Introduction aux puissances

Apprends ce que sont les exposants et comment ils simplifient la multiplication répétée.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un exposant indique combien de fois un nombre apparaît comme facteur dans une multiplication.
Dans l'expression 252^5 :
  • 22 est la base (le nombre qui est multiplié)
  • 55 est l'exposant (le nombre de 2 multipliés entre eux)
25=2×2×2×2×2=322^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32
On lit 252^5 comme "deux à la puissance cinq" ou "deux puissance cinq".
Noms spéciaux :
  • n2n^2 s'appelle "n au carré" (comme l'aire d'un carré)
  • n3n^3 s'appelle "n au cube" (comme le volume d'un cube)

Essaie tout de suite

Que signifie 242^4 ?

Exemples résolus

Calcule 343^4
1

Identifier la base et l'exposant

Base = 3, Exposant = 4 → Multiplier quatre 3 entre eux
2

Écrire la multiplication

34=3×3×3×33^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 → Quatre 3 multipliés
3

Multiplier étape par étape

3×3=93 \times 3 = 9, puis 9×3=279 \times 3 = 27, puis 27×3=8127 \times 3 = 81

Erreurs courantes

Multiplier la base par l'exposant : 34=123^4 = 12

Pourquoi c'est faux: Cela confond l'exponentiation avec la multiplication. L'exposant dit combien de fois multiplier, pas par quoi multiplier.

Correct: 34=3×3×3×3=813^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81, pas 3×4=123 \times 4 = 12

Inverser la base et l'exposant : calculer 262^6 comme 6×6=366 \times 6 = 36

Pourquoi c'est faux: La base (2) est le nombre que tu multiplies. Le petit nombre en haut (6) compte seulement combien de 2 tu écris.

Correct: 26=2×2×2×2×2×2=642^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64, mais 62=6×6=366^2 = 6 \times 6 = 36

Écrire le mauvais nombre de zéros : 105=1 000 00010^5 = 1\,000\,000

Pourquoi c'est faux: Chaque facteur 10 ajoute exactement un zéro, donc l'exposant te dit combien de zéros écrire.

Correct: 105=10×10×10×10×10=100 00010^5 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 100\,000 : un 1 suivi de 5 zéros

Visuel interactif

2³ = 8
3

Vois comment les puissances d'un nombre grandissent sur la droite numérique. Change la base et l'exposant.

Arbre de facteurs

Nombre:
Composé
Premier

Entre un nombre pour voir son arbre de facteurs et sa décomposition en facteurs premiers.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

17 exercices
Problème 1 sur 17
Facile
Que signifie 242^4 ?

Pourquoi c'est important

Les exposants sont une notation puissante qui apparaît partout :
  • Mémoire informatique : La mémoire est mesurée en puissances de 2 (1 Ko = 2102^{10} octets)
  • Science : Les atomes sont incroyablement petits (10−1010^{-10} mètres)
  • Finance : Les intérêts composés croissent de manière exponentielle
  • Biologie : Les bactéries peuvent doubler chaque heure (2242^{24}, plus de 16 millions en un jour !)
Sans les exposants, écrire 101210^{12} (mille milliards) nécessiterait 12 zéros !

Applications dans le monde réel

Mémoire informatique

La mémoire informatique est mesurée en puissances de 2 car les ordinateurs utilisent le binaire (0 et 1).

Exemple:

1 kilooctet = 2102^{10} = 1 024 octets. 1 mégaoctet = 2202^{20} = 1 048 576 octets.

1Essaie par toi-même

Un petit fichier texte fait 2122^{12} octets (4 Ko).

Combien d'octets exactement ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule 2122^{12} :

Croissance bactérienne

Les bactéries se multiplient en se divisant. Chaque heure, la population double.

Exemple:

En commençant avec 1 bactérie, après 10 heures tu as 2102^{10} = 1 024 bactéries !

2Essaie par toi-même

Tu commences avec 1 bactérie qui double chaque heure.

Combien de bactéries après 8 heures ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule 282^8 :

Aire et volume

Les exposants apparaissent naturellement en géométrie : l'aire utilise le carré, le volume utilise le cube.

Exemple:

Un carré de côté 7 cm a une aire de 72=497^2 = 49 centimètres carrés. Un cube d'arête 4 cm a un volume de 43=644^3 = 64 centimètres cubes.

3Essaie par toi-même

Tu as une boîte cubique de 5 cm d'arête.

Quel est le volume de la boîte ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule 535^3 :

Points clés

  • 1Un exposant indique combien de fois la base apparaît comme facteur : bn=b×b×...×bb^n = b \times b \times ... \times b (n facteurs)
  • 2La base est le nombre multiplié ; l'exposant indique combien de fois
  • 3n2n^2 est 'n au carré' et n3n^3 est 'n au cube'
  • 4Les puissances de 10 sont particulièrement utiles : 10n10^n est 1 suivi de n zéros
  • 5Tout nombre à la puissance 1 est égal à lui-même : n1=nn^1 = n

Questions fréquentes

Tout nombre non nul à la puissance 0 est égal à 1. Par exemple : 50=15^0 = 1, 1000=1100^0 = 1. Tu le verras en détail dans une prochaine leçon !
Tout nombre non nul à la puissance 0 est égal à 1. Par exemple : 50=15^0 = 1, 1000=1100^0 = 1. Tu le verras en détail dans une prochaine leçon !
'Au carré' vient du calcul de l'aire d'un carré (côté fois côté). 'Au cube' vient du calcul du volume d'un cube (côté fois côté fois côté).
Non ! 23=82^3 = 8 (trois 2 multipliés) mais 32=93^2 = 9 (deux 3 multipliés). L'ordre compte !

Glossaire

Exposant
Le petit nombre écrit en haut à droite qui indique combien de fois la base apparaît comme facteur
Base
Le nombre qui est multiplié plusieurs fois dans une puissance
Puissance
Le résultat de l'élévation d'une base à un exposant (par exemple, 8 est une puissance de 2)
Au carré
Élevé à la puissance 2 (multiplié par lui-même une fois)
Au cube
Élevé à la puissance 3 (multiplié par lui-même deux fois)
Défi du jourUn problème, trois essais

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