La relation d'Euler pour les polyèdres

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle égalité est la relation d'Euler pour un polyèdre convexe ?
1. a) $S + A + F = 2$
2. b) $S - A + F = 2$
3. c) $S + A - F = 2$
4. d) $S - A - F = 2$
Réponse: $S - A + F = 2$
On additionne sommets et faces et on soustrait les arêtes : $S - A + F = 2$ . Pour un cube : $8 - 12 + 6 = 2$ .
2.
Un cube a $8$ sommets, $12$ arêtes et $6$ faces. Calcule $S - A + F$ .
Réponse: 2
$8 - 12 + 6 = -4 + 6 = 2$ , exactement comme le prévoit la relation d'Euler.
3.
Un prisme triangulaire a $6$ sommets et $5$ faces. Utilise la relation d'Euler pour trouver le nombre d'arêtes.
Réponse: 9
$6 - A + 5 = 2$ donne $11 - A = 2$ , donc $A = 9$ . Vérification : $3$ arêtes sur chaque triangle et $3$ arêtes qui les relient, $3 + 3 + 3 = 9$ .
4.
Lequel de ces solides n'est PAS un polyèdre ?
1. a)Octaèdre
2. b)Cube
3. c)Cylindre
4. d)Pyramide à base carrée
Réponse: Cylindre
Un cylindre a une surface courbe et des bases circulaires, qui ne sont pas des polygones : ce n'est donc pas un polyèdre et la relation d'Euler ne s'y applique pas.
5.
Un polyèdre convexe a $20$ faces et $30$ arêtes. Combien a-t-il de sommets ?
Réponse: 12
$S = 2 + A - F = 2 + 30 - 20 = 12$ . Vérification : $12 - 30 + 20 = 2$ .
6.
Compte les sommets, arêtes et faces d'un prisme pentagonal et vérifie la relation d'Euler.
Réponse: 2
1. Combien de sommets ? (pentagone du haut et du bas) 10
2. Combien d'arêtes ? (en haut, en bas et verticales) 15
3. Combien de faces ? (2 bases et les faces rectangulaires) 7
4. Calcule $S - A + F$ 2
7.
Compte les sommets, arêtes et faces d'une pyramide à base carrée et vérifie la relation d'Euler.
Réponse: 2
1. Combien de sommets ? (sommets de la base et le sommet principal) 5
2. Combien d'arêtes ? (autour de la base et vers le sommet) 8
3. Combien de faces ? (la base et les triangles) 5
4. Calcule $S - A + F$ 2
8.
Quels nombres peuvent correspondre à un polyèdre convexe ?
1. a) $S = 8$ , $A = 12$ , $F = 7$
2. b) $S = 9$ , $A = 14$ , $F = 6$
3. c) $S = 6$ , $A = 10$ , $F = 6$
4. d) $S = 7$ , $A = 12$ , $F = 6$
Réponse: $S = 6$ , $A = 10$ , $F = 6$
$6 - 10 + 6 = 2$ (une pyramide à base pentagonale), alors que $7 - 12 + 6 = 1$ , $8 - 12 + 7 = 3$ et $9 - 14 + 6 = 1$ contredisent la relation d'Euler.
9.
Un prisme a $27$ arêtes. Combien a-t-il de faces ?
Réponse: 11
$3n = 27$ donne $n = 9$ , donc $F = 9 + 2 = 11$ . Vérification : $S = 18$ et $18 - 27 + 11 = 2$ .
10.
Un polyèdre a $4$ faces triangulaires et $4$ faces hexagonales. Trouve son nombre d'arêtes et de sommets.
Réponse: 12
1. Combien y a-t-il de côtés de faces au total ? 36
2. Combien d'arêtes ? 18
3. Combien de faces ? 8
4. Combien de sommets ? ( $S = 2 + A - F$ ) 12
11.
Une pyramide a une base à $n$ côtés. Combien a-t-elle d'arêtes ?
1. a) $n + 1$
2. b) $2n$
3. c) $n + 2$
4. d) $3n$
Réponse: $2n$
Il y a $n$ arêtes autour de la base et $n$ arêtes des sommets de la base jusqu'au sommet principal : $n + n = 2n$ . Pour une pyramide à base carrée, $2 \times 4 = 8$ .
12.
Une pyramide a $9$ faces. Trouve le nombre de côtés de sa base, ses sommets et ses arêtes, puis vérifie la relation d'Euler.
Réponse: 2
1. Combien de côtés a la base ? (faces $= n + 1$ ) 8
2. Combien de sommets ? ( $n + 1$ ) 9
3. Combien d'arêtes ? ( $2n$ ) 16
4. Calcule $S - A + F$ 2
13.
Un polyèdre convexe n'a que des faces triangulaires et $12$ sommets. Combien a-t-il de faces et d'arêtes ?
Réponse: 20
1. Chaque face a 3 côtés et chaque arête appartient à 2 faces, donc $A = \frac{3F}{2}$ . Alors $12 - \frac{3F}{2} + F = 2$ devient $12 - \frac{F}{2} = 2$ . Que vaut $\frac{F}{2}$ ? 10
2. Combien de faces ? 20
3. Combien d'arêtes ? ( $\frac{3F}{2}$ ) 30
4. Vérifie : calcule $S - A + F$ 2
14.
Un cadre photo triangulaire est un solide traversé par un trou triangulaire. Le dessus et le dessous sont découpés chacun en $3$ trapèzes, donc chaque face est un quadrilatère. Trouve $S - A + F$ .
Réponse: 0
1. Combien de sommets ? (extérieurs et intérieurs, en haut et en bas) 12
2. Combien de faces ? (dessus, dessous, côtés extérieurs, côtés intérieurs) 12
3. Combien d'arêtes ? (toutes les faces sont des quadrilatères) 24
4. Calcule $S - A + F$ 0
15.
Un polyèdre peut-il avoir exactement $5$ faces, toutes triangulaires ?
1. a)Oui, il a 7 arêtes
2. b)Non, 15 côtés de faces ne peuvent pas être regroupés par paires en arêtes
3. c)Oui, c'est une pyramide à base carrée
4. d)Non, il lui faudrait 0 sommet
Réponse: Non, 15 côtés de faces ne peuvent pas être regroupés par paires en arêtes
Cinq triangles ont $5 \times 3 = 15$ côtés. Chaque arête utilise exactement deux côtés, donc $A = 7{,}5$ , qui n'est pas un nombre entier. Un tel polyèdre n'existe pas. Une pyramide à base carrée n'a que $4$ faces triangulaires plus un carré.
16.
Un prisme a $30$ sommets. Trouve le nombre de côtés de sa base, ses arêtes et ses faces, puis vérifie la relation d'Euler.
Réponse: 2
1. Combien de côtés a la base ? ( $2n = 30$ ) 15
2. Combien d'arêtes ? ( $3n$ ) 45
3. Combien de faces ? ( $n + 2$ ) 17
4. Calcule $S - A + F$ 2
17.
Un polyèdre convexe a $6$ faces carrées et $8$ faces hexagonales. Combien a-t-il de sommets ?
Réponse: 24
Côtés des faces : $6 \times 4 + 8 \times 6 = 72$ , donc $A = 36$ . Avec $F = 14$ : $S = 2 + 36 - 14 = 24$ .
18.
Compte les sommets, arêtes et faces d'une pyramide à base triangulaire (tétraèdre) et vérifie la relation d'Euler.
Réponse: 2
1. Combien de sommets ? 4
2. Combien d'arêtes ? 6
3. Combien de faces ? 4
4. Calcule $S - A + F$ 2