Guide de l'enseignant: Ranger des nombres fractionnaires

Apprends à ranger trois à cinq nombres fractionnaires et fractions impropres, dans l'ordre croissant ou dans l'ordre décroissant.

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Quiz de classe

10 questions sur Comparer & Ordonner. Les élèves participent avec un prénom, vous voyez tous les scores.

Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Ranger trois à cinq nombres fractionnaires et fractions impropres dans l'ordre croissant et décroissant
Transformer les fractions impropres en nombres fractionnaires pour comparer d'abord les parties entières
Ranger les parties fractionnaires avec un dénominateur commun, des fractions repères ou des décimaux
Résoudre des problèmes concrets qui demandent le plus grand, le plus petit ou un rang dans l'ordre

Prérequis

• Introduction aux nombres fractionnaires
• Convertir une fraction impropre en nombre fractionnaire
• Comparer les nombres fractionnaires
• Comparer des fractions avec des repères

Amorces de discussion

1. Pourquoi $1\frac{9}{10}$ est-il plus petit que $2\frac{1}{10}$ , alors que $\frac{9}{10}$ est bien plus grand que $\frac{1}{10}$ ?
2. Comment vois-tu rapidement que $\frac{13}{6}$ est plus grand que 2 ?
3. Quand préfères-tu les décimaux, et quand un dénominateur commun ?
4. Dans une course, le vainqueur a-t-il le plus grand ou le plus petit nombre ? Pourquoi ?

Idées reçues courantes

Les fractions impropres sont toujours plus petites que les nombres fractionnaires, car elles n'ont pas de partie entière

Remédiation: Fais transformer $\frac{13}{6}$ en $2\frac{1}{6}$ et placer ce nombre sur la droite graduée à côté de $1\frac{3}{4}$ . La partie entière était là depuis le début, seulement cachée.

Le nombre qui a la plus grande partie fractionnaire est le plus grand

Remédiation: Demande si $1\frac{9}{10}$ m de corde, c'est plus long que $2\frac{1}{10}$ m. Place les deux sur la droite graduée : la partie entière décide en premier.

Un plus grand dénominateur donne une plus grande fraction

Remédiation: Coupe deux bandes de même longueur en 5 et en 8 morceaux et compare un morceau de chaque. Compare ensuite $2\frac{1}{5}$ et $2\frac{1}{8}$ .

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Commencer par des listes où toutes les parties entières sont différentes
• Utiliser la droite graduée pour chaque liste avant d'écrire les symboles
• Proposer d'abord des parties fractionnaires de même dénominateur

Pour les élèves au niveau:

• Ranger quatre nombres mêlant nombres fractionnaires et fractions impropres
• Choisir entre dénominateur commun, fractions repères et décimaux
• Résoudre des problèmes qui demandent la deuxième plus grande ou la deuxième plus petite valeur

Pour les élèves avancés:

• Ranger cinq nombres ou plus avec des dénominateurs comme 7, 9 et 12
• Trouver un nombre fractionnaire qui se place entre deux nombres donnés
• Inventer leurs propres énigmes de rangement où deux nombres sont égaux

Alignement aux standards

4.NF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.4.NF.A.2)
Comparer deux fractions de numérateurs et de dénominateurs différents
6.NS.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.C.7)
Comprendre l'ordre et la valeur absolue des nombres rationnels

Ressources de la leçon

visualDroite graduée des fractions
Placer des nombres fractionnaires et des fractions impropres entre 0 et 5 et lire l'ordre de gauche à droite
activityDroite graduée humaine
Chaque élève tient une carte avec un nombre fractionnaire ou une fraction impropre, et la classe se range dans l'ordre
worksheetRanger des mesures
Des listes de longueurs de planches, de temps de course et de quantités de recettes à ranger

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Ranger une liste de nombres, c'est les écrire du plus petit au plus grand (ordre croissant, avec

<

) ou du plus grand au plus petit (ordre décroissant, avec

>

). Quand la liste mélange des nombres fractionnaires comme

2\frac{1}{3}

et des fractions impropres comme

\frac{11}{4}

, suis ce plan :

1.Écris tous les nombres sous la même forme. Transforme chaque fraction impropre en nombre fractionnaire : $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$ , car $11 = 2 \times 4 + 3$ .
2.Trie selon la partie entière. Un nombre qui a une plus grande partie entière est toujours plus grand : tout $3\frac{\square}{\square}$ est plus grand que tout $2\frac{\square}{\square}$ .
3.En cas d'égalité, regarde les parties fractionnaires. Les nombres qui ont la même partie entière se rangent selon leur partie fractionnaire. Utilise un dénominateur commun ou une fraction repère comme $\frac{1}{2}$ .
4.Écris l'ordre avec $<$ ou $>$ , en gardant les nombres exactement comme ils étaient donnés.

Autre méthode : transforme chaque nombre en nombre décimal (

\frac{11}{4} = 2{,}75

2\frac{1}{3} \approx 2{,}33

) et range les décimaux.

1\frac{7}{8} < 2\frac{1}{4} < \frac{7}{3} < \frac{5}{2}

Exemples résolus

Range dans l'ordre croissant : $3\frac{1}{2}$ , $1\frac{4}{5}$ , $2\frac{1}{3}$

Regarde les parties entières

$3\frac{1}{2}$ a 3, $1\frac{4}{5}$ a 1, $2\frac{1}{3}$ a 2 → Parties entières : 3, 1, 2

Vérifie s'il y a des parties entières égales

Les trois parties entières sont différentes, donc les parties fractionnaires ne comptent pas → On trie seulement selon les entiers

Range les parties entières du plus petit au plus grand

$1 < 2 < 3$ → $1\frac{4}{5} < 2\frac{1}{3} < 3\frac{1}{2}$

Réponse: $1\frac{4}{5} < 2\frac{1}{3} < 3\frac{1}{2}$ . Même si $\frac{4}{5}$ est la plus grande partie fractionnaire, $1\frac{4}{5}$ est le plus petit nombre.

Erreurs courantes

Penser qu'une fraction impropre comme $\frac{13}{6}$ est petite parce qu'elle ressemble à une fraction ordinaire

Pourquoi c'est faux: Une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur est plus grande que 1. $\frac{13}{6}$ est même plus grande que 2.

Correct: Transforme-la d'abord : $\frac{13}{6} = 2\frac{1}{6}$ , qui est plus grand que $1\frac{3}{4}$ .

Ranger selon les parties fractionnaires en oubliant les parties entières, par exemple $2\frac{1}{4} < 1\frac{7}{8}$

Pourquoi c'est faux: La partie fractionnaire est toujours plus petite que 1, elle ne peut donc jamais compenser une partie entière plus petite.

Correct: Trie d'abord selon les parties entières : $1\frac{7}{8} < 2\frac{1}{4}$ car $1 < 2$ .

Penser qu'un plus grand dénominateur donne un plus grand nombre, par exemple $2\frac{1}{8} > 2\frac{1}{5}$

Pourquoi c'est faux: À numérateur égal, un plus grand dénominateur signifie des parts plus petites.

Correct: $\frac{1}{8} < \frac{1}{5}$ , donc $2\frac{1}{8} < 2\frac{1}{5}$ .

Écrire l'ordre dans le mauvais sens

Pourquoi c'est faux: La question demandait l'ordre décroissant (ou le temps le plus rapide en premier), mais la liste a été écrite dans l'ordre croissant par habitude.

Correct: Relis la question avant de répondre : l'ordre décroissant s'écrit avec $>$ , l'ordre croissant avec $<$ . Le temps le plus rapide est le plus petit nombre.

Pourquoi c'est important

Ranger plusieurs mesures, c'est quelque chose qu'on fait très souvent :

Menuiserie : des planches de $2\frac{5}{8}$ m, $\frac{17}{6}$ m et $3\frac{1}{10}$ m doivent être triées de la plus longue à la plus courte avant la découpe.
Sport : des temps de course comme $\frac{11}{4}$ heures et $2\frac{2}{3}$ heures sont rangés pour trouver le vainqueur et le podium.
Cuisine : les recettes donnent des quantités comme $1\frac{3}{4}$ tasse et $\frac{5}{3}$ tasse, et tu veux savoir de quel ingrédient il faut le plus.
Sciences : les résultats d'une expérience sont classés pour repérer une régularité.

Dans la leçon Comparer les nombres fractionnaires, tu as comparé deux nombres. Ici, tu vas ranger toute une liste d'un coup, même quand certains nombres sont écrits sous forme de fractions impropres.

Applications dans le monde réel

Menuiserie et construction

Les menuisiers trient les planches par longueur avant de couper, pour utiliser les plus longues pour les plus grandes pièces.

Exemple:

Des planches de $2\frac{1}{2}$ m, $\frac{9}{4}$ m et $2\frac{3}{5}$ m : comme $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$ , l'ordre de la plus courte à la plus longue est $\frac{9}{4} < 2\frac{1}{2} < 2\frac{3}{5}$ .

1Essaie par toi-même

Trois planches mesurent $3\frac{3}{8}$ m, $\frac{10}{3}$ m et $3\frac{2}{5}$ m.

Quelle planche est la plus longue ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris $3\frac{3}{8}$ comme partie entière plus partie fractionnaire, pour qu'une calculatrice le transforme en décimal :

Résultats de course

Les organisateurs rangent les temps d'arrivée du plus petit au plus grand pour trouver le vainqueur et le podium.

Exemple:

Des temps de $1\frac{1}{2}$ h, $\frac{7}{5}$ h et $1\frac{3}{4}$ h : comme $\frac{7}{5} = 1{,}4$ , $1\frac{1}{2} = 1{,}5$ et $1\frac{3}{4} = 1{,}75$ , le vainqueur est le coureur qui a $\frac{7}{5}$ h.

2Essaie par toi-même

Lors d'un trail, Léa termine en $\frac{9}{4}$ h, Tom en $2\frac{1}{3}$ h et Sam en $2\frac{1}{6}$ h.

Quel est le temps du vainqueur (le plus petit temps) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le temps de Léa $\frac{9}{4}$ comme une division à taper sur une calculatrice :

Cuisine et pâtisserie

En cuisine, on compare les quantités d'une recette pour voir de quel ingrédient il faut le plus et quoi acheter en premier.

Exemple:

Une recette de pain utilise $\frac{7}{2}$ tasses de farine, $1\frac{1}{4}$ tasse d'eau et $\frac{3}{4}$ tasse de graines : $\frac{3}{4} < 1\frac{1}{4} < \frac{7}{2}$ , donc la farine est la plus grande quantité.

3Essaie par toi-même

Une recette de granola utilise $\frac{11}{8}$ tasse de flocons d'avoine, $1\frac{1}{3}$ tasse de lait, $1\frac{1}{2}$ tasse de farine et $\frac{5}{4}$ tasse de noix.

Quelle est la deuxième plus petite quantité ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris la quantité de flocons $\frac{11}{8}$ comme une division à taper sur une calculatrice :

Points clés

1L'ordre croissant va du plus petit au plus grand ( $<$ ), l'ordre décroissant va du plus grand au plus petit ( $>$ )
2Transforme d'abord chaque fraction impropre en nombre fractionnaire, par exemple $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$
3Trie selon les parties entières : une plus grande partie entière donne toujours un plus grand nombre
4Quand les parties entières sont égales, compare les parties fractionnaires avec un dénominateur commun ou avec la fraction repère $\frac{1}{2}$
5Transformer tous les nombres en décimaux est une autre méthode sûre pour les ranger
6Écris l'ordre final avec les nombres exactement comme ils étaient donnés, et vérifie le sens demandé

Questions fréquentes

Dois-je transformer les fractions impropres en nombres fractionnaires ?

C'est le moyen le plus rapide de voir la partie entière. Tu peux aussi transformer chaque nombre fractionnaire en fraction impropre (par exemple

2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}

) et comparer avec un dénominateur commun, mais les nombres deviennent plus grands.

Et si deux nombres de la liste sont égaux ?

Ils occupent alors la même place dans l'ordre. Par exemple

\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}

, donc tu écris

2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}

l'un à côté de l'autre.

Quand les décimaux sont-ils plus pratiques qu'un dénominateur commun ?

Les décimaux sont pratiques quand les dénominateurs n'ont pas de petit multiple commun, comme 7, 8 et 10, ou quand tu as une calculatrice. Pour les demis, tiers, quarts et sixièmes, un dénominateur commun est meilleur, car il donne des résultats exacts.

Où se place un nombre entier comme 3 ?

Un nombre entier est un nombre fractionnaire dont la partie fractionnaire vaut 0. Donc

2\frac{9}{10} < 3 < 3\frac{1}{9}

Glossaire

Nombre fractionnaire: Un nombre entier et une fraction plus petite que 1 réunis, comme $2\frac{3}{4}$
Fraction impropre: Une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur, comme $\frac{11}{4}$
Ordre croissant: Du plus petit au plus grand, écrit avec $<$
Ordre décroissant: Du plus grand au plus petit, écrit avec $>$
Dénominateur commun: Un dénominateur partagé par plusieurs fractions, pour comparer directement leurs numérateurs
Fraction repère: Une fraction bien connue comme $\frac{1}{2}$ , utilisée comme point de référence pour comparer rapidement d'autres fractions

Carte des formules

Fraction impropre en nombre fractionnaire

\frac{a}{b} = q\frac{r}{b}

avec

a = q \times b + r

Divise le numérateur par le dénominateur : le quotient $q$ est la partie entière, le reste $r$ est le nouveau numérateur.

D'abord les parties entières

q_1 < q_2 \Rightarrow q_1\frac{r_1}{b_1} < q_2\frac{r_2}{b_2}

Une plus petite partie entière donne toujours un plus petit nombre, quelles que soient les parties fractionnaires.

Parties entières égales

q\frac{r_1}{b} < q\frac{r_2}{b} \iff r_1 < r_2

Avec la même partie entière et un dénominateur commun, compare les numérateurs.

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Fraction impropre en nombre fractionnaire

D'abord les parties entières

Parties entières égales

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