Guide de l'enseignant: Fractions impropres

Apprends ce que sont les fractions impropres, en quoi elles diffèrent des fractions propres et pourquoi elles sont égales ou supérieures à 1.

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Quiz de classe

10 questions sur Bases des Fractions. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Définir une fraction impropre comme une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur
Classer des fractions en propres ou impropres en comparant le numérateur et le dénominateur
Décider si une fraction est inférieure, égale ou supérieure à 1
Placer des fractions impropres sur une droite graduée au-delà de 1
Reconnaître les fractions impropres égales à des nombres entiers, comme $\frac{6}{3} = 2$

Prérequis

• Qu'est-ce qu'une fraction : numérateur, dénominateur et parts égales
• Fractions équivalentes : la même valeur écrite de différentes façons
• Tables de multiplication et divisions simples

Amorces de discussion

1. Peut-on manger plus de parts qu'une pizza n'en a ? Comment l'écrirais-tu sous forme de fraction ?
2. Pourquoi $\frac{5}{5}$ est-elle égale à 1 ? Peux-tu trouver trois autres fractions égales à 1 ?
3. $\frac{100}{99}$ est-elle plus grande ou plus petite que 1 ? Comment le sais-tu sans calculer ?
4. Pourquoi quelqu'un écrirait-il $\frac{7}{4}$ au lieu de dire un et trois quarts ?

Idées reçues courantes

Une fraction est toujours inférieure à 1

Remédiation: Comptez à voix haute des fractions unitaires au-delà d'une unité : un quart, deux quarts, trois quarts, quatre quarts, cinq quarts. Montrez que les sauts continuent sur une droite graduée de 0 à 3.

Une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur est propre

Remédiation: Coloriez toutes les parts d'une bande de fraction : $\frac{4}{4}$ remplit toute la bande. Les fractions propres ne remplissent jamais toute la bande, donc $\frac{4}{4}$ fait partie des fractions impropres.

Un numérateur plus grand veut toujours dire une fraction plus grande

Remédiation: Comparez $\frac{9}{8}$ et $\frac{5}{4}$ sur la droite graduée : $\frac{9}{8}$ n'est qu'un huitième après 1, alors que $\frac{5}{4}$ est un quart après 1. Regardez toujours le numérateur et le dénominateur ensemble.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Utiliser des bandes de fractions ou des pizzas en papier pour que les élèves construisent eux-mêmes plus d'une unité
• Travailler d'abord seulement avec des demis et des quarts
• S'entraîner à compter à voix haute au-delà d'une unité : quatre quarts, cinq quarts, six quarts

Pour les élèves au niveau:

• Classer des séries mélangées de fractions propres et impropres
• Placer des fractions impropres de dénominateurs 2, 3 et 4 sur une droite graduée de 0 à 3
• Trouver des fractions impropres égales à des nombres entiers

Pour les élèves avancés:

• Comparer des fractions impropres de dénominateurs différents, comme $\frac{9}{4}$ et $\frac{7}{3}$
• Trouver toutes les fractions de dénominateur 5 comprises entre 2 et 3
• Préparer les nombres fractionnaires en décomposant des fractions impropres en unités et en un reste

Alignement aux standards

3.NF.A.2.B (CCSS.MATH.CONTENT.3.NF.A.2.B)
Représenter une fraction a/b sur une droite graduée en reportant a longueurs de 1/b à partir de 0
3.NF.A.3.C (CCSS.MATH.CONTENT.3.NF.A.3.C)
Écrire des nombres entiers sous forme de fractions et reconnaître les fractions égales à des nombres entiers
4.NF.B.3.B (CCSS.MATH.CONTENT.4.NF.B.3.B)
Décomposer une fraction en une somme de fractions de même dénominateur de plusieurs façons

Ressources de la leçon

visualDroite graduée en fractions de 0 à 3
Les élèves comptent des sauts d'un quart au-delà de 1 et de 2 et écrivent les fractions impropres
activityCompter les parts de pizza
Les groupes rassemblent des parts de pizzas en papier venant de plusieurs pizzas et nomment le total par une fraction impropre
worksheetInférieure, égale ou supérieure à 1 ?
Trier des fractions dans trois colonnes et placer chacune sur une droite graduée

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Une fraction impropre est une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur. Exemples :

\frac{5}{4}

\frac{7}{3}

\frac{6}{6}

Une fraction propre a un numérateur plus petit que son dénominateur, comme

\frac{3}{4}

. Une fraction propre est toujours inférieure à 1.

Pour les distinguer, compare le numérateur au dénominateur :

Numérateur plus petit que le dénominateur : propre, inférieure à 1 ( $\frac{3}{4} < 1$ )
Numérateur égal au dénominateur : impropre, exactement 1 ( $\frac{4}{4} = 1$ )
Numérateur plus grand que le dénominateur : impropre, plus que 1 ( $\frac{7}{4} > 1$ )

Imagine

\frac{7}{4}

comme sept quarts. Quatre quarts forment une unité entière, et il reste trois quarts :

\frac{7}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4}

Quand le numérateur est un multiple du dénominateur, la fraction impropre est un nombre entier :

\frac{6}{3} = 6 \div 3 = 2

Exemples résolus

Trie ces fractions : $\frac{3}{5}$ , $\frac{8}{5}$ et $\frac{5}{5}$ . Lesquelles sont propres et lesquelles sont impropres ?

Regarde $\frac{3}{5}$

Numérateur $3$ , dénominateur $5$ : $3 < 5$ → Propre, inférieure à 1

Regarde $\frac{8}{5}$

Numérateur $8$ , dénominateur $5$ : $8 > 5$ → Impropre, plus que 1

Regarde $\frac{5}{5}$

$5 = 5$ , donc les cinq cinquièmes ensemble forment une unité entière → Impropre, exactement 1

Réponse: $\frac{3}{5}$ est propre. $\frac{8}{5}$ et $\frac{5}{5}$ sont impropres, et $\frac{5}{5} = 1$ .

Erreurs courantes

Penser qu'une fraction ne peut jamais être plus grande que 1

Pourquoi c'est faux: On présente souvent les fractions comme des parts d'une seule unité, alors il semble impossible d'avoir plus de parts que l'unité n'en contient. Mais une fraction compte des parts égales, et on peut compter plus de parts qu'il n'en faut pour une unité.

Correct: $\frac{7}{4}$ signifie sept quarts : une unité (quatre quarts) plus trois autres quarts, donc $\frac{7}{4} > 1$ .

Dire que $\frac{4}{4}$ est une fraction propre

Pourquoi c'est faux: Elle ressemble à une fraction ordinaire, mais une fraction propre doit être inférieure à 1, et $\frac{4}{4}$ vaut exactement 1.

Correct: Quand le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est impropre et vaut 1 : $\frac{4}{4} = \frac{9}{9} = 1$ .

Placer $\frac{5}{4}$ entre 0 et 1 sur la droite graduée

Pourquoi c'est faux: Beaucoup d'élèves arrêtent de compter les quarts à 1. Pourtant, après $\frac{4}{4}$ les sauts continuent tout simplement, et $\frac{5}{4}$ est la graduation suivante.

Correct: Continue de compter après 1 : $\frac{4}{4} = 1$ , donc $\frac{5}{4}$ est un quart à droite de 1.

Penser qu'impropre veut dire faux

Pourquoi c'est faux: Dans la vie de tous les jours, impropre fait penser à une erreur, mais en maths c'est seulement le nom des fractions qui valent 1 ou plus.

Correct: $\frac{9}{4}$ est une réponse tout à fait correcte. Souvent, c'est même la forme la plus pratique pour calculer.

Pourquoi c'est important

Les quantités plus grandes qu'une unité entière sont partout, et les fractions impropres les décrivent en comptant des parts égales :

Cuisine : six quarts de tasse de farine font $\frac{6}{4}$ tasses, donc plus d'une tasse
Temps : cinq quarts d'heure font $\frac{5}{4}$ d'heure, soit 75 minutes
Partager un repas : manger 9 parts de pizzas coupées chacune en 8 parts, c'est manger $\frac{9}{8}$ d'une pizza
Additionner des fractions : $\frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4}$ , les résultats sont donc souvent des fractions impropres

Les fractions impropres sont aussi la forme la plus pratique pour calculer. C'est pourquoi tu les retrouveras sans cesse quand tu additionneras, multiplieras et diviseras des fractions.

Applications dans le monde réel

Cuisiner avec des mesurettes

Les recettes sont souvent mesurées avec de petites mesurettes, et plusieurs mesurettes dépassent vite une tasse.

Exemple:

Trois mesurettes de $\frac{1}{2}$ tasse de lait font $\frac{3}{2}$ tasses, donc plus d'une tasse.

1Essaie par toi-même

Ta seule mesurette contient $\frac{1}{4}$ de tasse. Une recette de crêpes demande 6 mesurettes de farine.

Combien de tasses de farine cela fait-il, écrit sous forme de fraction ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Compte les quarts de tasse :

Le temps en quarts d'heure

Un quart d'heure dure 15 minutes, c'est pourquoi les horaires et les emplois du temps comptent souvent le temps en quarts d'heure.

Exemple:

Un film qui dure 6 quarts d'heure dure $\frac{6}{4}$ d'heure, soit 90 minutes.

2Essaie par toi-même

L'entraînement de natation dure 5 quarts d'heure.

Quelle fraction d'heure cela représente-t-il, et combien de minutes ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Cinq quarts d'heure de 15 minutes chacun :

Des bouteilles d'eau pour une équipe

Les boissons sont souvent vendues en bouteilles d'un demi-litre, et quelques bouteilles font vite plusieurs litres.

Exemple:

Deux bouteilles d'un demi-litre contiennent $\frac{2}{2} = 1$ litre d'eau.

3Essaie par toi-même

Une équipe de football apporte 7 bouteilles contenant chacune $\frac{1}{2}$ litre d'eau.

Combien de litres d'eau cela fait-il, écrit sous forme de fraction ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Compte les demi-litres :

Points clés

1Une fraction impropre a un numérateur supérieur ou égal à son dénominateur, comme $\frac{7}{4}$ ou $\frac{5}{5}$
2Une fraction propre a un numérateur plus petit que le dénominateur et est toujours inférieure à 1
3Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction vaut exactement 1 : $\frac{6}{6} = 1$
4Si le numérateur est plus grand, la fraction vaut plus que 1 et se trouve à droite de 1 sur la droite graduée
5Si le numérateur est un multiple du dénominateur, la fraction est un nombre entier : $\frac{6}{3} = 2$
6Impropre est seulement un nom, pas une erreur. $\frac{7}{4}$ peut aussi s'écrire comme le nombre fractionnaire $1\frac{3}{4}$ , ce que tu verras dans les prochaines leçons

Questions fréquentes

$\frac{4}{4}$ est-elle une fraction propre ou impropre ?

Elle est impropre. Une fraction propre doit être inférieure à 1, mais

\frac{4}{4}

vaut exactement 1. Toute fraction dont le numérateur est égal au dénominateur est impropre et vaut 1.

Pourquoi les appelle-t-on impropres ?

Le nom est très ancien. Une fraction propre était vue comme une vraie partie d'une unité, et une fraction qui vaut une unité ou plus ne correspondait pas à cette idée. On l'a donc appelée impropre. Cela ne veut pas dire fausse.

Peut-on écrire tout nombre entier sous forme de fraction impropre ?

Oui. Multiplie le nombre entier par n'importe quel dénominateur pour obtenir le numérateur :

3 = \frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{12}{4}

Dois-je toujours transformer une fraction impropre en nombre fractionnaire ?

Non. Les deux formes sont correctes. Les fractions impropres sont en général plus faciles pour calculer, tandis que les nombres fractionnaires comme

1\frac{3}{4}

montrent la taille d'un coup d'œil. Passer d'une forme à l'autre est le sujet des prochaines leçons.

Glossaire

Fraction propre: Une fraction dont le numérateur est plus petit que le dénominateur, comme $\frac{3}{4}$ . Elle est toujours inférieure à 1.
Fraction impropre: Une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur, comme $\frac{7}{4}$ ou $\frac{4}{4}$ . Elle vaut 1 ou plus.
Numérateur: Le nombre du haut d'une fraction ; il compte combien de parts égales il y a
Dénominateur: Le nombre du bas d'une fraction ; il indique combien de parts égales forment une unité
Nombre entier: L'un des nombres 0, 1, 2, 3 et ainsi de suite. Certaines fractions impropres sont des nombres entiers, comme $\frac{6}{3} = 2$ .
Nombre fractionnaire: Un nombre entier et une fraction propre écrits ensemble, comme $1\frac{3}{4}$ . C'est une autre façon d'écrire une fraction impropre.

Carte des formules

Fraction propre

\frac{a}{b} < 1 \text{ si } a < b

Le numérateur est plus petit que le dénominateur

Égale à un

\frac{a}{a} = 1

Le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est donc impropre et vaut 1

Plus grande que un

\frac{a}{b} > 1 \text{ si } a > b

Le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est donc impropre

Nombre entier

\frac{a}{b} = a \div b

Si $b$ divise $a$ exactement, la fraction est un nombre entier, par exemple $\frac{12}{4} = 3$

Plus sur ce sujet

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Pour les enseignants

Pour les élèves en difficulté:

Pour les élèves au niveau:

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Contenu de la leçon

Définition

Exemples résolus

Erreurs courantes

Pourquoi c'est important

Applications dans le monde réel

Cuisiner avec des mesurettes

Le temps en quarts d'heure

Des bouteilles d'eau pour une équipe

Points clés

Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Fraction propre

Égale à un

Plus grande que un

Nombre entier

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