Résoudre des équations quadratiques par les racines carrées

Apprends à résoudre des équations quadratiques en prenant la racine carrée des deux côtés.

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Définition

Quand une équation quadratique est sous la forme x2=kx^2 = k, on peut la résoudre en prenant la racine carrée des deux côtés.
x2=k  ⟹  x=±kx^2 = k \implies x = \pm\sqrt{k}
Concept clé : Tout nombre positif a DEUX racines carrées :
  • Une racine positive : k\sqrt{k}
  • Une racine négative : −k-\sqrt{k}
Par exemple, si x2=16x^2 = 16 :
x=±16=±4x = \pm\sqrt{16} = \pm 4
Cela signifie x=4x = 4 OU x=−4x = -4 (car 42=164^2 = 16 et (−4)2=16(-4)^2 = 16).

Essaie tout de suite

Combien de solutions a x2=49x^2 = 49 ?

Exemples résolus

Résous : x2=25x^2 = 25
1

Identifie la forme de l'équation

L'équation est déjà sous la forme x2=kx^2 = k où k=25k = 25 → Prêt pour la racine carrée
2

Prends la racine carrée des deux côtés

x2=±25\sqrt{x^2} = \pm\sqrt{25} → x=±25x = \pm\sqrt{25}
3

Simplifie la racine carrée

25=5\sqrt{25} = 5 → x=±5x = \pm 5
4

Écris les deux solutions

x=5x = 5 ou x=−5x = -5 → Deux solutions

Erreurs courantes

Oublier la solution négative

Pourquoi c'est faux: Les élèves écrivent souvent seulement la racine carrée positive, oubliant que (−a)2=a2(-a)^2 = a^2 également.

Correct: Écris toujours x=±kx = \pm\sqrt{k} pour indiquer les deux solutions. Pour x2=9x^2 = 9, écris x=±3x = \pm 3, pas juste x=3x = 3.

Prendre la racine carrée avant d'isoler x2x^2

Pourquoi c'est faux: Dans des équations comme 2x2=182x^2 = 18, les élèves essaient parfois de calculer 2x2\sqrt{2x^2} directement.

Correct: Divise d'abord par 2 pour obtenir x2=9x^2 = 9, puis prends la racine carrée : x=±3x = \pm 3.

Penser que x2=x\sqrt{x^2} = x

Pourquoi c'est faux: C'est vrai seulement pour xx positif. Pour xx négatif, x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|.

Correct: Écris x2=±x\sqrt{x^2} = \pm x ou plus précisément ∣x∣|x|, ce qui donne les possibilités positive et négative.

Essayer de résoudre x2=−kx^2 = -k (négatif) comme un nombre réel

Pourquoi c'est faux: Les élèves peuvent essayer d'écrire x=±−kx = \pm\sqrt{-k}, qui n'est pas un nombre réel.

Correct: Reconnais que si k<0k < 0, l'équation x2=kx^2 = k n'a pas de solution réelle.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-8-6-4-202468010203040xy(-5 ; 25)(5 ; 25)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

y = x²y = 25
  • Point d'intersection : (-5 ; 25)
  • Point d'intersection : (5 ; 25)

Résolveur d'équations

Résoudre pour xx:

x2=25x^{2} = 25
1
x2=25x^{2} = 25
Tout passer d'un côté : ax² + bx + c = 0Une équation du second degré se résout sous sa forme développée

Conseils:

  • • Ce que tu fais d'un côté, fais-le de l'autre
  • • Annule les opérations dans l'ordre inverse
  • • Vérifie ta réponse en substituant

Suis pendant que nous résolvons l'équation étape par étape.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Combien de solutions a x2=49x^2 = 49 ?

Pourquoi c'est important

La méthode des racines carrées est l'une des façons les plus rapides de résoudre certaines équations quadratiques :
  • Physique : Trouver la vitesse ou la distance dans des équations comme v2=2ghv^2 = 2gh
  • Géométrie : Calculer les longueurs de côtés à partir de l'aire (s2=As^2 = A)
  • Ingénierie : Déterminer les dimensions quand l'aire est connue
  • Finance : Résoudre les taux dans les formules d'intérêts composés
Cette technique est souvent plus rapide que la factorisation ou l'utilisation de la formule quadratique, ce qui en fait un outil essentiel en algèbre !

Applications dans le monde réel

Calculer des distances

En physique, la relation entre distance, accélération et temps implique des termes au carré.

Exemple:

Une balle tombe selon d=5t2d = 5t^2 (en mètres). Combien de temps faut-il pour tomber de 80 mètres ? Résous 5t2=805t^2 = 80, donc t2=16t^2 = 16, ce qui donne t=4t = 4 secondes (on utilise seulement la valeur positive car le temps ne peut pas être négatif).

1Essaie par toi-même

Une pierre est lâchée d'un pont. La distance de chute est d=5t2d = 5t^2 mètres.

Combien de temps faut-il pour tomber de 45 mètres ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Pose l'équation : 5t2=455t^2 = 45

Trouver les longueurs de côtés à partir de l'aire

Quand tu connais l'aire d'un carré, tu peux trouver la longueur du côté avec les racines carrées.

Exemple:

Un jardin carré a une aire de 144 mètres carrés. La longueur du côté est ss où s2=144s^2 = 144, donc s=12s = 12 mètres.

2Essaie par toi-même

Une pièce carrée a une aire de 81 mètres carrés.

Quelle est la longueur de chaque mur ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Si la longueur du côté est ss, alors s2=81s^2 = 81

Mouvement de projectile

La hauteur d'une balle lancée implique des équations quadratiques.

Exemple:

Une balle lancée vers le haut atteint la hauteur h=64−16t2h = 64 - 16t^2 pieds. Quand la balle est-elle à 48 pieds ? Résous 64−16t2=4864 - 16t^2 = 48, ce qui donne 16t2=1616t^2 = 16, donc t2=1t^2 = 1 et t=1t = 1 seconde.

3Essaie par toi-même

Une fontaine projette de l'eau à la hauteur h=100−4t2h = 100 - 4t^2 (en cm, tt en secondes).

À quel moment l'eau est-elle à 36 cm de hauteur ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous : 100−4t2=36100 - 4t^2 = 36

Points clés

  • 1Pour les équations de la forme x2=kx^2 = k, prends la racine carrée des deux côtés : x=±kx = \pm\sqrt{k}
  • 2Inclus TOUJOURS les solutions positive ET négative (±\pm)
  • 3Isole d'abord x2x^2 avant de prendre la racine carrée
  • 4Si k<0k < 0, il n'y a pas de solution réelle
  • 5Cette méthode fonctionne aussi pour (ax+b)2=k(ax + b)^2 = k : résous simplement pour l'expression à l'intérieur

Questions fréquentes

Parce qu'un nombre positif et un nombre négatif, quand ils sont mis au carré, donnent le même résultat positif. Par exemple, 52=255^2 = 25 et (−5)2=25(-5)^2 = 25. Donc si x2=25x^2 = 25, x=5x = 5 et x=−5x = -5 sont tous deux des solutions valides.
Parce qu'un nombre positif et un nombre négatif, quand ils sont mis au carré, donnent le même résultat positif. Par exemple, 52=255^2 = 25 et (−5)2=25(-5)^2 = 25. Donc si x2=25x^2 = 25, x=5x = 5 et x=−5x = -5 sont tous deux des solutions valides.
Cette méthode fonctionne mieux quand l'équation peut s'écrire sous la forme x2=kx^2 = k ou (expression)2=k(\text{expression})^2 = k. Si l'équation a un terme en xx (comme x2+3x=10x^2 + 3x = 10), il faut utiliser la factorisation ou la formule quadratique.
Tu peux laisser la réponse sous forme de radical (comme x=±7x = \pm\sqrt{7}) ou approximer avec une calculatrice. Les deux formes sont correctes ; la forme radicale est exacte.

Glossaire

Racine carrée
Un nombre qui, multiplié par lui-même, donne le nombre original. 25=5\sqrt{25} = 5 car 5×5=255 \times 5 = 25.
Carré parfait
Un nombre qui est le carré d'un entier : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...
Plus-moins (±)
Un symbole indiquant à la fois les valeurs positive et négative. ±3\pm 3 signifie à la fois +3+3 et −3-3.
Équation quadratique
Une équation où la plus haute puissance de la variable est 2, comme x2=16x^2 = 16 ou x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0.

Carte des formules

Méthode des racines carrées

x2=k  ⟹  x=±kx^2 = k \implies x = \pm\sqrt{k}

Valable seulement si $k \geq 0$

Forme générale

(ax+b)2=k  ⟹  ax+b=±k(ax + b)^2 = k \implies ax + b = \pm\sqrt{k}

Puis résoudre l'équation linéaire

Défi du jourUn problème, trois essais

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