simplement pour l'expression à l'intérieur

Questions fréquentes

Parce qu'un nombre positif et un nombre négatif, quand ils sont mis au carré, donnent le même résultat positif. Par exemple, et . Donc si , et sont tous deux des solutions valides.
Parce qu'un nombre positif et un nombre négatif, quand ils sont mis au carré, donnent le même résultat positif. Par exemple, et . Donc si , et sont tous deux des solutions valides.
Cette méthode fonctionne mieux quand l'équation peut s'écrire sous la forme ou . Si l'équation a un terme en (comme ), il faut utiliser la factorisation ou la formule quadratique.
Tu peux laisser la réponse sous forme de radical (comme ) ou approximer avec une calculatrice. Les deux formes sont correctes ; la forme radicale est exacte.

Glossaire

Racine carrée
Un nombre qui, multiplié par lui-même, donne le nombre original. car .
Carré parfait
Un nombre qui est le carré d'un entier : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...
Plus-moins (±)
Un symbole indiquant à la fois les valeurs positive et négative. signifie à la fois et .
Équation quadratique
Une équation où la plus haute puissance de la variable est 2, comme ou .

Carte des formules

Méthode des racines carrées

Valable seulement si $k \geq 0$

Forme générale

Puis résoudre l'équation linéaire

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