Guide de l'enseignant: Méthode par combinaison
Apprends à résoudre des systèmes d'équations en éliminant une variable par addition ou soustraction.
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Quiz de classe
10 questions sur Systèmes d'Équations. Les élèves participent avec un prénom, tu vois tous les scores.
Pour les enseignants
- Résoudre des systèmes d'équations avec la méthode par combinaison
- Identifier quand les coefficients sont prêts pour l'élimination
- Multiplier des équations pour créer des coefficients opposés
- Choisir judicieusement entre les méthodes de combinaison et de substitution
- • Compréhension des équations linéaires
- • Capacité à résoudre des équations à une variable
- • Familiarité avec la méthode par substitution
- • Connaissance de la représentation graphique des systèmes d'équations
- 1. Pourquoi appelle-t-on cette méthode 'élimination' ? Qu'est-ce qui est exactement éliminé ?
- 2. Si tu devais expliquer la méthode par combinaison à quelqu'un qui ne connaît que la substitution, que dirais-tu ?
- 3. Peux-tu penser à une situation réelle où tu aurais besoin de résoudre deux équations liées en même temps ?
- 4. Que se passe-t-il si tu multiplies une équation par zéro ? Pourquoi ne fait-on pas cela ?
Il faut toujours additionner les équations
La solution devrait être des nombres entiers
Pour les élèves en difficulté:
- • Commence par des systèmes où les coefficients sont déjà opposés
- • Utilise un code couleur : surligne la variable à éliminer dans une couleur
- • Fournis une liste de contrôle : 1) Identifier la variable cible, 2) Vérifier les coefficients, 3) Multiplier si nécessaire, 4) Additionner/Soustraire, 5) Résoudre, 6) Substituer, 7) Vérifier
Pour les élèves au niveau:
- • Pratique des systèmes nécessitant la multiplication d'une équation
- • Compare combinaison et substitution sur le même système
- • Résous des problèmes avec deux inconnues
Pour les élèves avancés:
- • Résous des systèmes nécessitant la multiplication des deux équations
- • Explore des systèmes sans solution ou avec une infinité de solutions
- • Applique aux systèmes à trois variables (aperçu)
- 8.EE.C.8b (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.C.8.B)
Résoudre algébriquement des systèmes de deux équations linéaires à deux variables
- A-REI.C.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.C.5)
Prouver qu'un système de deux équations à deux variables est équivalent à un autre système
- A-REI.C.6 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.C.6)
Résoudre des systèmes d'équations linéaires exactement et approximativement, en se concentrant sur les paires d'équations linéaires à deux variables
- visualÉliminateur d'équations interactif
Observe les variables s'annuler quand tu additionnes des équations
- activityChoix de méthode
Décide si la combinaison ou la substitution est meilleure pour chaque système
- worksheetExercices variés
Résous des systèmes par combinaison avec difficulté croissante
Contenu de la leçon
Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.
Contenu de la leçon
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Définition
Exemples résolus
Résous le système :
Identifie les coefficients opposés
Les coefficients de sont et - ils sont opposés ! → Prêt à additionner
Additionne les équations
→
Résous pour
→
Substitue pour trouver
→
Vérifie la solution
Équation 1 : ✓ Équation 2 : ✓ → Les deux équations sont satisfaites
Réponse: La solution est
Erreurs courantes
Oublier de multiplier toute l'équation
Pourquoi c'est faux: Quand on multiplie pour créer des coefficients opposés, chaque terme doit être multiplié, y compris la constante du membre de droite.
Correct: Si tu multiplies par , tu obtiens , pas .
Additionner quand il faut soustraire (ou inversement)
Pourquoi c'est faux: Pour que l'élimination fonctionne, les coefficients doivent être vraiment opposés (comme et ). S'ils sont identiques, il faut soustraire.
Correct: Mêmes signes : soustraire les équations. Signes opposés : additionner les équations.
Ne pas vérifier la solution dans les deux équations
Pourquoi c'est faux: Une solution doit satisfaire les deux équations d'origine. Vérifier une seule équation peut laisser passer des erreurs.
Correct: Substitue toujours ta réponse dans les DEUX équations d'origine pour vérifier.
Pourquoi c'est important
- Efficace pour certains systèmes : Quand les coefficients sont déjà opposés ou égaux, la combinaison est plus rapide que la substitution
- Pas de fractions nécessaires : Évite souvent les fractions compliquées que la substitution crée
- Base pour les maths avancées : Les opérations matricielles en algèbre linéaire utilisent le même concept
- Applications réelles : Les ingénieurs utilisent les systèmes d'équations pour analyser des circuits, équilibrer des équations chimiques et optimiser des ressources
Applications dans le monde réel
Ventes de billets de concert
Les organisateurs d'événements utilisent des systèmes d'équations pour analyser les ventes de billets quand différentes catégories ont des prix différents.
Exemple:
Un concert a vendu 500 billets au total. Les billets VIP coûtent 80 euros et les billets normaux 40 euros. Le revenu total était de 28 000 euros. Combien de chaque type ont été vendus ?
Soit = billets VIP et = billets normaux. Système : (total des billets) (revenu total)
Combien de billets VIP ont été vendus ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Multiplie la première équation par et additionne pour éliminer :
Chimie : équilibrer des mélanges
Les chimistes utilisent l'élimination pour déterminer quelle quantité de chaque solution mélanger pour atteindre une concentration désirée.
Exemple:
Une chimiste a besoin de 100 mL d'une solution acide à 30%. Elle dispose de solutions acides à 20% et 50%. Quelle quantité de chaque doit-elle mélanger ?
Soit = mL de solution à 20% et = mL de solution à 50%. Système : (volume total) (quantité d'acide : mL)
Combien de mL de solution à 50% sont nécessaires ?
Étape 1 : Écrivez l'expression mathématique
Multiplie la première équation par et additionne :
Points clés
- 1La méthode par combinaison élimine une variable en additionnant ou soustrayant des équations
- 2Si les coefficients sont déjà opposés, additionne directement les équations
- 3Si les coefficients sont identiques, soustrais les équations
- 4Sinon, multiplie une ou les deux équations pour créer des coefficients opposés
- 5Vérifie toujours ta solution en la substituant dans les deux équations d'origine
Questions fréquentes
Quand dois-je utiliser la combinaison plutôt que la substitution ?
Que se passe-t-il si les deux variables sont éliminées ?
Est-ce important quelle variable j'élimine en premier ?
Glossaire
- Méthode par combinaison
- Une technique pour résoudre des systèmes d'équations en additionnant ou soustrayant des équations pour éliminer une variable
- Coefficients opposés
- Coefficients dont la somme est nulle, comme et
- PPCM (Plus Petit Commun Multiple)
- Le plus petit nombre qui est multiple des deux coefficients ; utilisé pour trouver les multiplicateurs nécessaires pour créer des coefficients opposés
- Vérifier
- Contrôler qu'une solution satisfait les deux équations d'origine
Carte des formules
Stratégie d'élimination
Décide si tu additionnes ou soustrais selon les coefficients
Créer des opposés
Utilise le PPCM pour trouver les multiplicateurs