Les solides de Platon

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Lequel de ces solides n'est PAS un solide de Platon ?
1. a)Pyramide à base carrée
2. b)Icosaèdre
3. c)Cube
4. d)Octaèdre
Réponse: Pyramide à base carrée
Une pyramide à base carrée a une face carrée et quatre faces triangulaires. Les faces ne sont pas toutes le même polygone, donc ce n'est pas un solide de Platon.
2.
Combien de faces a un icosaèdre ?
Réponse: 20
Un icosaèdre a $20$ faces, toutes des triangles équilatéraux, dont 5 se rejoignent en chaque sommet.
3.
Trouve le nombre d'arêtes d'un cube en comptant les côtés de ses faces.
Réponse: 12
1. Combien de faces a un cube ? 6
2. Combien de côtés a chaque face (un carré) ? 4
3. Combien de côtés de faces cela fait-il au total ? 24
4. Chaque arête est partagée par 2 faces. Combien y a-t-il d'arêtes ? 12
4.
Quelle est la forme des faces d'un dodécaèdre ?
1. a)Triangles équilatéraux
2. b)Pentagones réguliers
3. c)Hexagones réguliers
4. d)Carrés
Réponse: Pentagones réguliers
Un dodécaèdre a 12 pentagones réguliers, 3 en chaque sommet. Les hexagones sont impossibles, car $3 \times 120° = 360°$ est à plat.
5.
Un tétraèdre a 4 faces, chacune un triangle équilatéral. Combien d'arêtes a-t-il ?
Réponse: 6
$4 \times 3 = 12$ côtés de triangles, et chaque arête est partagée par deux faces : $12 \div 2 = 6$ arêtes.
6.
Quel est le plus grand nombre de carrés qui peuvent se rejoindre en un sommet d'un solide ?
Réponse: 3
1. Combien de degrés mesure un angle d'un carré ? 90
2. Quelle est la somme des angles de 3 carrés en un sommet ? 270
3. Quelle est la somme des angles de 4 carrés en un sommet ? 360
4. La somme doit être inférieure à 360°. Quel est le plus grand nombre de carrés ? 3
7.
Tu lances un dé équitable à 8 faces (un octaèdre) numéroté de 1 à 8. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
Réponse: 1/2
1. Combien de faces (issues possibles) a le dé ? 8
2. Combien de nombres de 1 à 8 sont pairs ? 4
3. Quelle est la probabilité sous forme de fraction irréductible ? 1/2
8.
Pourquoi 6 triangles équilatéraux ne peuvent-ils jamais se rejoindre en un sommet d'un solide de Platon ?
1. a)Le solide aurait trop d'arêtes
2. b)Les triangles seraient trop petits
3. c)La relation d'Euler n'autorise pas 6 faces
4. d)Leurs angles font 360° au total, donc ils sont à plat
Réponse: Leurs angles font 360° au total, donc ils sont à plat
$6 \times 60° = 360°$ , un tour complet. Les six triangles remplissent le plan autour du point (comme un hexagone), donc aucun sommet ne ressort.
9.
En chaque sommet d'un dodécaèdre, 3 pentagones réguliers se rejoignent. Chaque angle d'un pentagone régulier mesure $108°$ . Quelle est la somme des angles en un sommet, en degrés ?
Réponse: 324
$3 \times 108° = 324°$ , ce qui est inférieur à $360°$ , donc les pentagones forment un vrai sommet. Avec 4 pentagones, on aurait $432°$ , c'est trop.
10.
Montre qu'au plus 3 pentagones réguliers peuvent se rejoindre en un sommet d'un solide.
Réponse: 3
1. Quelle est la somme des angles d'un pentagone, $(5 - 2) \times 180$ ? 540
2. Combien de degrés mesure un angle d'un pentagone régulier ? 108
3. Quelle est la somme des angles de 3 pentagones en un sommet ? 324
4. Quelle est la somme des angles de 4 pentagones en un sommet ? 432
5. La somme doit être inférieure à 360°. Quel est le plus grand nombre de pentagones ? 3
11.
Quelle paire de solides de Platon est duale (sommets et faces s'échangent) ?
1. a)Octaèdre et icosaèdre
2. b)Tétraèdre et cube
3. c)Cube et octaèdre
4. d)Dodécaèdre et cube
Réponse: Cube et octaèdre
Le cube a 8 sommets, 12 arêtes, 6 faces ; l'octaèdre a 6 sommets, 12 arêtes, 8 faces. Sommets et faces s'échangent et les arêtes restent les mêmes, donc ils sont duaux.
12.
L'aire totale d'un octaèdre vaut $2\sqrt{3}\,a^2$ . Pour une arête $a = 5$ cm, elle vaut $k\sqrt{3}$ cm². Combien vaut $k$ ?
Réponse: 50
$2\sqrt{3} \times 25 = 50\sqrt{3} \approx 86{,}6$ cm², donc $k = 50$ . Vérification : 8 triangles de $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 25$ chacun.
13.
Calcule l'aire totale d'un tétraèdre d'arête $a = 6$ cm. Arrondis au dixième.
Réponse: 62.4
1. Combien vaut $a^2$ ? 36
2. Une face a pour aire $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = k\sqrt{3}$ . Combien vaut $k$ ? 9
3. Les 4 faces ensemble ont pour aire $m\sqrt{3}$ . Combien vaut $m$ ? 36
4. Écris $36\sqrt{3}$ en écriture décimale, arrondie au dixième. 62.4
14.
Un icosaèdre a 20 faces triangulaires, et 5 faces se rejoignent en chaque sommet. Trouve le nombre d'arêtes et le nombre de sommets.
Réponse: 30, 12
1. Combien y a-t-il de côtés de triangles au total ? 60
2. Chaque arête est partagée par 2 faces. Combien d'arêtes ? 30
3. Il y a aussi 60 coins de triangles, et chaque sommet en réunit 5. Combien de sommets ? 12
4. Vérification : sommets - arêtes + faces = ? 2
15.
Colle deux tétraèdres réguliers le long d'une face. Le nouveau solide a 6 triangles équilatéraux identiques comme faces. Est-ce un solide de Platon ?
1. a)Oui, car toutes les faces sont des triangles équilatéraux identiques
2. b)Non, car des triangles ne peuvent pas former un solide fermé
3. c)Oui, c'est l'octaèdre
4. d)Non, car 3 faces se rejoignent en certains sommets et 4 en d'autres
Réponse: Non, car 3 faces se rejoignent en certains sommets et 4 en d'autres
Cette bipyramide triangulaire a 5 sommets : 3 faces se rejoignent à chacune des deux pointes, 4 faces à chacun des trois sommets du milieu. La deuxième condition n'est pas remplie, donc ce n'est pas un solide de Platon (l'octaèdre a 8 faces, pas 6).
16.
Place un point au centre de chaque face d'un icosaèdre et relie les points des faces voisines pour obtenir son dual. Combien de sommets a le dual ?
Réponse: 20
L'icosaèdre a 20 faces, donc le dual a $20$ sommets. Il a aussi 12 faces (une par sommet de l'icosaèdre) et 30 arêtes : c'est le dodécaèdre.
17.
Le dodécaèdre a 20 sommets, 30 arêtes et 12 faces. Trouve le nombre de faces, de sommets et d'arêtes de son dual, puis vérifie la relation d'Euler.
Réponse: 20, 12, 30
1. Chaque sommet du dodécaèdre devient une face du dual. Combien de faces a le dual ? 20
2. Chaque face du dodécaèdre devient un sommet du dual. Combien de sommets ? 12
3. Combien d'arêtes a le dual ? 30
4. Vérification pour le dual : sommets - arêtes + faces = ? 2
18.
Le défaut angulaire en un sommet vaut $360°$ moins la somme des angles en ce sommet. Trouve le défaut angulaire total du cube et de l'icosaèdre.
Réponse: 720
1. En un sommet du cube, 3 carrés se rejoignent. Quel est le défaut, $360 - 3 \times 90$ ? 90
2. Le cube a 8 sommets. Quel est le défaut total ? 720
3. En un sommet de l'icosaèdre, 5 triangles se rejoignent. Quel est le défaut, $360 - 5 \times 60$ ? 60
4. L'icosaèdre a 12 sommets. Quel est le défaut total ? 720