Guide de l'enseignant: Les solides de Platon

Découvre les cinq solides de Platon, compte leurs faces, leurs arêtes et leurs sommets, et comprends pourquoi il ne peut jamais y en avoir un sixième.

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Pour les enseignants

Objectifs d'apprentissage

Définir un solide de Platon avec ses trois conditions : faces régulières identiques, même nombre de faces en chaque sommet, convexe
Nommer les cinq solides de Platon et donner la forme de leurs faces ainsi que $S$ , $A$ et $F$
Expliquer avec la somme des angles en un sommet pourquoi il existe exactement cinq solides de Platon
Calculer les arêtes et les sommets à partir des faces et vérifier le résultat avec la relation d'Euler
Reconnaître les paires duales et calculer l'aire totale d'un solide de Platon à partir de son arête

Prérequis

• Faces, arêtes et sommets des solides (Introduction aux solides 3D)
• La relation d'Euler pour les polyèdres : $S - A + F = 2$
• Angles des polygones réguliers (triangle $60°$ , carré $90°$ , pentagone $108°$ )
• Aire d'un triangle et racines carrées

Amorces de discussion

1. À ton avis, pourquoi existe-t-il une infinité de polygones réguliers en 2D mais seulement cinq solides réguliers en 3D ?
2. Que se passe-t-il pour un sommet quand tu essaies de placer 6 triangles équilatéraux autour d'un point ?
3. Pourquoi un dé équitable a-t-il besoin de faces toutes de la même forme ? Connais-tu un dé équitable qui n'est pas un solide de Platon ?
4. Le cube a 8 sommets et 6 faces, l'octaèdre 6 sommets et 8 faces. Est-ce un hasard ?

Idées reçues courantes

Tout solide fait de triangles équilatéraux est un solide de Platon

Remédiation: Faire construire une bipyramide triangulaire avec deux tétraèdres en papier. Compter les faces en chaque sommet (3 aux pointes, 4 autour du milieu) et comparer avec l'octaèdre, où chaque sommet en a 4.

Il doit exister d'autres solides réguliers, on ne les a simplement pas encore trouvés

Remédiation: Dérouler pas à pas le raisonnement sur la somme des angles. Les élèves posent des polygones en papier autour d'un point et voient que 6 triangles, 4 carrés et 3 hexagones restent à plat : rien n'est possible au-delà des cinq.

On compte les arêtes en multipliant le nombre de faces par le nombre de côtés

Remédiation: Compter les arêtes d'un vrai cube avec des gommettes, une gommette par arête. Les élèves trouvent 12, pas 24, et voient que chaque arête touche deux faces.

Idées de différenciation

Pour les élèves en difficulté:

• Fournir des maquettes ou des patrons pliés pour compter faces, arêtes et sommets au toucher
• Donner le tableau des angles (60°, 90°, 108°, 120°) au lieu de faire retrouver l'angle du pentagone
• Commencer uniquement par le tétraèdre, le cube et l'octaèdre

Pour les élèves au niveau:

• Remplir le tableau S, A, F pour les cinq solides et vérifier la relation d'Euler pour chacun
• Démontrer avec la somme des angles en un sommet qu'il n'existe que cinq solides
• Trouver les paires duales et expliquer pourquoi $A$ ne change pas

Pour les élèves avancés:

• Calculer le défaut angulaire en chaque sommet ( $360°$ moins la somme des angles) et montrer que le total vaut $720°$ pour les cinq solides
• Retrouver le volume du tétraèdre, $\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$ , à partir d'un cube découpé
• Faire une recherche sur les solides d'Archimède (comme le ballon de football) et la condition qu'ils abandonnent

Alignement aux standards

6.G.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.G.A.4)
Représenter des solides par des patrons formés de rectangles et de triangles, et utiliser ces patrons pour calculer leur aire totale
7.G.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.5)
Utiliser les propriétés des angles supplémentaires, complémentaires, opposés par le sommet et adjacents dans un problème à plusieurs étapes pour écrire et résoudre une équation donnant un angle inconnu
7.G.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.6)
Résoudre des problèmes concrets et mathématiques d'aire, de volume et d'aire totale de figures et de solides formés de triangles, de quadrilatères, de polygones, de cubes et de prismes droits
HSG.MG.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.MG.A.1)
Utiliser des formes géométriques, leurs mesures et leurs propriétés pour décrire des objets

Ressources de la leçon

visualVisualiseur interactif des solides de Platon
Faire tourner les cinq solides, toucher les faces pour les compter et déplier chaque solide en son patron
activityConstruire les cinq à partir de patrons
Les élèves découpent et plient des patrons en papier, puis essaient (sans succès) de construire un sixième solide avec 6 triangles ou 4 carrés en un sommet
worksheetTableau S, A, F et duaux
Remplir le tableau pour les cinq solides, trouver les paires duales et calculer les aires totales

Contenu de la leçon

Tout ce que voient les élèves : définition, exemples, erreurs fréquentes, applications. Touchez pour ouvrir.

Définition

Un solide de Platon (ou polyèdre régulier) est un solide qui remplit trois conditions :

1.Toutes ses faces sont le même polygone régulier (tous les côtés et tous les angles égaux).
2.Le même nombre de faces se rejoint en chaque sommet.
3.Il est convexe : pas de creux, chaque sommet pointe vers l'extérieur.

Il y en a exactement cinq :

Tétraèdre : 4 triangles équilatéraux, 3 en chaque sommet. $S = 4$ , $A = 6$ , $F = 4$
Cube : 6 carrés, 3 en chaque sommet. $S = 8$ , $A = 12$ , $F = 6$
Octaèdre : 8 triangles équilatéraux, 4 en chaque sommet. $S = 6$ , $A = 12$ , $F = 8$
Dodécaèdre : 12 pentagones réguliers, 3 en chaque sommet. $S = 20$ , $A = 30$ , $F = 12$
Icosaèdre : 20 triangles équilatéraux, 5 en chaque sommet. $S = 12$ , $A = 30$ , $F = 20$

Les cinq vérifient la relation d'Euler

S - A + F = 2

(souvent notée

V - E + F = 2

en anglais). S'il n'y en a que cinq, c'est à cause de la somme des angles en un sommet : les angles des faces qui se rejoignent en un sommet doivent faire moins de

360°

au total, sinon il n'y a pas de sommet : à exactement

360°

les faces sont à plat, et au-delà de

360°

elles ne tiennent pas autour du point.

\text{(faces en un sommet)} \times \text{(un angle de face)} < 360°

Exemples résolus

Un octaèdre a 8 faces, chacune un triangle équilatéral, et 4 faces se rejoignent en chaque sommet. Trouve le nombre d'arêtes et de sommets.

Compte tous les côtés des triangles

8 \text{ faces} \times 3 \text{ côtés} = 24

→ 24 côtés au total

Chaque arête est partagée par 2 faces

A = 24 \div 2

→

A = 12

Compte tous les coins des triangles : chaque sommet en réunit 4

8 \times 3 = 24

coins,

S = 24 \div 4

→

S = 6

Vérifie avec la relation d'Euler

S - A + F = 6 - 12 + 8

→

2

, c'est juste

Réponse: L'octaèdre a $12$ arêtes et $6$ sommets.

Erreurs courantes

Appeler solide de Platon tout solide aux faces identiques

Pourquoi c'est faux: La bipyramide triangulaire (deux tétraèdres collés) a 6 triangles équilatéraux identiques, mais 3 faces se rejoignent en deux de ses sommets et 4 faces aux trois autres.

Correct: Vérifie les deux conditions : le même polygone régulier pour chaque face ET le même nombre de faces en chaque sommet.

Compter les arêtes d'un cube comme $6 \times 4 = 24$

Pourquoi c'est faux: Chaque arête appartient à deux faces, donc en comptant les côtés de chaque face on compte chaque arête deux fois.

Correct: Divise par 2 : $A = \frac{6 \times 4}{2} = 12$ . En général $A = \frac{F \times n}{2}$ , où $n$ est le nombre de côtés d'une face.

Croire que 6 triangles ou 4 carrés en un sommet donnent un nouveau solide

Pourquoi c'est faux: $6 \times 60° = 360°$ et $4 \times 90° = 360°$ : les faces remplissent le tour complet autour du point et restent à plat, comme un carrelage.

Correct: La somme des angles en un sommet doit être strictement inférieure à $360°$ .

Croire que tous les dés de jeu sont des solides de Platon

Pourquoi c'est faux: Le dé à dix faces (d10) a des faces en forme de cerf-volant, qui ne sont pas des polygones réguliers, et ses sommets ne sont pas tous pareils.

Correct: Seuls les d4, d6, d8, d12 et d20 sont des solides de Platon. Le d10 est quand même équitable, car toutes ses faces ont la même forme et la même position.

Pourquoi c'est important

Les solides de Platon fascinent l'humanité depuis plus de 2000 ans, et tu les rencontres encore partout :

Jeux : les dés d4, d6, d8, d12 et d20 sont exactement les cinq solides de Platon. Comme toutes les faces sont identiques et placées de la même façon, chaque nombre a la même chance de sortir.
Biologie : beaucoup de virus (comme le virus de l'herpès ou l'adénovirus) construisent leur coque de protéines en forme d'icosaèdre, car 20 triangles identiques forment une coque solide et fermée à partir de nombreuses copies d'une même petite pièce.
Chimie et cristaux : une molécule de méthane a la forme d'un tétraèdre, le sel de table et la pyrite poussent en cubes, la fluorine et le diamant souvent en octaèdres.
Architecture : les dômes géodésiques partent d'un icosaèdre dont les faces sont découpées en triangles plus petits.
Histoire : Platon associait quatre solides au feu, à la terre, à l'air et à l'eau, et le dodécaèdre à l'univers entier. Euclide a démontré qu'il n'y en a que cinq, et Johannes Kepler (1596) a essayé d'expliquer les orbites des planètes en emboîtant les solides les uns dans les autres.

La preuve qu'il n'y en a que cinq est l'un des raisonnements les plus anciens et les plus beaux des mathématiques, et tu peux la suivre avec seulement des angles.

Applications dans le monde réel

Des dés équitables pour les jeux de société

Les jeux de rôle utilisent les cinq solides de Platon comme dés. Comme chaque face est le même polygone régulier et que chaque sommet est pareil, aucune face ne tombe plus souvent sur le dessus.

Exemple:

Sur un d20 (icosaèdre), chaque nombre a une probabilité de $\frac{1}{20} = 0{,}05$ , donc obtenir 15 ou plus (de 15 à 20, six nombres) a une probabilité de $\frac{6}{20} = 0{,}3$ .

1Essaie par toi-même

Tu lances un dé équitable à 12 faces (un dodécaèdre) numéroté de 1 à 12.

Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à 9 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Issues favorables divisées par toutes les issues :

Les coques des virus

Beaucoup de virus enferment leurs gènes dans une coque (capside) en forme d'icosaèdre. La nature l'utilise parce que 20 triangles identiques se referment en une coque solide faite de nombreuses copies de la même petite protéine.

Exemple:

Une capside icosaédrique a 12 sommets où se rejoignent 5 triangles. Les scientifiques décrivent la structure à l'aide de ces 12 points de symétrie d'ordre cinq.

2Essaie par toi-même

Un musée des sciences construit une maquette géante d'une capside de virus avec 20 panneaux triangulaires reliés par des barres métalliques le long des arêtes.

Combien de barres (arêtes) faut-il pour la maquette ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Compte tous les côtés des panneaux, puis souviens-toi que chaque barre est partagée :

Lampes en papier et maquettes

Les designers plient des lampes, des boîtes cadeaux et des décorations à partir de patrons de solides de Platon. L'aire totale leur indique la quantité de papier ou de matériau nécessaire.

Exemple:

Une lampe cubique de 20 cm d'arête demande $6 \times 20^2 = 2400$ cm² de papier (plus les languettes de collage).

3Essaie par toi-même

Tu plies une lampe en forme d'octaèdre en papier. Chaque arête mesure 10 cm.

Quelle surface de papier couvrent les 8 faces ? Arrondis au dixième.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $\mathcal{A} = 2\sqrt{3}\,a^2$ :

Points clés

1Un solide de Platon a des faces qui sont des polygones réguliers identiques, le même nombre de faces en chaque sommet, et aucun creux (convexe)
2Il y en a exactement cinq : tétraèdre (4 triangles), cube (6 carrés), octaèdre (8 triangles), dodécaèdre (12 pentagones), icosaèdre (20 triangles)
3Il n'en existe que cinq car les angles des faces en un sommet doivent faire moins de $360°$ : 3, 4 ou 5 triangles, 3 carrés ou 3 pentagones
4Les arêtes et les sommets se déduisent des faces : $A = \frac{F \times n}{2}$ et $S = \frac{F \times n}{k}$ ( $n$ côtés par face, $k$ faces par sommet), et $S - A + F = 2$
5Les duaux échangent $S$ et $F$ : cube et octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre ; le tétraèdre est son propre dual
6Aire totale pour une arête $a$ : tétraèdre $\sqrt{3}a^2$ , cube $6a^2$ , octaèdre $2\sqrt{3}a^2$ , icosaèdre $5\sqrt{3}a^2$

Questions fréquentes

Pourquoi les appelle-t-on solides de Platon ?

Le philosophe grec Platon les a décrits vers 360 av. J.-C. dans son dialogue le Timée. Il associait le tétraèdre au feu, le cube à la terre, l'octaèdre à l'air, l'icosaèdre à l'eau et le dodécaèdre à l'univers. On les connaissait déjà avant lui, et Euclide a démontré plus tard qu'il y en a exactement cinq.

Le dé à dix faces (d10) est-il un solide de Platon ?

Non. Ses faces sont des cerfs-volants, pas des polygones réguliers, et certains sommets réunissent 3 faces alors que les deux pointes en réunissent 5. Il reste équitable, car toutes ses faces sont identiques et placées de la même façon.

Quel solide est le dual du tétraèdre ?

Le tétraèdre lui-même. Il a

S = 4

F = 4

, donc en échangeant sommets et faces on obtient de nouveau un tétraèdre (retourné).

Existe-t-il des solides réguliers en dimension plus grande ?

Oui. En dimension quatre, il existe six formes régulières (appelées polytopes), et en dimension cinq ou plus, il n'y en a plus que trois. Notre monde en 3D en a cinq.

Glossaire

Solide de Platon (polyèdre régulier): Un polyèdre convexe dont les faces sont des polygones réguliers identiques, avec le même nombre de faces en chaque sommet
Polygone régulier: Un polygone dont tous les côtés sont égaux et tous les angles sont égaux, comme un triangle équilatéral, un carré ou un pentagone régulier
Convexe: Sans creux : le segment entre deux points quelconques du solide reste à l'intérieur du solide
Somme des angles en un sommet: La somme des angles des faces qui se rejoignent en un sommet ; pour un solide, elle doit être inférieure à $360°$
Solide dual: Le solide obtenu en plaçant un sommet au centre de chaque face ; sommets et faces s'échangent
Patron: Un dessin à plat de toutes les faces qui se plie pour former le solide

Carte des formules

Condition en un sommet

k \times \alpha < 360°

$k$ = faces en un sommet, $\alpha$ = un angle d'une face

Arêtes à partir des faces

A = \frac{F \times n}{2}

$n$ = côtés d'une face ; chaque arête est partagée par 2 faces

Sommets à partir des faces

S = \frac{F \times n}{k}

$k$ = faces qui se rejoignent en chaque sommet

Relation d'Euler

S - A + F = 2

Vraie pour les cinq solides de Platon

Aires totales (arête $a$)

\sqrt{3}a^2,\ 6a^2,\ 2\sqrt{3}a^2,\ 5\sqrt{3}a^2

Tétraèdre, cube, octaèdre, icosaèdre

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Questions fréquentes

Glossaire

Carte des formules

Condition en un sommet

Arêtes à partir des faces

Sommets à partir des faces

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