Guide de l'enseignant: Comparer des nombres en notation scientifique

Apprends à comparer et ranger des nombres en notation scientifique : d'abord les exposants, puis les coefficients, et combien de fois un nombre est plus grand.

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Quiz de classe

10 questions sur Notation Scientifique. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Comparer deux nombres en notation scientifique grâce à leurs exposants
Comparer les coefficients quand les exposants sont égaux
Normaliser un nombre avant de le comparer
Comparer et ranger des nombres à exposants négatifs
Estimer combien de fois un nombre est plus grand qu'un autre avec les puissances de dix

Prérequis

• Bases de la notation scientifique : la forme $a \times 10^n$ (leçon Notation scientifique)
• Écrire des nombres en notation scientifique (leçon Écrire des nombres en notation scientifique)
• Comparer des nombres négatifs sur une droite graduée
• Comparer des nombres décimaux comme 4,5 et 4,6

Amorces de discussion

1. Pourquoi peux-tu comparer $3{,}1 \times 10^6$ et $9{,}8 \times 10^5$ sans écrire un seul zéro ?
2. Lequel est le plus grand, $9{,}99 \times 10^5$ ou $1 \times 10^6$ ? Comment convaincrais-tu un ami ?
3. Pourquoi $10^{-3}$ est-il plus grand que $10^{-5}$ , alors que $5 > 3$ ?
4. Une astronome dit qu'une étoile est trois ordres de grandeur plus lumineuse qu'une autre. Qu'est-ce que cela veut dire en nombres ?

Idées reçues courantes

Le nombre qui a le plus grand coefficient est le plus grand

Remédiation: Écris $9{,}8 \times 10^5$ et $3{,}1 \times 10^6$ côte à côte en écriture décimale : $980\,000$ et $3\,100\,000$ . Demande à quel rang commence chaque nombre.

Un exposant négatif de plus grande valeur absolue donne un plus grand nombre

Remédiation: Place $10^{-1}$ , $10^{-2}$ , $10^{-3}$ , soit $0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ , sur une droite graduée et fais voir aux élèves que les valeurs diminuent quand l'exposant baisse.

On peut comparer des nombres comme $45 \times 10^3$ directement par leurs exposants

Remédiation: Montre que $45 \times 10^3$ et $4{,}5 \times 10^4$ sont le même nombre. Fais de "normaliser d'abord" la première ligne de chaque comparaison.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des paires avec le même coefficient et des exposants différents
• Faire écrire les deux nombres en écriture décimale pour vérifier chaque comparaison
• Utiliser une échelle de puissances de dix pour placer chaque nombre avant de comparer

Pour les élèves au niveau:

• Comparer des paires à exposants négatifs et à exposants égaux
• Normaliser des nombres comme $38 \times 10^5$ ou $0{,}7 \times 10^{-3}$ avant de comparer
• Ranger des listes de quatre à six mesures réelles

Pour les élèves avancés:

• Estimer combien de fois une grandeur est plus grande, y compris avec des coefficients différents
• Trouver quelles paires de tailles réelles (atome, cellule, Terre, Soleil) diffèrent de plus de dix ordres de grandeur
• Expliquer pourquoi un nombre normalisé d'exposant $n$ est toujours compris entre $10^n$ et $10^{n+1}$

Alignement aux standards

8.EE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.3)
Utiliser des nombres de la forme un chiffre fois une puissance entière de 10 pour estimer des quantités très grandes ou très petites et dire combien de fois l'une est plus grande que l'autre
8.EE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.4)
Effectuer des opérations avec des nombres en notation scientifique et interpréter la notation scientifique donnée par la calculatrice

Ressources de la leçon

visualComparateur de notation scientifique
Normaliser, comparer les exposants puis les coefficients, et ranger des tailles de l'univers sur une échelle de puissances de dix
activityCorde des tailles de l'univers
Les élèves rangent des cartes de tailles, des atomes aux galaxies, écrites en notation scientifique, le long d'une corde au mur
worksheetComparer et ranger
Paires et listes à comparer, avec des nombres à normaliser d'abord et des exposants négatifs

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Pour comparer des nombres en notation scientifique

a \times 10^n

(avec

1 \le a < 10

), tu n'as presque jamais besoin d'écrire tous les zéros. Suis trois étapes :

1.Normalise les deux nombres, pour que chaque coefficient soit entre $1$ et $10$ . Par exemple, $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$ .
2.Compare les exposants. Le nombre qui a le plus grand exposant est le plus grand : $3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5$ , car $6 > 5$ .
3.Si les exposants sont égaux, compare les coefficients : $4{,}7 \times 10^8 > 4{,}2 \times 10^8$ , car $4{,}7 > 4{,}2$ .

L'exposant décide en premier, car chaque cran de plus dans l'exposant multiplie le nombre par

10

, et un coefficient ne peut jamais compenser cela : même

9{,}99 \times 10^5

est inférieur à

1 \times 10^6

Les exposants négatifs suivent la même règle, tu les compares simplement comme des nombres négatifs :

-3 > -5

, donc

10^{-3} > 10^{-5}

(

0{,}001 > 0{,}00001

Combien de fois plus grand ? Quand les coefficients sont égaux, divise les puissances de dix en soustrayant les exposants :

\frac{10^8}{10^5} = 10^{8-5} = 10^3 = 1000

Chaque différence de

1

dans l'exposant correspond à un ordre de grandeur (un facteur

10

Exemples résolus

Lequel est le plus grand :

3{,}1 \times 10^6

9{,}8 \times 10^5

Vérifie que les deux sont normalisés

Les deux coefficients,

3{,}1

9{,}8

, sont entre

1

10

→ Prêt à comparer

Compare les exposants

6 > 5

→

10^6

vaut dix fois

10^5

Conclus (les coefficients ne comptent pas ici)

3{,}1 \times 10^6 = 3\,100\,000

9{,}8 \times 10^5 = 980\,000

→

3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5

Réponse: $3{,}1 \times 10^6$ est le plus grand, même si son coefficient est plus petit.

Erreurs courantes

Comparer d'abord les coefficients : croire que $9{,}8 \times 10^5 > 3{,}1 \times 10^6$ car $9{,}8 > 3{,}1$

Pourquoi c'est faux: C'est la puissance de dix qui fixe la taille. $10^6$ vaut dix fois $10^5$ , et aucun coefficient inférieur à $10$ ne peut compenser cela.

Correct: Compare d'abord les exposants : $6 > 5$ , donc $3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5$ . Ne regarde les coefficients que si les exposants sont égaux.

Comparer sans normaliser : croire que $45 \times 10^3 > 4{,}6 \times 10^4$ car $45 > 4{,}6$

Pourquoi c'est faux: $45 \times 10^3$ n'est pas en notation scientifique, donc son exposant ne dit pas sa vraie taille.

Correct: Normalise d'abord : $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$ . Ensuite $4{,}5 < 4{,}6$ , donc $45 \times 10^3 < 4{,}6 \times 10^4$ .

Croire que $10^{-5} > 10^{-3}$ car $5 > 3$

Pourquoi c'est faux: Les exposants négatifs se comparent comme des nombres négatifs : $-5$ est inférieur à $-3$ .

Correct: $10^{-5} = 0{,}00001$ et $10^{-3} = 0{,}001$ , donc $10^{-3} > 10^{-5}$ . L'exposant le plus proche de zéro l'emporte.

Croire que $10^6$ est le double de $10^3$ , ou $3$ de plus que $10^3$

Pourquoi c'est faux: Les exposants diffèrent de $3$ , mais chaque cran dans l'exposant multiplie par $10$ , il n'ajoute rien.

Correct: $\frac{10^6}{10^3} = 10^{6-3} = 10^3$ , donc $10^6$ vaut $1000$ fois $10^3$ .

Pourquoi c'est important

Les sciences sont pleines de nombres trop grands ou trop petits pour être comparés à l'œil :

Espace : la Terre mesure environ $1{,}27 \times 10^7$ m de diamètre, alors que la distance Terre-Soleil est d'environ $1{,}5 \times 10^{11}$ m. Les exposants te disent tout de suite que la distance est environ $10^4$ (dix mille) fois plus grande.
Biologie : un globule rouge ( $7 \times 10^{-6}$ m) est bien plus grand qu'un atome d'hydrogène ( $1 \times 10^{-10}$ m), car $-6 > -10$ .
Informatique : un téraoctet ( $10^{12}$ octets) contient $1000$ fois plus qu'un gigaoctet ( $10^9$ octets).
Médecine : des doses et des concentrations comme $5 \times 10^{-4}$ g ou $8 \times 10^{-6}$ g ne doivent jamais être confondues.

Comparer d'abord les exposants est rapide et sûr. Compter les zéros de

0{,}0000070

et de

0{,}00000001

est lent et source d'erreurs.

Applications dans le monde réel

Biologie : bactéries et virus

Les microbiologistes comparent de minuscules longueurs écrites avec des exposants négatifs pour choisir le bon microscope.

Exemple:

Un microscope optique montre des objets jusqu'à environ $2 \times 10^{-7}$ m. Une bactérie de $2 \times 10^{-6}$ m est plus grande ( $-6 > -7$ ), on peut donc la voir. La plupart des virus sont plus petits et demandent un microscope électronique.

1Essaie par toi-même

Une bactérie mesure $2 \times 10^{-6}$ m de long. Un virus mesure $1 \times 10^{-7}$ m de diamètre.

Combien de fois la bactérie est-elle plus longue que le virus ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Compare les puissances de dix, puis tiens compte des coefficients :

Informatique : tailles de stockage

Le stockage se mesure en octets : un gigaoctet vaut $10^9$ octets et un téraoctet $10^{12}$ octets. Comparer les exposants te dit combien de fichiers tiennent.

Exemple:

Une photo de $3 \times 10^6$ octets est bien plus petite qu'une vidéo de $3 \times 10^9$ octets : même coefficient, et les exposants diffèrent de $3$ , donc la vidéo est $1000$ fois plus grande.

2Essaie par toi-même

Un disque dur contient $2 \times 10^{12}$ octets. Un fichier de film fait $2 \times 10^9$ octets.

Combien de films tiennent sur le disque ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Les coefficients sont égaux, compare donc seulement les puissances de dix :

Physique : longueurs d'onde des lasers

Les longueurs d'onde de la lumière sont minuscules et souvent écrites sous des formes différentes, par exemple en nanomètres ($10^{-9}$ m). Pour les comparer, normalise d'abord.

Exemple:

La lumière bleue a une longueur d'onde d'environ $4{,}5 \times 10^{-7}$ m et la lumière rouge d'environ $7 \times 10^{-7}$ m. Même exposant, donc $7 > 4{,}5$ montre que la lumière rouge a la plus grande longueur d'onde.

3Essaie par toi-même

Une fiche de laboratoire indique un laser rouge à $650 \times 10^{-9}$ m et un laser vert à $5{,}3 \times 10^{-7}$ m.

Quel laser a la plus grande longueur d'onde ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Normalise $650 \times 10^{-9}$ , puis compare :

Points clés

1Normalise d'abord : chaque coefficient doit vérifier $1 \le a < 10$ (par exemple $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$ )
2Compare d'abord les exposants : le plus grand exposant donne le plus grand nombre
3Seulement si les exposants sont égaux, compare les coefficients
4Les exposants négatifs se comparent comme des nombres négatifs : $10^{-3} > 10^{-5}$ car $-3 > -5$
5Pour ranger une liste, trie selon l'exposant, puis selon le coefficient à exposant égal
6À coefficients égaux, $10^m$ vaut $10^{m-n}$ fois $10^n$ : chaque cran de l'exposant est un ordre de grandeur

Questions fréquentes

Pourquoi l'exposant compte-t-il plus que le coefficient ?

Un coefficient normalisé est toujours inférieur à

10

, alors qu'un cran de plus dans l'exposant multiplie par

10

. Ainsi

9{,}99 \times 10^5 = 999\,000

reste inférieur à

1 \times 10^6 = 1\,000\,000

Et si un nombre n'est pas correctement écrit en notation scientifique ?

Normalise-le avant de comparer. Déplace la virgule jusqu'à ce que le coefficient soit entre

1

10

et ajuste l'exposant :

0{,}8 \times 10^5 = 8 \times 10^4

45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4

Un nombre avec un exposant négatif est-il toujours plus petit qu'un nombre avec un exposant positif ?

Oui, pour des nombres positifs. Un nombre normalisé avec un exposant négatif est inférieur à

1

(par exemple

9{,}9 \times 10^{-1} = 0{,}99

), et un nombre avec un exposant

0

ou plus vaut au moins

1

Que veut dire "deux ordres de grandeur plus grand" ?

Cela veut dire environ

10^2 = 100

fois plus grand. L'ordre de grandeur correspond à peu près à l'exposant, donc une différence de

2

entre les exposants signifie un facteur d'environ

100

Glossaire

Notation scientifique: Un nombre écrit sous la forme $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$ et $n$ un entier relatif
Coefficient: Le nombre $a$ devant la puissance de dix (aussi appelé mantisse), par exemple $4{,}6$ dans $4{,}6 \times 10^4$
Exposant: La puissance $n$ dans $10^n$ ; c'est elle qu'on compare en premier
Normaliser: Réécrire un nombre pour que son coefficient soit entre $1$ et $10$ : $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$
Ordre de grandeur: Un facteur $10$ ; des nombres dont les exposants diffèrent de $3$ diffèrent d'environ trois ordres de grandeur ( $10^3$ )

Carte des formules

Ordre de comparaison

\text{normaliser} \rightarrow \text{exposants} \rightarrow \text{coefficients}

Vérifie que $1 \le a < 10$, compare les exposants, et ne compare les coefficients que si les exposants sont égaux.

Combien de fois plus grand

\frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}

À coefficients égaux, le plus grand nombre vaut $10^{m-n}$ fois le plus petit.

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Exemples résolus

Erreurs courantes

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Applications dans le monde réel

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Informatique : tailles de stockage

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Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Ordre de comparaison

Combien de fois plus grand

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