Guide de l'enseignant: Exposant zéro

Découvre pourquoi tout nombre non nul élevé à la puissance zéro vaut 1, et comment traiter des expressions comme $5x^0$ et $(-3)^0$.

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Quiz de classe

10 questions sur Puissances & Racines. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Énoncer la règle $a^0 = 1$ pour toute base non nulle
Justifier la règle par la régularité de la division par la base et par le quotient de puissances
Calculer des expressions contenant des exposants zéro avec d'autres puissances
Distinguer des expressions comme $5x^0$ et $(5x)^0$ , ou $-3^0$ et $(-3)^0$
Reconnaître que $0^0$ est un cas particulier qui n'est pas défini

Prérequis

• Introduction aux exposants : base, exposant et calcul de puissances comme $2^5$
• Quotient de puissances de même base : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• Priorités opératoires, en particulier les puissances avant la multiplication et les signes

Amorces de discussion

1. Beaucoup pensent que $5^0 = 0$ . Pourquoi cette idée paraît-elle naturelle, et où est l'erreur ?
2. Écris les puissances de 10 de $10^3$ à $10^0$ . Que fait chaque étape au nombre ?
3. Pourquoi la règle du quotient oblige-t-elle $a^0$ à valoir 1 ?
4. Comment expliquerais-tu à un ami pourquoi $-2^0$ et $(-2)^0$ donnent des résultats différents ?
5. Pourquoi, selon toi, laisse-t-on $0^0$ non défini à ce niveau ?

Idées reçues courantes

Un exposant zéro signifie que le résultat est zéro ( $a^0 = 0$ )

Remédiation: Construire le tableau des puissances de 2 à partir de $2^4$ en descendant. Demander quelle opération fait passer d'une ligne à la suivante (diviser par 2) et laisser les élèves calculer $2 \div 2$ eux-mêmes.

Un exposant zéro laisse la base inchangée ( $a^0 = a$ )

Remédiation: Comparer $a^1$ et $a^0$ dans le même tableau. Faire remarquer que l'exposant 1 donne déjà la base, donc l'exposant 0 doit correspondre à une division de plus.

L'exposant zéro transforme tout le terme en 1 ( $5x^0 = 1$ , $-3^0 = 1$ )

Remédiation: Entourer la base concernée par l'exposant avant de calculer. Réécrire $5x^0$ comme $5 \times x^0$ et $-3^0$ comme $-(3^0)$ , puis vérifier à la calculatrice.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Utiliser seulement le tableau de régularités avec de petites bases (2, 3, 10) avant d'introduire la règle du quotient
• Écrire $\frac{3 \times 3}{3 \times 3}$ en développé et simplifier pour voir que cela vaut 1
• Donner une fiche-mémo avec $a^1 = a$ et $a^0 = 1$ côte à côte

Pour les élèves au niveau:

• Calculer des expressions mixtes comme $4^0 + 2^3 \times 6^0$
• Trier des cartes avec $5x^0$ , $(5x)^0$ , $-3^0$ et $(-3)^0$ en égal à 1 et différent de 1
• Utiliser l'exposant zéro dans la décomposition des nombres entiers et en binaire

Pour les élèves avancés:

• Prolonger la régularité sous $2^0$ pour prévoir $2^{-1}$ et $2^{-2}$ (aperçu des exposants négatifs)
• Expliquer pourquoi l'argument de la régularité ne fonctionne pas pour la base 0
• Montrer que le produit de puissances impose aussi $a^0 = 1$ : $a^0 \times a^n = a^n$

Alignement aux standards

8.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.1)
Connaître et appliquer les propriétés des exposants entiers pour produire des expressions numériques équivalentes
6.EE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.6.EE.A.1)
Écrire et calculer des expressions numériques comportant des exposants entiers naturels

Ressources de la leçon

visualSimplifier les facteurs
Écrire $5^3$ sur $5^3$ en facteurs, barrer les facteurs communs et voir qu'il reste $1 = 5^0$
visualPuissances de 2 sur la droite graduée
Faire descendre l'exposant de $2^6$ à $2^0$ et observer la valeur divisée par deux à chaque fois jusqu'à 1
activityTableaux de régularités
Les élèves complètent des tableaux de puissances de 2, 3, 5 et 10 jusqu'à l'exposant 0 et décrivent la règle
worksheetAvec ou sans parenthèses
Des paires comme $4y^0$ et $(4y)^0$ , ou $-7^0$ et $(-7)^0$ , à calculer côte à côte

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

La règle de l'exposant zéro dit que tout nombre non nul élevé à la puissance

0

vaut

1

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Ainsi

7^0 = 1

100^0 = 1

(-5)^0 = 1

\left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1

Pourquoi ? Observe la régularité. Chaque fois que l'exposant diminue de

1

, on divise par la base :

Puissance	Valeur
$2^4$	$16$
$2^3$	$8$
$2^2$	$4$
$2^1$	$2$
$2^0$	$2 \div 2 = 1$

Le quotient de puissances de même base le confirme. Une puissance divisée par elle-même donne

1

, et la règle du quotient donne l'exposant

0

\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 \quad \text{et} \quad \frac{a^n}{a^n} = 1

Fais attention à ce que l'exposant concerne. Un exposant ne s'applique qu'à la base placée juste devant lui :

$5x^0 = 5 \times x^0 = 5 \times 1 = 5$ , mais $(5x)^0 = 1$
$-3^0 = -(3^0) = -1$ , mais $(-3)^0 = 1$

Cas particulier : à ce niveau,

0^0

n'est pas défini. La règle

a^0 = 1

ne vaut que pour

a \neq 0

Exemples résolus

Utilise la régularité des puissances de $3$ pour trouver $3^0$ .

Pars d'une puissance que tu connais

$3^3 = 3 \times 3 \times 3$ → $3^3 = 27$

Diminue l'exposant de 1 : divise par 3

$27 \div 3 = 9$ → $3^2 = 9$

Diminue-le encore : divise par 3

$9 \div 3 = 3$ → $3^1 = 3$

Une dernière étape jusqu'à l'exposant 0

$3 \div 3 = 1$ → $3^0 = 1$

Réponse: $3^0 = 1$

Erreurs courantes

Écrire $a^0 = 0$ , par exemple $9^0 = 0$

Pourquoi c'est faux: L'exposant $0$ ne veut pas dire multiplier par zéro. En descendant dans la régularité, on divise par la base, et $9 \div 9 = 1$ .

Correct: $9^0 = 1$ , car $\frac{9^1}{9^1} = 9^0$ et $\frac{9}{9} = 1$

Écrire $a^0 = a$ , par exemple $9^0 = 9$

Pourquoi c'est faux: C'est la règle de l'exposant $1$ : $9^1 = 9$ . L'exposant $0$ est une étape plus bas, donc on divise encore une fois par $9$ .

Correct: $9^1 = 9$ mais $9^0 = 1$

Écrire $5x^0 = 1$

Pourquoi c'est faux: L'exposant ne concerne que $x$ , pas le coefficient $5$ . Seul $x^0$ devient $1$ .

Correct: $5x^0 = 5 \times 1 = 5$ , alors que $(5x)^0 = 1$

Écrire $-3^0 = 1$

Pourquoi c'est faux: Sans parenthèses, la base est $3$ , pas $-3$ . Le signe moins reste devant le résultat.

Correct: $-3^0 = -(3^0) = -1$ , alors que $(-3)^0 = 1$

Pourquoi c'est important

L'exposant zéro apparaît partout où l'on utilise des puissances :

Numération : le rang des unités correspond à $10^0 = 1$ , donc $345 = 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 5 \times 10^0$
Informatique : le chiffre le plus à droite d'un nombre binaire vaut $2^0 = 1$
Modèles de croissance : dans $P = 500 \times 2^t$ , la valeur de départ en $t = 0$ est $500 \times 2^0 = 500$
Algèbre : pour simplifier $\frac{x^4}{x^4}$ ou $3x^0$ , tu as besoin de la règle à chaque fois

a^0

valait

0

, le rang des unités ne vaudrait rien et chaque modèle de croissance démarrerait à zéro. Seule la valeur

1

permet à toutes les règles sur les puissances de rester vraies.

Applications dans le monde réel

Numération et puissances de dix

Chaque rang de notre système de numération est une puissance de dix. Le rang des unités correspond à $10^0 = 1$.

Exemple:

$6072 = 6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ , et le dernier terme vaut $2 \times 1 = 2$ .

1Essaie par toi-même

Une professeure écrit $6072$ sous forme décomposée : $6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ .

Quelle est la valeur du dernier terme, $2 \times 10^0$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le dernier terme sous forme de calcul :

Les nombres binaires en informatique

Les ordinateurs enregistrent les nombres en binaire. Chaque rang binaire est une puissance de deux, et le rang le plus à droite vaut $2^0 = 1$.

Exemple:

Le nombre binaire $1011$ signifie $1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$ .

2Essaie par toi-même

Un capteur envoie le nombre binaire $101$ , c'est-à-dire $1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$ .

Quel est ce nombre dans notre système décimal habituel ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris la somme des valeurs des rangs :

Valeur de départ d'un modèle de croissance

Les biologistes modélisent une population qui double chaque heure par $P = P_0 \times 2^t$, où $t$ est le temps en heures.

Exemple:

Pour $P = 200 \times 2^t$ , après 3 heures $P = 200 \times 2^3 = 1600$ , et au départ $P = 200 \times 2^0 = 200$ .

3Essaie par toi-même

Une culture de bactéries évolue selon $P = 500 \times 2^t$ , où $t$ est le nombre d'heures depuis le début.

Combien y a-t-il de bactéries au départ, quand $t = 0$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Remplace $t$ par $0$ dans la formule :

Points clés

1Pour tout nombre $a$ non nul : $a^0 = 1$
2Régularité : chaque fois que l'exposant baisse de 1, on divise par la base, donc $2^1 = 2$ devient $2^0 = 2 \div 2 = 1$
3Quotient de puissances : $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$ , et un nombre divisé par lui-même vaut $1$
4L'exposant ne concerne que la base placée juste devant : $5x^0 = 5$ mais $(5x)^0 = 1$
5Les parenthèses comptent avec les nombres négatifs : $-3^0 = -1$ mais $(-3)^0 = 1$
6 $a^0$ ne vaut jamais $0$ ni $a$ ; à ce niveau, $0^0$ n'est pas défini

Questions fréquentes

Pourquoi $a^0$ vaut-il 1 et pas 0 ?

Parce que chaque fois que l'exposant baisse de 1, on divise par la base. À partir de

5^1 = 5

, une étape de plus donne

5 \div 5 = 1

. La règle du quotient dit la même chose :

\frac{5^3}{5^3} = 5^0

, et tout nombre non nul divisé par lui-même vaut

1

Que vaut $0^0$ ?

À ce niveau,

0^0

n'est pas défini. L'argument de la régularité demande de diviser par la base, et on ne peut pas diviser par

0

. C'est pourquoi la règle s'écrit

a^0 = 1

pour

a \neq 0

La règle marche-t-elle pour les nombres négatifs et les fractions ?

Oui, tant que la base n'est pas nulle et que toute la base est entre parenthèses :

(-8)^0 = 1

\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1

Pourquoi ma calculatrice affiche-t-elle $-1$ pour $-3^0$ ?

La calculatrice respecte les priorités opératoires : la puissance passe avant le signe moins, donc elle calcule

-(3^0) = -1

. Tape

(-3)^0

avec des parenthèses pour obtenir

1

Glossaire

Exposant zéro: Un exposant égal à $0$ . Pour toute base non nulle, $a^0 = 1$ .
Base: Le nombre que l'on élève à une puissance. Dans $(-3)^0$ la base est $-3$ , dans $-3^0$ c'est $3$ .
Quotient de puissances de même base: Pour diviser des puissances de même base, on soustrait les exposants : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ .
Coefficient: Le nombre placé devant une variable. Dans $5x^0$ le coefficient est $5$ , et l'exposant ne le concerne pas.
Non défini: Une expression à laquelle on n'attribue aucune valeur. À ce niveau, $0^0$ n'est pas défini.

Carte des formules

Règle de l'exposant zéro

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Tout nombre non nul à la puissance zéro vaut 1

Pourquoi ça marche

\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1

La règle du quotient et la division d'un nombre par lui-même donnent le même résultat

Coefficient devant

c \cdot x^0 = c \quad (x \neq 0)

Seule la variable devient 1, le coefficient reste

Parenthèses et nombres négatifs

(-a)^0 = 1, \quad -a^0 = -1

Avec parenthèses la base est négative, sans parenthèses le signe moins reste à l'extérieur

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Définition

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Valeur de départ d'un modèle de croissance

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Règle de l'exposant zéro

Pourquoi ça marche

Coefficient devant

Parenthèses et nombres négatifs

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Produit de puissances de même base