Guide de l'enseignant: Ranger des fractions

Apprends à ranger trois fractions ou plus dans l'ordre croissant ou décroissant, et à choisir à chaque fois la méthode la plus rapide.

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Quiz de classe

10 questions sur Comparer & Ordonner. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Ranger trois à cinq fractions dans l'ordre croissant et décroissant
Choisir la méthode la plus rapide : même dénominateur, même numérateur, dénominateur commun, décimaux ou repères
Écrire des fractions avec le plus petit dénominateur commun pour les ranger
Utiliser les repères 0, 1/2 et 1 pour classer les fractions en groupes avant de les ranger
Ranger des fractions dans des situations concrètes comme des recettes, des courses et des sondages

Prérequis

• Comparer des fractions de même dénominateur
• Comparer des fractions avec le même numérateur
• Comparer des fractions par multiplication croisée
• Comparer des fractions avec des repères
• Trouver des fractions équivalentes et le plus petit multiple commun

Amorces de discussion

1. Pourquoi un dénominateur commun marche-t-il mieux que la multiplication croisée quand il faut ranger quatre fractions ?
2. Quand préférerais-tu passer aux décimaux plutôt que chercher un dénominateur commun ?
3. Peux-tu ranger $\frac{1}{9}$ , $\frac{5}{9}$ et $\frac{8}{9}$ sans rien écrire ? Comment le savais-tu ?
4. Quelle liste est la plus facile à ranger : $\frac{2}{3}, \frac{2}{5}, \frac{2}{7}$ ou $\frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{7}$ ? Pourquoi ?

Idées reçues courantes

Un dénominateur plus grand donne toujours une fraction plus grande

Remédiation: Montre côte à côte des bandes pour $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{8}$ . Demande : si une pizza est partagée entre 8 personnes au lieu de 2, qui a la plus grosse part ?

Après la mise au même dénominateur, la réponse est la liste des nouvelles fractions

Remédiation: Exige que la réponse finale utilise les fractions de départ. Les fractions transformées ne sont qu'un outil, comme un brouillon.

Il existe une seule bonne méthode pour chaque liste

Remédiation: Fais ranger la même liste par des groupes avec des méthodes différentes, puis compare les résultats et le temps nécessaire. Toutes les méthodes correctes donnent le même ordre.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des listes de trois fractions de même dénominateur ou de même numérateur
• Vérifier chaque rangement avec des bandes de fractions ou la droite graduée
• Donner le dénominateur commun et demander seulement les nouveaux numérateurs

Pour les élèves au niveau:

• Ranger quatre fractions de dénominateurs différents avec le plus petit dénominateur commun
• Nommer la méthode la plus rapide avant de résoudre chaque liste
• Résoudre des problèmes de recettes et de courses qui demandent la deuxième plus petite ou la deuxième plus grande fraction

Pour les élèves avancés:

• Ranger cinq fractions toutes proches du même repère
• Trouver une fraction qui se place entre deux voisines d'une liste rangée
• Comparer le travail de la méthode du dénominateur commun et de celle des décimaux sur la même liste

Alignement aux standards

4.NF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.4.NF.A.2)
Comparer deux fractions de numérateurs et dénominateurs différents en créant des dénominateurs ou numérateurs communs, ou en les comparant à une fraction repère
5.NF.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.5.NF.A.1)
Remplacer des fractions par des fractions équivalentes de manière à obtenir des fractions de même dénominateur
6.NS.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.C.7)
Comprendre l'ordre et la valeur absolue des nombres rationnels

Ressources de la leçon

visualDroite graduée des fractions
Placer toutes les fractions d'une liste sur une droite graduée de 0 à 1 et les lire de gauche à droite
activityDroite graduée humaine
Chaque élève reçoit une carte fraction, la classe se range dans l'ordre croissant et justifie chaque échange de place
worksheetChoisis la méthode
Pour chaque liste, les élèves nomment d'abord la méthode la plus rapide, puis rangent les fractions

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Ranger des fractions, c'est placer trois fractions ou plus en ligne selon leur taille.

Ordre croissant (du plus petit au plus grand) : $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < \frac{3}{4}$
Ordre décroissant (du plus grand au plus petit) : $\frac{3}{4} > \frac{1}{2} > \frac{1}{4}$

Tu sais déjà comparer deux fractions. Pour en ranger plusieurs, choisis la méthode qui convient à toute la liste :

1.Même dénominateur : range les numérateurs. $\frac{2}{9} < \frac{4}{9} < \frac{7}{9}$
2.Même numérateur : plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite. $\frac{3}{10} < \frac{3}{8} < \frac{3}{5}$
3.Dénominateur commun : écris chaque fraction avec le plus petit dénominateur commun, puis range les numérateurs.
4.Nombres décimaux : divise le numérateur par le dénominateur et range les décimaux.
5.Fractions repères $0$ , $\frac{1}{2}$ et $1$ : classe d'abord les fractions en groupes, puis range-les à l'intérieur de chaque groupe.

La multiplication croisée ne compare que deux fractions à la fois, et quatre fractions donnent déjà six paires. Un dénominateur commun met toute la liste sur la même échelle en une seule fois.

Exemples résolus

Range dans l'ordre croissant : $\frac{5}{9}$ , $\frac{2}{9}$ , $\frac{7}{9}$ , $\frac{4}{9}$

Regarde les dénominateurs

Les quatre fractions sont des neuvièmes → Même dénominateur : compare les numérateurs

Range les numérateurs

$2 < 4 < 5 < 7$ → $2, 4, 5, 7$

Écris les fractions dans cet ordre

Le dénominateur $9$ ne change pas → $\frac{2}{9} < \frac{4}{9} < \frac{5}{9} < \frac{7}{9}$

Réponse: $\frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{5}{9}, \frac{7}{9}$

Erreurs courantes

Ranger des fractions unitaires d'après leurs dénominateurs : écrire $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}$ dans l'ordre croissant parce que $3 < 4 < 6$

Pourquoi c'est faux: Avec le même numérateur, un dénominateur plus grand signifie que l'unité est coupée en plus de parts, donc en parts plus petites.

Correct: Dans l'ordre croissant : $\frac{1}{6} < \frac{1}{4} < \frac{1}{3}$ . Le plus grand dénominateur donne la plus petite fraction.

Comparer seulement les numérateurs quand les dénominateurs sont différents, par exemple placer $\frac{5}{12}$ après $\frac{2}{3}$ parce que $5 > 2$

Pourquoi c'est faux: On ne peut comparer directement les numérateurs que si les parts ont la même taille.

Correct: Transforme d'abord : $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ et $\frac{5}{12} < \frac{8}{12}$ , donc $\frac{5}{12} < \frac{2}{3}$ .

Changer seulement le dénominateur : $\frac{3}{4} = \frac{3}{12}$

Pourquoi c'est faux: Si on multiplie seulement le dénominateur, les parts deviennent plus petites sans qu'on en prenne davantage, donc la valeur change.

Correct: Multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre : $\frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$ .

Confondre l'ordre croissant et l'ordre décroissant

Pourquoi c'est faux: L'élève range correctement du plus petit au plus grand, mais la question demandait du plus grand au plus petit (ou l'inverse).

Correct: Souligne d'abord les mots de la consigne. L'ordre croissant commence par la plus petite fraction ( $<$ ), l'ordre décroissant par la plus grande ( $>$ ).

Pourquoi c'est important

Tu ranges des fractions chaque fois que plusieurs quantités doivent être classées :

Cuisine : une recette demande $\frac{3}{4}$ de tasse de farine, $\frac{2}{3}$ de tasse de sucre et $\frac{1}{2}$ tasse de lait. De quel ingrédient as-tu le plus besoin ?
Sport : à l'entraînement, des coureurs parcourent $\frac{7}{10}$ km, $\frac{3}{4}$ km et $\frac{4}{5}$ km. Qui a couru le plus loin ?
Sondages : $\frac{3}{5}$ d'une classe et $\frac{5}{8}$ d'une autre vont à l'école à pied. Dans quelle classe sont-ils plus nombreux ?
Mesures : des forets et des clés portent des tailles comme $\frac{3}{16}$ , $\frac{1}{4}$ et $\frac{5}{32}$ de pouce, et il faut les retrouver dans l'ordre.

C'est aussi la base pour ranger plus tard des nombres décimaux, des pourcentages et des nombres négatifs.

Applications dans le monde réel

Recettes

Les recettes donnent souvent les ingrédients en fractions de tasse, et on veut savoir de quel ingrédient on a le plus ou le moins besoin.

Exemple:

Un gâteau demande $\frac{3}{4}$ de tasse de farine, $\frac{1}{3}$ de tasse de sucre et $\frac{1}{2}$ tasse de lait. Avec les repères : $\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{3}{4}$ , donc la farine est la plus grande quantité.

1Essaie par toi-même

Une recette de granola demande $\frac{3}{4}$ de tasse de farine, $\frac{2}{3}$ de tasse de sucre, $\frac{1}{2}$ tasse de lait et $\frac{5}{6}$ de tasse de flocons d'avoine.

Range les quantités dans l'ordre croissant.

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Écris les quatre quantités en douzièmes et choisis le bon ordre :

Distances de course

Les entraîneurs comparent des distances d'entraînement souvent données en fractions de kilomètre.

Exemple:

Trois coureurs ont parcouru $\frac{3}{5}$ km, $\frac{3}{4}$ km et $\frac{3}{10}$ km. Les numérateurs sont égaux, donc $\frac{3}{10} < \frac{3}{5} < \frac{3}{4}$ .

2Essaie par toi-même

À l'entraînement, le coureur A a couru $\frac{7}{10}$ km, le coureur B $\frac{3}{4}$ km, le coureur C $\frac{4}{5}$ km et le coureur D $\frac{13}{20}$ km.

Quelle est la deuxième distance la plus courte ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris chaque distance en vingtièmes et donne la deuxième plus courte sous forme de fraction :

Résultats de sondage

Les résultats de sondages faits dans des groupes de tailles différentes sont souvent donnés en fractions, et leur classement montre quel groupe a le plus souvent répondu oui.

Exemple:

Dans un sondage, $\frac{1}{4}$ des élèves a choisi la musique, $\frac{1}{2}$ le sport et $\frac{1}{8}$ les arts plastiques. Mêmes numérateurs : $\frac{1}{8} < \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ .

3Essaie par toi-même

On a demandé à quatre classes si elles vont à l'école à pied. Réponses oui : classe A $\frac{3}{5}$ , classe B $\frac{5}{8}$ , classe C $\frac{11}{20}$ , classe D $\frac{16}{25}$ .

Quelle classe a la plus grande part d'élèves qui viennent à pied ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris chaque fraction sous forme décimale et donne la plus grande sous forme de fraction :

Points clés

1L'ordre croissant va du plus petit au plus grand ( $<$ ), l'ordre décroissant du plus grand au plus petit ( $>$ )
2Même dénominateur : range les numérateurs
3Même numérateur : plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite
4Dénominateurs différents : écris chaque fraction avec le plus petit dénominateur commun, range les numérateurs, puis écris les fractions de départ
5Les décimaux sont plus rapides quand le dénominateur commun est grand et que les divisions sont simples (2, 4, 5, 8, 10, 20, 25)
6Les repères $0$ , $\frac{1}{2}$ et $1$ partagent la liste en groupes, et tu ne compares qu'à l'intérieur de chaque groupe

Questions fréquentes

Comment choisir la méthode la plus rapide ?

Regarde toute la liste. Mêmes dénominateurs ou mêmes numérateurs ? Utilise cette règle. Les repères

0

\frac{1}{2}

1

partagent-ils les fractions en groupes nets ? Classe d'abord. Sinon, prends le plus petit dénominateur commun s'il est petit (comme 12 ou 24), ou les décimaux s'il est grand ou si tu as une calculatrice.

Et si deux fractions de la liste sont égales ?

Des fractions équivalentes comme

\frac{2}{4}

\frac{3}{6}

occupent la même place dans le rangement. Écris-les côte à côte avec un signe égal :

\frac{1}{4} < \frac{2}{4} = \frac{3}{6} < \frac{5}{6}

Dois-je utiliser le plus petit dénominateur commun ?

Non, n'importe quel dénominateur commun convient. Le produit de tous les dénominateurs en est toujours un. Le plus petit garde simplement des nombres petits, donc moins d'erreurs.

Comment vérifier mon rangement ?

Transforme chaque fraction en nombre décimal avec une calculatrice. Dans l'ordre croissant, chaque décimal doit être plus grand que le précédent, dans l'ordre décroissant plus petit.

Glossaire

Ordre croissant: Rangement du plus petit au plus grand, écrit avec $<$
Ordre décroissant: Rangement du plus grand au plus petit, écrit avec $>$
Dénominateur commun: Un dénominateur partagé par plusieurs fractions après les avoir écrites sous forme de fractions équivalentes
Plus petit dénominateur commun: Le plus petit des dénominateurs communs, égal au plus petit multiple commun des dénominateurs
Fraction repère: Une valeur de référence connue comme $0$ , $\frac{1}{2}$ ou $1$ qui sert à classer rapidement des fractions
Fractions équivalentes: Des fractions qui représentent la même quantité, comme $\frac{3}{4}$ et $\frac{9}{12}$

Carte des formules

Même dénominateur

\frac{a}{d} < \frac{b}{d} \text{ si } a < b

Range les numérateurs

Même numérateur

\frac{n}{a} < \frac{n}{b} \text{ si } a > b

Le plus grand dénominateur donne la plus petite fraction

Mettre au même dénominateur

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}

Multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre k jusqu'à ce que chaque fraction ait le dénominateur commun

Fraction en nombre décimal

\frac{a}{b} = a \div b

Divise le numérateur par le dénominateur, puis range les décimaux

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Carte des formules

Même dénominateur

Même numérateur

Mettre au même dénominateur

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